精品解析：浙江省绍兴市新昌县城关中学2025学年第二学期期中测试卷 八年级·数学

城关中学2025学年第二学期期中测试卷 八年级·数学 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中最符合题意的一个选项，不选、多选、错选均不给分） 1. 以下是我国一些博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，D、E分别是的中点，则的长度为（　　） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 7. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中没有一个内角小于 D. 三角形中每个内角都大于 8. 《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多尺寸，它的对角线长丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为尺，则依题意所列方程为丈尺，尺寸（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A. 若方程有一根为1，则 B. 若异号，则方程必有解 C. 若，则方程两根互为相反数 D. 若，则方程有一根为0 10. 在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为（　　） A. 6 B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式中字母的取值范围是______． 12. 一元二次方程的根是_____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是，则顶点C的坐标是___． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 15. 如图，点是的边上的任意一点，连接，，若的面积为1，的面积为4，则的面积为_____________． 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，-2），点B（m，m+1），点C（6，2）． （1）线段AC的中点E的坐标为_____________； （2）对角线BD长的最小值为 ___________． 三、解答题（共8题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算下列各式： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）画以点O为对称中心，为顶点的； （2）的周长为__________． 20. 已知关于 x 的一元二次方程 ． （1）若方程有两个实数根，求 m 的取值范围； （2）在（1）中，设  是该方程的两个根，且 ，求 m 的值． 21. 小华与小红一起研究一个尺规作图问题：如图1，已知是边上一点（不包含），连结，用尺规作，其中是边上一点． 小红：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小华：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小红：小华，你的作法有问题． 小华：哦……我明白了！ （1）根据小红的作法，证明：． （2）指出小华作法中存在的问题． 22. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是元，求这两次降价的平均降价率是多少？ （2）经调查，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？ 23. 如图，是的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 24. 如图（1），在四边形中，，，，有动点P从A点出发，在线段上以的速度向点D运动，有动点Q同时从C点出发，在线段上以的速度向点B运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是t秒． （1）_______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求当四边形和四边形其中一个是平行四边形时，t的取值； （3）如图（2），取中点E，中点F，连接，请求出使的时间t； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城关中学2025学年第二学期期中测试卷 八年级·数学 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中最符合题意的一个选项，不选、多选、错选均不给分） 1. 以下是我国一些博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【详解】A．2，此选项错误； B．是最简二次根式，此选项正确； C．2，此选项错误； D．，此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断． 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断，即可求解．只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A． ，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B． ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C． ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D． ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的相关运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类二次根式的法则，二次根式的乘除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法-“等式两边加上一次项系数一半的平方”可直接进行排除选项． 【详解】解：根据配方法可得：， ， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 6. 如图，在中，，D、E分别是的中点，则的长度为（　　） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 由题意可得是的中位线，再由三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 7. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中没有一个内角小于 D. 三角形中每个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法的应用，根据反证法的意义及步骤即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于， 故选：D． 8. 《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多尺寸，它的对角线长丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为尺，则依题意所列方程为丈尺，尺寸（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：矩形的门的高比宽多尺寸，且门宽为尺， 门高为尺， 根据题意得：． 故选：A． 9. 已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A. 若方程有一根为1，则 B. 若异号，则方程必有解 C. 若，则方程两根互为相反数 D. 若，则方程有一根为0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，熟练掌握一元二次方程的定义和解法是关键. 将代入方程即可判断A，利用根的判别式可判断B，将代入方程，根据直接开平方法解方程即可判断C，将代入方程，可判断D. 【详解】A．若方程有一根为1，把x=1代入原方程，则，故A正确； B．若a、c异号，则，∴方程必有解，故B正确； C．若，方程变为，若方程有解，则，此时两根和为0，互为相反数，但若、同号，方程无实数根，故C错误； D．若，则方程变为，必有一根为0．故D正确． 故选：C． 10. 在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质；熟练掌握勾股定理，由三角形中位线定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，取中点，连接，证出是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ， 取中点，连接，如图所示： ∵分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式中字母的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，掌握被开方数为非负数是关键，根据题意得到，由此求不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为： ． 12. 一元二次方程的根是_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将原方程移项整理为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解得， 则或， 解得，． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是，则顶点C的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标特征，平行四边形的性质，正确理解题意得到点A和点C关于原点对称是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对称中心是坐标原点，且点A的坐标是， ∴点C的坐标是：； 故答案为：． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，点是的边上的任意一点，连接，，若的面积为1，的面积为4，则的面积为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】由平行四边形的性质推出，设和的距离是h，得到的面积，的面积，求出的面积，即可得到的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设和的距离是h， ∴的面积，的面积， ∴的面积， ∴的面积的面积的面积的面积． 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，-2），点B（m，m+1），点C（6，2）． （1）线段AC的中点E的坐标为_____________； （2）对角线BD长的最小值为 ___________． 【答案】 ①. （1）（3，0） ②. （2）4 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式求解即可得到答案； （2）先求出点B的运动轨迹，由垂线段最短可得到BE⊥直线y=x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，即可求解. 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（0，-2），点C的坐标为（6，2） ∴线段AC的中点E的坐标为（3，0） （2）∵点B（m，m+1）在直线y=x+1上运动 ∴直线y=x+1与x轴的交点F的坐标为（-1，0）且∠BFO=45° 如图，当BE⊥直线y=x+1时，BE有最小值，即BD有最小值 此时EF=3-（-1）=4 ∵∠BFE=45°，∠EBF=90° ∴∠BFE=∠BEF ∴BE=BF， ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形，E是AC的中点 ∴E是BD的中点 ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，一次函数的性质，求出点B的运动轨迹是本题的关键. 三、解答题（共8题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）用因式分解法求出解即可； （2）用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴，． 【小问2详解】 解：． ∴或， ∴，． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）画以点O为对称中心，为顶点的； （2）的周长为__________． 【答案】（1） 解：如图所示即为所求； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质及网格与勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质作图即可； （2）利用网格及勾股定理求出边长，然后求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据网格及勾股定理得：， ， ∴的周长为：， 故答案为：． 20. 已知关于 x 的一元二次方程 ． （1）若方程有两个实数根，求 m 的取值范围； （2）在（1）中，设  是该方程的两个根，且 ，求 m 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有2个实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数之间的关系，得到，根据，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，， 解得； 【小问2详解】 由题意，得：， ∵， ∴，解得． 21. 小华与小红一起研究一个尺规作图问题：如图1，已知是边上一点（不包含），连结，用尺规作，其中是边上一点． 小红：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小华：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小红：小华，你的作法有问题． 小华：哦……我明白了！ （1）根据小红的作法，证明：． （2）指出小华作法中存在的问题． 【答案】（1） 证明：在中，， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2） 原因：以为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，如图所示： 故小华的作法存在问题． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据小红的作图方法证明即可； （2）以点为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是元，求这两次降价的平均降价率是多少？ （2）经调查，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1） （2）若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设这两次平均降价率是，再根据题意列式计算即可； （2）设每件商品降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件，再根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：设这两次平均降价率是， 根据题意可得：， 解得：或（舍）， 答：这两次降价的平均降价率是． 【小问2详解】 解：设每件商品降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴， 答：若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元． 23. 如图，是的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据四边形是平行四边形得，，再证明，得，可得，，即可得，，即可证明； （2）根据题意得，，在中，利用勾股定理可得，，，再利用平行四边形的面积公式即可计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，， ， ，， 在中，， ， ，， ． 24. 如图（1），在四边形中，，，，有动点P从A点出发，在线段上以的速度向点D运动，有动点Q同时从C点出发，在线段上以的速度向点B运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是t秒． （1）_______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求当四边形和四边形其中一个是平行四边形时，t的取值； （3）如图（2），取中点E，中点F，连接，请求出使的时间t； 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，列代数式，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，以及线段之间的和差关系，列出代数式即可； （2）分四边形是平行四边形以及四边形为四边形，两种情况，根据平行四边形的对边相等，列出方程进行求解即可； （3）延长交于，延长交于，根据时，得到四边形为平行四边形，得到，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 依题意， 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得：， 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得：； 综上：或； 【小问3详解】 延长交于，延长交于 的中点为中点为， ， ， ， ， ， 同理可得， 当时，四边形为平行四边形，则， 即， ； 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $