11.1.2 不等式的性质（讲练）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版2024）

**基本信息** 聚焦不等式性质，通过基础巩固、能力应用、综合拓展三层设计，构建从概念理解到逻辑推理的递进式知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|不等式性质1-3直接应用|以填空、判断正误为主，强调性质依据，落实运算能力| |能力应用层|性质与数轴、比较大小、参数范围|结合数轴直观（题型3）、作差法比较（题型4），发展几何直观与模型意识| |综合拓展层|代数式取值、证明与综合应用|通过证明题（题型8）、跨知识点综合题，培养逻辑推理与创新意识|

11.1.2 不等式的性质 内容导航 知识点一 不等式的性质 1 题型1 判断性质运用正误 3 题型2 根据不等式的性质解不等式 4 题型3 不等式的性质与数轴 7 题型4 根据不等式的性质比较大小 8 题型5 不等式的简单应用 10 题型6 根据不等式的性质求参数的取值范围 11 题型7 根据不等式的性质求代数式取值范围或最值 12 题型8 利用不等式的性质证明 14 综合练习 18 知识点一 不等式的性质 不等式的基本事实 (1)交换不等式两边，不等号的方向改变：如果，那么. (2)不等关系可以传递：如果，，那么. 不等式的性质 性质 文字语言 符号语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 如果, 那么 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果,, 那么 或（） 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果,, 那么 或（） 不等式的性质与等式的性质的异同点 类别 不同点 相同点 不等式 两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向 (1)两边加(或减）同一个数(或式子)不等式和等式仍成立; (2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立 等式 两边乘(或除以)同一个负数，等式仍然成立 【基础练习1】（24-25八年级上·全国·课后作业）填空： （1）若，两边都加上，得____________________________（依据：_______________）． （2）若，两边都除以2，得______________________________（依据：______________）． （3）若，两边都乘，得_____________________________（依据：_______________）． 【答案】 / 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 / 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【分析】（1）根据不等式的基本性质解答即可； （2）根据不等式的基本性质解答即可； （3）根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：（1）若，两边都加上，得，依据：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）若，两边都除以2，得，依据：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）若，两边都乘，得，依据：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 故答案为：；不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【点睛】本题考查不等式的基本性质，性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题的关键是掌握并理解以上性质． 【基础练习2】（25-26七年级下·上海·期中）如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可得到结论． 【详解】解：， ∴， ． 【基础练习3】（2026七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）根据不等式的性质进行解答即可； （2）根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， 不等式两边同时加上1，得； （2）解：， 不等式两边同时减去1，得， 不等式的两边同时乘，得． 题型1 判断性质运用正误 【典例】（25-26七年级下·广西贵港·期中）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：A：不等式两边同时加3，不等号方向不变，即，故A错误； B：不等式两边同时乘，不等号方向改变，即，故B错误； C：未说明的正负，当时，，当时，，故C错误； D：不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，即，故D正确． 【变式练习1】（25-26七年级下·北京延庆·期中）以下各题的结论正确的是（   ） ①如果，那么；②如果，，那么；③如果，那么；④如果，那么． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质与有理数乘除的符号法则，逐一判断每个结论的正误即可得到答案． 【详解】解：①取，，满足，此时，，得，与结论矛盾，因此①错误； ②若，则，，此时，不满足，因此②错误； ③，且，不等式成立说明，即， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得，因此③正确； ④，说明与同号， 同号两数相除商为正，即，因此④正确． 综上，正确的结论是③④，选项符合题意． 【变式练习2】（24-25八年级上·北京西城·开学考试）下列命题中： ①若，则；             ②若，则； ③若，则；       ④若，则． 正确的有________．（只填写正确命题的序号） 【答案】②③ 【分析】根据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：①若，则，故①错误； ②若，则，故②正确； ③若，，，故③正确； ④若，当时，则；当，则，故④错误； 故正确的有：②③， 故答案是：②③． 解后反思：不等式性质中的陷阱 解答与不等式有关的问题时，应密切关注“0”是否存在，以防掉进“0”的陷阱.若两边同乘0,则不等式变为等式0=0. 题型2 根据不等式的性质解不等式 【典例】（24-25七年级下·广西桂林·月考）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）利用不等式的性质1：先两边同减去，再两边同加上3，由此即可得； （2）利用不等式的性质1：先两边同减去，再两边同加上4，然后利用不等式的性质3：两边同乘以，由此即可得． 【详解】（1）解：， ，即， ，即． （2）解：， ，即， ，即， ，即． 【变式练习1】（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列不等式变形成“”的形式的结果及理由． （1）若，则_______，理由是_______； （2）若，则_______，理由是_______； （3）若，则_______，理由是______． 【答案】 不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变 不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变 / 不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变 【分析】本题考查不等式的性质． （1）利用不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，进行求解即可； （2）利用不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变，进行求解即可； （3）利用不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变，进行求解即可． 【详解】解：（1）， 两边同时减去2，则，理由是不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变， 故答案为：，不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变； （2）， 两边同时除以2，则，理由是不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变， 故答案为：，不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变； （3）， 两边同时乘以，则，理由是不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变， 故答案为：，不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变． 【变式练习2】（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． 【详解】（1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 方法技巧: (1)在运用不等式的性质将不等式变形时，首先要注意每一步变形的依据，然后由不等式的性质判断不等号的方向是否改变。 (2)在数轴上表示不等式的解集，定边界点时，要注意是实心圆点还是空心圆圈。 题型3 不等式的性质与数轴 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是能准确分析数轴上点的位置特征． 由数轴可得，进而求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴． 【变式练习1】（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴得到，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由数轴可得，， 则，，，， 故C正确． 【变式练习2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，不等式的性质，掌握以上性质是解题的关键． 由图可知，，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由图可知，，则有： A、，原不等式不成立，A不符合题意； B、，原不等式不成立，B不符合题意； C、，原不等式成立，C符合题意，正确； D、，原不等式不成立，D不符合题意． 故选：C． 题型4 根据不等式的性质比较大小 【典例】（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 【变式练习1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则；这个规律，反过来也成立． 问题解决：已知，，若，且，试比较大小：A______B（填“＝”或“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）． 【答案】≥ 【分析】先求出x，y的取值范围，再判断与0的关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴， 故答案为：≥． 【点睛】本题考查不等式的性质及整式的加减，解题的关键是确定x，y的取值范围． 【变式练习2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）若，比较与的大小，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】B 【分析】根据不等式的性质即可进行解答． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号方向改变． 方法技巧:“作差法”——比较大小的得力助手 “作差法”是比较两数（或式子）大小的一种常用方法.当差为正数时，被减数大；当差为负数时，减数大；当差为0时，被减数等于减数，本例题就是利用了“作差法”比较大小，应用“作差法”比较大小的关键是对“差”的正、负作出判断，当无法直接确定“差”的正、负时，需要进行分类讨论。 题型5 不等式的简单应用 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【答案】 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． 每次用量为，意味着服用药品的剂量大于或等于且小于或等于，即可列出不等式． 【详解】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 【变式练习1】（24-25七年级下·全国·课后作业）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 【变式练习2】（24-25八年级下·福建三明·月考）据气象台报道，2022年2月20日我区最高气温4℃，最低气温3℃，则当天气温t（℃）的变化范围是______； 【答案】 【分析】根据最高气温、最低气温，可得答案． 【详解】解：∵我区最高气温4℃，最低气温3℃， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了不等式的定义，利用不等号连接的式子是不等式． 题型6 根据不等式的性质求参数的取值范围 【典例】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）已知，，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 【变式练习1】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据不等式两边同时除以不等号的方向发生了改变，可知，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ， ． 【变式练习2】（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如果，且，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可知不等式的两边同时乘以后，不等号方向发生了改变，故，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选：D． 方法技巧:当不等式的两边乘（或除以）同一个数（或式子）时，注意观察、分析变形前后两个不等式的不号.如果不等号的方向没变，那么这个数（或式子）的符号为正；如果不等号的方向发生了改变，那么这个数（或式子）的符号为负。 题型7 根据不等式的性质求代数式取值范围或最值 【典例】（24-25八年级下·山西大同·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算 例如：已知可得；已知可得； 已知可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么． 证明：， ．（依据） ， ________， ． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为________．（用“<”或“>”填空） (2)材料证明过程中，依据为_________，缺失的步骤为________． (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【答案】 (1) (2)不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变； (3) 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题干信息的提示，猜想结果即可； （2）根据不等式的性质可得，，可推出，由此即可证明结论； （3）先求出，再根据（2）的结论，即可得到答案. 【详解】（1）解：材料中“▲”处空缺的内容为：； （2）证明：， ．（依据：不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变） ， ， ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式练习1】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·月考）当取______时，代数式的值最大，最大值等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由于，于是利用不等式的性质即可得解，然后通过解一元一次方程即可求得此时的值． 【详解】解：， ， ， 当时，即时，代数式的值最大，最大值等于， 故答案为：，． 【变式练习2】（24-25七年级下·四川乐山·期末）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：，．当时，的值为______． 【答案】1 【分析】根据x的取值范围判断x+1和-x+1的取值范围，然后根据[x]表示不超过x的最大整数，列式计算． 【详解】解：∵0＜x＜1， ∴1＜x+1＜2，0＜-x+1＜1， ∴[x+1]+[-x+1]=1+0=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是利用不等式的性质确定1＜x+1＜2，0＜-x+1＜1，并明确[x]表示不超过x的最大整数． 题型8 利用不等式的性质证明 【典例】（24-25九年级下·江苏盐城·月考）阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)尝试证明：若，则． 【答案】 (1)， (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质； （1）由不等式的性质得到，，再利用不等式的传递性求解即可； （2）由得到，再两边同时除以3即可得到． 【详解】（1）证明：因为且m，n均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以．（不等式的传递性） 故答案为：，； （2）证明：∵， ∴，（不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变）， ∴， ∴，（不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变）， 【变式练习1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下： 证明：∵， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】 (1)，， ， (2)②④，证明见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质填空； （2）根据两个负数，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴ ． ∴ ． 故答案为：，， ，； （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 故答案为：②④． 【变式练习2】（24-25八年级下·全国·期中）阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 (1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． (2)参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 【答案】 (1)不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变 (2)见解析 【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可； （2）仿照（1）的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变）， 合并同类项可得：， 即：得证． 故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变； （2）解：，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变）， 合并同类项，得， 即：，得证． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质． 综合练习 一、选择题 1．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）解不等，得到的依据是（   ） A．等式的性质2 B．不等式的性质3 C．不等式的性质2 D．不等式的性质1 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，需熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键． 解不等式时，两边同时乘以负数，需改变不等号方向，依据不等式的性质3可求解． 【详解】解：原不等式为 ， 为了消去系数，两边同时乘以这个负数， 根据不等式性质3，此时不等号方向需改变， 即： 即 ， 因此，依据是不等式的性质3． 故选：B． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式性质逐项判断即可．不等式的性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A． ∵ ，不等式两边同时减，不等号方向不变，∴ ，本选项符合题意； B． ∵ ，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴ ，本选项不符合题意； C． ∵ ，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴ ，本选项不符合题意； D． ∵ ，当时，，此时，∴ 不成立，本选项不符合题意； 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将不等式化为“”或“”的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式，先移项，再在不等式的两边除以即可求解，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 不等式两边除以，得， 即， 故选：． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由数轴判断字母的大小，不等式的性质． 由数轴得到，再根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，， 故选：B． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先在的两边同乘以，变号，再在此基础上同减去3，不变号，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 6．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）贵阳某日最高气温是，最低气温是，则贵阳当日气温（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用不等式表示实际问题，解题的关键是理解题意． 根据题意，将其转化为数学式子表示即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，气温介于最低和最高温度之间，包含临界温度， ∴， 故选：A． 7．（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式的解集是，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为，变形后不等号方向发生改变， ∴根据不等式的性质，可得， 解不等式得：， ∴的取值范围是． 8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将代入化简得，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小整数值为2． 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）不等式的基本性质1：若，_________，则，这个性质叫做_________． 不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个_________，所得的不等式仍成立． 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个_________，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须_________，所得的不等式成立． 【答案】 不等式的传递性 数 正数 改变不等号的方向 【分析】直接根据不等式的基本性质填空即可． 【详解】不等式的基本性质1：若，，则，这个性质叫做不等式的传递性． 不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得的不等式仍成立． 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立． 故答案为：，不等式的传递性，数，正数，改变不等号的方向． 【点睛】本题考查不等式的基本性质．熟知不等式的基本性质是解题关键． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）写出下列不等式变形的依据： （1）由，得．依据是________； （2）由，得．依据是________； （3）由，得．依据是________． 【答案】 不等式性质1 不等式性质2 不等式性质1 【分析】（1）根据等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变求解； （2）根据不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变求解； （3）根据等式两边加上（或减去）同一个含有字母的式子，不等号方向不变求解． 【详解】（1）由，得．依据是不等式性质1； 故答案为：不等式性质1； （2）由，得．依据是不等式性质2； 故答案为：不等式性质2． （3）由，得．依据是不等式性质1． 故答案为：不等式性质1． 11．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知，c是实数，则下列结论不一定成立的是_____．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】根据不等式的性质，可得答案. 【详解】解：①时, ，故①不成立; ②当，故②不成立； ③，故③成立； ④，故④不成立； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键. 12．（24-25八年级下·山西运城·期中）将不等式化为“”或“”的形式为________． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变这一性质来求解． 利用不等式的基本性质，将不等式两边同时除以3，从而将其化为的形式． 【详解】对于不等式，根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， 在不等式两边同时除以3，即，计算可得． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上两点对应的数分别为，则_____（填“>”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较大小，不等式的性质，由题意可得，，，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为： 14．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）比较大小： ____________ 6（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的定义，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键； 根据不等式的性质，不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向改变．由解集的形式可知，两边除以后不等号方向改变，因此为负数． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是_______；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是_______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程，不等式的性质，列代数式，整式的加减，熟练根据题意列出代数式，并熟练掌握分离整数法，解不定方程是解题的关键．利用千位为，得出，要使“合作数”最大确定百位数为，得出，再取十位最大即可；根据题意列出前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和为，利用它们的和被整除，得出是整数，结合及、、、的性质得出，则此时，结合、、、的性质即可得出满足条件的最大“合作数”． 【详解】解：∵“合作数”千位为，， ∴， 要使“合作数”最大，则百位数为， ∴，即， ∵各个数位上的数互不相等， ∴十位数为且个位数为时，“合作数”最大， ∴若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是； 由题意得、、、是整数，且，，，， 前三位数可表示为，后三位数可表示为， ∴它们的和为， ∵它们的和被整除， ∴是整数， ∵、、、是整数， ∴是整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，且各个数位上的数互不相等， ∴， 又∵是整数， ∴， ∴，即， 又∵、是整数，且，， ∴要使满足条件的“合作数”最大，最大取（大于时，）， 此时， ∵，、是整数，且，， ∴要使满足条件的“合作数”最大，最大值为，此时，， ∴满足条件的“合作数”最大是， 故答案为：①；②． 三、解答题 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 19．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数． (1)将a，b，c，0由大到小排列（用“”连接）__________________； (2)______0；______0（填写“”，“”，“”） (3)试化简： 【答案】 (1) (2)， (3) 【分析】（1）数轴上，越往左数字越小，越往右数字越大，据此即可作答； （2）根据（1）中的结果，结合不等式的性质即可作答； （3）根据（2）中的结果去绝对值和根号，即可得解． 【详解】（1）根据数轴上各数的位置，有：， 故答案为：； （2）在（1）中有， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：＞，＜； （3）∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较实数的大小，不等式的性质，求一个数的立方根以及二次根式的性质等知识，根据数据得到，再根据不等式的性质得到，，是解答本题的关键． 不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若，那么；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若，且，那么或；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若，且，那么或． 20．（25-26七年级下·上海普陀·期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： (1)设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． (2)设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】 (1)，见解析； (2)，见解析． 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）某种饮料重约，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为多少克？ 【答案】不少于克 【分析】本题主要考查了不等式的应用，根据题意求出蛋白质含量的最小值即可得到答案． 【详解】解：∵某种饮料重约，罐上注有“蛋白质含量”， ∴蛋白质含量的最小值为克， ∴蛋白质的含量不少于克， 答：蛋白质的含量不少于克． 22．（23-24八年级下·陕西·期中）若，且，求实数a的取值范围． 【答案】实数a的取值范围为 【分析】本题考查不等式的基本性质，由，且，结合不等式的基本性质可知，即可求解．理解并掌握不等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得． 答：实数a的取值范围为． 23．（24-25七年级下·四川广元·期末）已知x＞y． (1)比较9－x与9－y的大小，并说明理由； (2)若，求m的取值范围． 【答案】 (1)，理由见解析 (2)m＜0 【分析】（1）由x＞y，两边都乘以可得：－x＜－y，再两边都加上9可得结论； （2）由可得，再结合x＞y，可得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵x＞y， ∴－x＜－y， ∴． （2）解：∵， ∴． 又∵x＞y， ∴m＜0． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟记“（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．”是解本题的关键． 24．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读材料： 小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下： 因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2， 可得，① 将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2， 可得**，② 由①②，可得． (1)在阅读材料中，**处应填______； (2)请尝试证明：若，则． 【答案】 (1) (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以2，由此即可证明问题． 【详解】（1）解：依题意，**处应填， 故答案为：； （2）证明：∵，将不等式两边都加上b，由不等式的性质1，可得， 将不等式两边都除以2，由不等式的性质2，可得，． 25．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 【答案】 (1)见解析； (2)①见解析；②，，． 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，则，据此可证明结论； （2）①同理可得，则，则可证明，则，据此可证明结论；②根据①可得或，则或或，再讨论a、m的值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵a，m均为整数，且，，， ∴或， ∴或或， 当时， ∵， ∴，即，不符合题意； 当时， ∵， ∴，即， ∵，且c、b都是整数， ∴， ∴，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1.2 不等式的性质 内容导航 知识点一 不等式的性质 1 题型1 判断性质运用正误 2 题型2 根据不等式的性质解不等式 2 题型3 不等式的性质与数轴 3 题型4 根据不等式的性质比较大小 4 题型5 不等式的简单应用 5 题型6 根据不等式的性质求参数的取值范围 6 题型7 根据不等式的性质求代数式取值范围或最值 6 题型8 利用不等式的性质证明 7 综合练习 10 知识点一 不等式的性质 不等式的基本事实 (1)交换不等式两边，不等号的方向改变：如果，那么. (2)不等关系可以传递：如果，，那么. 不等式的性质 性质 文字语言 符号语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 如果, 那么 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果,, 那么 或（） 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果,, 那么 或（） 不等式的性质与等式的性质的异同点 类别 不同点 相同点 不等式 两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向 (1)两边加(或减）同一个数(或式子)不等式和等式仍成立; (2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立 等式 两边乘(或除以)同一个负数，等式仍然成立 【基础练习1】（24-25八年级上·全国·课后作业）填空： （1）若，两边都加上，得____________________________（依据：_______________）． （2）若，两边都除以2，得______________________________（依据：______________）． （3）若，两边都乘，得_____________________________（依据：_______________）． 【基础练习2】（25-26七年级下·上海·期中）如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 【基础练习3】（2026七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 题型1 判断性质运用正误 【典例】（25-26七年级下·广西贵港·期中）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】（25-26七年级下·北京延庆·期中）以下各题的结论正确的是（   ） ①如果，那么；②如果，，那么；③如果，那么；④如果，那么． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式练习2】（24-25八年级上·北京西城·开学考试）下列命题中： ①若，则；             ②若，则； ③若，则；       ④若，则． 正确的有________．（只填写正确命题的序号） 解后反思：不等式性质中的陷阱 解答与不等式有关的问题时，应密切关注“0”是否存在，以防掉进“0”的陷阱.若两边同乘0,则不等式变为等式0=0. 题型2 根据不等式的性质解不等式 【典例】（24-25七年级下·广西桂林·月考）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)． 【变式练习1】（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列不等式变形成“”的形式的结果及理由． （1）若，则_______，理由是_______； （2）若，则_______，理由是_______； （3）若，则_______，理由是______． 【变式练习2】（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 方法技巧: (1)在运用不等式的性质将不等式变形时，首先要注意每一步变形的依据，然后由不等式的性质判断不等号的方向是否改变。 (2)在数轴上表示不等式的解集，定边界点时，要注意是实心圆点还是空心圆圈。 题型3 不等式的性质与数轴 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 【变式练习1】（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 题型4 根据不等式的性质比较大小 【典例】（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【变式练习1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则；这个规律，反过来也成立． 问题解决：已知，，若，且，试比较大小：A______B（填“＝”或“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）． 【变式练习2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）若，比较与的大小，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 方法技巧:“作差法”——比较大小的得力助手 “作差法”是比较两数（或式子）大小的一种常用方法.当差为正数时，被减数大；当差为负数时，减数大；当差为0时，被减数等于减数，本例题就是利用了“作差法”比较大小，应用“作差法”比较大小的关键是对“差”的正、负作出判断，当无法直接确定“差”的正、负时，需要进行分类讨论。 题型5 不等式的简单应用 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【变式练习1】（24-25七年级下·全国·课后作业）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式练习2】（24-25八年级下·福建三明·月考）据气象台报道，2022年2月20日我区最高气温4℃，最低气温3℃，则当天气温t（℃）的变化范围是______； 题型6 根据不等式的性质求参数的取值范围 【典例】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）已知，，求的取值范围． 【变式练习1】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 【变式练习2】（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如果，且，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧:当不等式的两边乘（或除以）同一个数（或式子）时，注意观察、分析变形前后两个不等式的不号.如果不等号的方向没变，那么这个数（或式子）的符号为正；如果不等号的方向发生了改变，那么这个数（或式子）的符号为负。 题型7 根据不等式的性质求代数式取值范围或最值 【典例】（24-25八年级下·山西大同·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算 例如：已知可得；已知可得； 已知可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么． 证明：， ．（依据） ， ________， ． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为________．（用“<”或“>”填空） (2)材料证明过程中，依据为_________，缺失的步骤为________． (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【变式练习1】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·月考）当取______时，代数式的值最大，最大值等于______． 【变式练习2】（24-25七年级下·四川乐山·期末）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：，．当时，的值为______． 题型8 利用不等式的性质证明 【典例】（24-25九年级下·江苏盐城·月考）阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)尝试证明：若，则． 【变式练习1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下： 证明：∵， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【变式练习2】（24-25八年级下·全国·期中）阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 (1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． (2)参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 综合练习 一、选择题 1．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）解不等，得到的依据是（   ） A．等式的性质2 B．不等式的性质3 C．不等式的性质2 D．不等式的性质1 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将不等式化为“”或“”的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）贵阳某日最高气温是，最低气温是，则贵阳当日气温（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式的解集是，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）不等式的基本性质1：若，_________，则，这个性质叫做_________． 不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个_________，所得的不等式仍成立． 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个_________，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须_________，所得的不等式成立． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）写出下列不等式变形的依据： （1）由，得．依据是________； （2）由，得．依据是________； （3）由，得．依据是________． 11．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知，c是实数，则下列结论不一定成立的是_____．（填序号） ①；②；③；④． 12．（24-25八年级下·山西运城·期中）将不等式化为“”或“”的形式为________． 13．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上两点对应的数分别为，则_____（填“>”、“”或“”）． 14．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）比较大小： ____________ 6（填“”“”或“”）． 15．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为_________． 16．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是___________． 17．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是_______；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是_______． 三、解答题 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数． (1)将a，b，c，0由大到小排列（用“”连接）__________________； (2)______0；______0（填写“”，“”，“”） (3)试化简： 20．（25-26七年级下·上海普陀·期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： (1)设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． (2)设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）某种饮料重约，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为多少克？ 22．（23-24八年级下·陕西·期中）若，且，求实数a的取值范围． 23．（24-25七年级下·四川广元·期末）已知x＞y． (1)比较9－x与9－y的大小，并说明理由； (2)若，求m的取值范围． 24．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读材料： 小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下： 因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2， 可得，① 将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2， 可得**，② 由①②，可得． (1)在阅读材料中，**处应填______； (2)请尝试证明：若，则． 25．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 学科网（北京）股份有限公司 $