全册综合测试-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以概率统计为核心，整合排列组合与二项式定理，通过实际情境题构建知识逻辑链，突出数学建模与数据分析素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率统计|单选2,3,5,7；多选9,11；解答18-21|结合农业/教育/医学情境，考查正态分布、期望方差、回归分析|从随机变量定义到数据推断，形成“收集-分析-预测”完整逻辑链| |排列组合与二项式定理|单选1,4,6；多选10；解答17|分组分配、相邻问题、二项展开式有理项|从计数原理到二项式系数性质，体现代数与组合数学的融合| |综合应用|解答22|概率递推关系|将概率与数列结合，培养数学抽象与逻辑推理能力|

人教A版选择性必修第三册综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知，那么（ ） A. 5 B. 9 C. 10 D. 11 2. 已知随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ） 附：若，则，，. A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 4. 的二项展开式中x的系数是（ ） A. B. C. D. 5. 通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（ ） 2 3 4 5 6 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31 A. B. 0.08 C. D. 0.09 6. 有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球，现将6个球分别放到编号为①，②，③，④的四个箱子中，每个箱子至少放1个球，且编号为3，4的小球必须在同一个箱子中，则不同的放法有（ ） A. 168种 B. 200种 C. 96种 D. 240种 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则（ ） A. B. C. 5 D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 B. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 C. 随机变量X的方差，期望，则 D. 若随机变量X服从正态分布，且，则 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式各项二项式系数和为64 11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题．据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题的顺序由抛掷硬币决定．设第i次答题者是甲的概率为，第i次回答问题结束后中甲的得分是，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 13. 已知，则______． 14. 某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第7项为常数项． （1）求n的值； （2）求展开式中所有的有理项． 16. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值； （2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望. 17. 为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长≥2小时”和“整理错题时长<2小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 4 91 105 116 119 125 140 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？ （2）请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立关于的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？ 参考数据与公式：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 18. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？ （2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差. 19. 某学校有甲､乙､丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲. （1）求第4天是甲管理停车场的概率； （2）求第天是甲管理停车场的概率； （3）设今年甲､乙､丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由） ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第三册综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D B C D D A ACD BCD BCD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知，那么（ ） A. 5 B. 9 C. 10 D. 11 【解析】C 因为， 所以， 则. 2. 已知随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由题意可得，， 所以， 所以. 3. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ） 附：若，则，，. A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 【解析】D 由可知，，， 则， 故单果质量不低于150g的脐橙个数约为10000×0.9987=9987. 4. 的二项展开式中x的系数是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 的二项展开式的通项公式为， 化简得， 令，得，所以， 所以的展开式中x的系数是． 5. 通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（ ） 2 3 4 5 6 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31 A. B. 0.08 C. D. 0.09 【解析】C 根据题意可得，， 由，可得， 解得：. 6. 有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球，现将6个球分别放到编号为①，②，③，④的四个箱子中，每个箱子至少放1个球，且编号为3，4的小球必须在同一个箱子中，则不同的放法有（ ） A. 168种 B. 200种 C. 96种 D. 240种 【解析】D 先将6个小球分成四组，因为编号为3，4的小球必须在同一组，因此可以有1，1，2，2或1，1，1，3两种分组方式， 若分为1，1，2，2，须在剩余的4个小球中任选两个作为一组，共有种选法； 若分为1，1，1，3，须在剩余的4个小球中选出一个小球与3号和4号分在一组，共有种选法； 再将分好的四组小球分配到四个箱子中去，共有种排法； 因此不同的放法有. 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 8. 已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则（ ） A. B. C. 5 D. 【解析】A 根据隔板法，将看做个完全相同的小球排成一排，中间形成的个空，放入两块隔板，可求得正整数解有组，可能的取值为，不妨设，则，下分类讨论： ， ；， ， ； ， ；， 但根据的对称性，上述每一组解的结果数还要乘以，于是则有： ，，， ， 于是 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 B. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 C. 随机变量X的方差，期望，则 D. 若随机变量X服从正态分布，且，则 【解析】ACD 1，2，4，5，6，12，18，20该组数据共8个数据，又， 因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，所以A正确； 样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，所以B错误； 因为，由方差，期望，可得 ，所以C正确； 因为且 ，所以 ， 所以 ，所以D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式各项二项式系数和为64 【解析】BCD 选项A，令代入等式，得，因此A错误； 选项B，的展开式通项为，是的系数， 令得，所以，B正确； 选项C，令代入等式，右侧即为所有系数和，左侧为， 因此，C正确； 选项D，次二项展开式的二项式系数和为，又，因此二项式系数和为，D正确. 11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题．据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题的顺序由抛掷硬币决定．设第i次答题者是甲的概率为，第i次回答问题结束后中甲的得分是，则（ ） A. B. C. D. 【解析】BCD 设“第i次答题者是甲”为事件，“第i次答题者是乙”为事件， 由第1题的顺序由抛掷硬币决定可得 , 又， 由全概率公式，得 ，故A错误； 第次回答问题结束后甲的得分是，即两次回答中只有一次答对， 所以，故B正确； 由题意知，， 所以，故C正确； 第i次答题结束后，甲得分可分为两种情况：①第i次答题后甲的得分加上1分，则第i次必由甲答题且得1分； ②第i次答题后甲的得分加上0分，则第i次由甲答题且不得分或第i次由乙答题， 所以，其中，故D正确． 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 【解析】由题意可得，的取值为， ， ， ， . 13. 已知，则______． 【解析】因为， 二项式展开式的通项公式为， 所以二项式展开式的第3项为， 所以由题意. 14. 某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种. 【解析】将这个小球编号如下图所示： 分以下两种情况讨论： 第一种，第一步，先取、、号球，第二步，再取、、号球依次取个球， 最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为种； 第二种，将、、视为三个整体， 前三个球从其中一个整体和每支不与号球相邻的小球中依次摸取，有种， 以、、为例，可依次为、、，共种， 剩余、、、号球，先从、号球中摸一个，有种情况， 比如先取号球，剩余三个相邻的小球，接下来从、号球中取一个，有种情况， 最后剩余两球摸取的先后顺序任意， 此时，不同的取法种数为. 综上所述，不同的取法种数为种. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第7项为常数项． （1）求n的值； （2）求展开式中所有的有理项． 【解析】（1）已知在的展开式中的第7项为， 所以，解得； （2）因为展开式的通项公式为， 展开式中的有理项的指数为整数，令，， 所以，因为，且为整数，所以或时，满足条件，即或， 所以有理项为和. 16. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值； （2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 【解析】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在的频率为 ， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 17. 为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长≥2小时”和“整理错题时长<2小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 4 91 105 116 119 125 140 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？ （2）请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立关于的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？ 参考数据与公式：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【解析】（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 由列联表得： ， 代入卡方公式：  ，  因为 （对应的临界值）， 因此依据的独立性检验，推断不成立， 即能认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由于第(1)问的独立性检验表明数学成绩与整理错题时长有关联， 由已知6组数据计算得：  ， ， ， ，  因此 ， ， 所以关于的经验回归方程为 ， 当时， ，即其数学成绩大约是分. 18. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？ （2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差. 【解析】（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则， “这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则， 故所求的概率为： ， 所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是； （2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2， 其中：； ； . 所以男生人数的分布列为： 所以， ， （3）由已知可得： 则：， 所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是. 19. 某学校有甲､乙､丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲. （1）求第4天是甲管理停车场的概率； （2）求第天是甲管理停车场的概率； （3）设今年甲､乙､丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由） 【解析】（1）由题意可知：前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”， 所以. （2）设事件表示“第天甲管理停车场”，事件表示“第天乙管理停车场”，事件表示“第天丙管理停车场”， 可知， 记，则， 由题意可知：， 当时，， 即，整理得， 可得，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 所以第天是甲管理停车场的概率为. （3）由题意可知：当时，， ， 可得， 两式相减得：， 且，可知，即， 综上所述：对任意恒成立，可知； 令的前n项和为，则或， 可得， 可知， 又因为， 则； 综上所述：. 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