精品解析：广西区域高中2025-2026学年高二下学期3月质量检测试题数学试题（人教A版）

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到，由导数的物理意义得到瞬时速度. 【详解】由题意得，所以， 即该质点在时的瞬时速度为． 故选：A． 2. 已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知设所求直线方程为，根据直线过原点求得c，即得答案. 【详解】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 159 B. 126 C. 109 D. 98 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质求解. 【详解】设的公差为，由题意得，解得， 所以． 故选：B 4. 已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴可得，即可由离心率公式求解. 【详解】由可得，故，所以双曲线的焦点在轴上， 故实轴为，所以，因此双曲线为， 所以，又该双曲线的半实轴长为, 故双曲线的离心率. 故选：C. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 是函数的一个零点 C. 是函数的极大值点 D. 函数在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图象判断原函数的单调性与极值点，逐一分析选项. 【详解】当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，根据极小值点的定义，是函数的极小值点，A选项正确； 导函数图像无法提供原函数的零点信息，B错误； 当时，，函数单调递增，所以不是极大值点，C选项错误； 当时，导函数，函数在区间上单调递增，不是单调递减，D选项错误. 故选：A. 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆心的对称点，结合半径求得正确答案. 【详解】由题意知，设点关于直线的对称点为， 则解得 故所求圆的方程为． 故选：A． 7. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ） （参考数据：） A. 964万元 B. 2980万元 C. 3940万元 D. 5170万元 【答案】C 【解析】 【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，由求出通项，再结合数列求和即可得解. 【详解】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列， 依题意，当时，，即， 因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即， 则， 所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元. 故选：C 8. 已知抛物线，为它的焦点，过的直线交抛物线于两点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为，其中，，则值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线方程的定义及性质，结合向量夹角的余弦公式构造方程，利用韦达定理结合三角函数公式求解． 【详解】抛物线方程为， 其焦点，准线为， 为抛物线上的点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为， 设，则，， ， ， ， ， ，， ，化简整理得， 设过焦点的直线为，联立抛物线得：， 由韦达定理得， ，即， 设直线的倾斜角为，则， ， ，解得， ，解得，则，故B正确． 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】依次计算出数列的前几项，得出数列的周期，从而得到正确选项. 【详解】由题意，得，所以， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 10. 在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项通过空间向量的加减法，将向量按向量减法法则变形为，利用向量与基底的关系得到表达式；对于B选项根据空间向量的线性运算，通过选取路径，结合三等分点的向量表示，得出结果；对于C选项，展开向量平方并代入已知模长与夹角的内积公式，综合运用空间向量数量积的运算法则；对于D选项，通过计算其数量积是否为零来实现，再次利用已知夹角与向量内积的性质. 【详解】对于A选项，在平行六面体中，，故A正确； 对于B选项，因为点是上靠近的三等分点，所以， 又，所以，故B正确； 对于C选项，因为，， ， 所以，所以，故C错误； 对于D选项，，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 当最小时， C. 当最大时， D. 若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，由，得到的等式，化简，得曲线是圆，从而得到选项 A正确；当最小或最大时，直线均与曲线相切，且它们的切线长相等且均为计算得解，得到BC正确；求出圆心到直线的距离，得，计算得解，得到D错误. 【详解】设，由，得， 化简，得曲线，是圆，且半径为，圆心为，故A正确； 当最小或最大时，直线均与曲线相切，且它们的切线长相等， 均为，故BC正确； 圆心到直线的距离，由题意得，解得，或，故D错误. 故选:ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的余弦值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式可得结果. 【详解】，， 故， 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用在上恒成立，再转化为求函数的最值得出结论. 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立, 又在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 14. 已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，计算，结合二次函数性质和题意即可分析求解. 【详解】由题可知，设，则， 所以， 因为函数的图象对称轴为，图象开口向上， 又由题意知当即时有，且， 所以，即，故满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用求出首项，再通过作差法（用前项和减前项和）得到通项公式，并验证首项满足该式； （2）先由求出的表达式并拆分为等比数列与等差数列的和，再分别用等比数列和等差数列的求和公式求出前项和. 【小问1详解】 因为， 当时，，所以， 当时，①， ②， ①②得，，所以， 也满足． 综上，． 【小问2详解】 由题可知， 所以 ． 16. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过求导得到切线斜率，再计算切点处的函数值，最后用点斜式写出切线方程即可； (2)求导找到函数的极值点，求出极大值与极小值，由题意列方程，求解方程即得参数值. 【小问1详解】 当 时，， 所以，则， 又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，因， 令，得或，列表如下： 3 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，并且极小值为， 当时，有极大值，并且极大值为， 因为的极大值与极小值之和为16， 所以，解得. 17. 如图，在菱形中，，是线段的中点，将沿折起到的位置． （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角是，求点到平面的距离． 【答案】（1） 在菱形中，因为，是线段的中点，则，. 根据余弦定理可得，. 由折叠可知， ，又，则，所以是直角三角形，. 已知，，所以. 因为，，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）本题可先根据菱形的性质和已知条件得出，，进而证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）利用等体积法，通过已知条件求出相关线段长度，进而求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，因为，所以是直角三角形，，又因为，所以. 连接，则是直角三角形，. 由（1）可知，是直角三角形，，，所以. 因为，所以是二面角的平面角.即. 又因为，，所以是等边三角形，点到平面的距离为. 设点到平面的距离为，因为，所以，即，解得，即点到平面的距离为. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 【答案】（1）的方程为； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列关于的不等式组求出即可求解； （2）由点差法求出直线斜率即可由点斜式求解； （3）联立直线方程与双曲线方程求出韦达定理，由韦达定理结合弦长公式求出弦长，再由点到直线距离和面积求出参数k即可由数量积坐标运算分析计算求解. 【小问1详解】 由题可得，所以的方程为； 【小问2详解】 设，则， 所以， 所以直线的方程为即； 【小问3详解】 由（1）得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以（舍去）或， 则，， 所以． 19. 已知定义在上的函数和，和分别为其导函数.若，恒成立，则称为的“重导优函数”. （1）判断函数是否是的“1重导优函数”； （2）若函数是的“重导优函数”，求的取值范围； （3）已知函数，是偶函数，.若是的“1重导优函数”，证明:“”的充要条件是“是上的常函数”. 【答案】（1）是的“1重导优函数” （2） （3） 充分性:若为上的常函数，即存在常数C，，， 所以，所以为偶函数， 由，得， 又是偶函数，， 即，所以在上恒成立， 所以. 必要性:若，则，所以，即为偶函数， 因为是的“1重导优函数”， 所以， 因为，，所以， 所以，即对，恒成立， 所以， 所以，所以，恒成立， 所以为常函数. 综上所述，“”的充要条件是“是上的常函数”. 【解析】 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）根据重导优函数的定义，可得恒成立，分离参数后，利用导数求最值可得解； （3）结合是的“1重导优函数”，先由充分性得出，再由时，验证命题的必要性即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为，所以，即， 所以是的“1重导优函数”. 【小问2详解】 由题意得，， 因为为的“重导优函数”，所以，， 即恒成立， 所以恒成立， 令，问题转化为. 由，得， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 159 B. 126 C. 109 D. 98 4. 已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 是函数的一个零点 C. 是函数的极大值点 D. 函数在区间上单调递减 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ） （参考数据：） A. 964万元 B. 2980万元 C. 3940万元 D. 5170万元 8. 已知抛物线，为它的焦点，过的直线交抛物线于两点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为，其中，，则值为（ ） A. B. C. D. 6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 当最小时， C. 当最大时， D. 若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的余弦值是__________. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 14. 已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 17. 如图，在菱形中，，是线段的中点，将沿折起到的位置． （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角是，求点到平面的距离． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 19. 已知定义在上的函数和，和分别为其导函数.若，恒成立，则称为的“重导优函数”. （1）判断函数是否是的“1重导优函数”； （2）若函数是的“重导优函数”，求的取值范围； （3）已知函数，是偶函数，.若是的“1重导优函数”，证明:“”的充要条件是“是上的常函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $