精品解析：上海市建平中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

建平中学高一期中数学试卷 2026.04 一､填空题 1. 已知向量，若，则__________. 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以 ，解得. 2. 已知为锐角，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由同角三角函数基本关系求，再诱导公式化简后切化弦求解. 【详解】为锐角，故，由同角三角函数的平方关系得， 所以​. 3. 已知是虚数单位，则__________. 【答案】0 【解析】 【详解】 4. 已知向量在的夹角为，则在方向上的数量投影为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量投影的定义求解. 【详解】已知，因此， 向量在方向上的数量投影为. 5. 函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 【答案】4 【解析】 【分析】正切函数相邻两支截平行于轴的直线所得线段长等于函数周期，代入正切函数周期公式即可求解. 【详解】 函数相邻两支曲线截平行于轴的直线所得线段的长度，就是正切函数的周期，因此， 所以，解得 . 6. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为则， 因为，所以. 7. 已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 8. 已知向量满足，且，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 即，即，解得. 9. 莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)是18世纪数学界最杰出的人物之一，是数学史上最多产的数学家.在数学的许多分支中可以经常见到以欧拉命名的常数､公式和定理，平面几何里欧拉定理的内容是：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则.若某直角三角形的斜边长为10，其外心与内心的距离为d，则d的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设该直角三角形的一锐角为，根据直角三角形外心的位置，得到其外接圆半径，利用两直角边减去斜边除以二求得内切圆半径的值，从而可以计算得到，结合三角函数的性质求得其最小值. 【详解】设该直角三角形的一锐角为， 易知该直角三角形的外接圆半径， 内切圆的半径， 则， 当时，， 所以d的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数学文化的知识，正确解题的关键是认真读题，理解题意，顺着题意列式求解即可. 10. 如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则__________（精确到） 【答案】 【解析】 【详解】，， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以， 所以 11. 若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】令， 所以函数在上至少有两个零点， 所以，故. 当时，必有，此时； 当时，必有，此时； 当时，即时，区间长度超过，必至少有两个零点， 综上 12. 已知点是所在平面上一点，且满足为线段中点，且，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量条件转化为代数方程，利用点在线段上的参数表示和向量数量积求出参数范围，再将目标向量模长转化为二次函数，结合定义域分析其取值范围. 【详解】由，可知点在线段上。 因为，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，设，，则，为中点，故，， 由​，得，整理得，将代入， 化简得，则， 由得或，由得或，所以或， 则， 所以 ， 该二次函数开口向上，对称轴​， 当时，该二次函数单调递减，，当时，函数递增，， 所以，故 综上，的取值范围是. 二､选择题 13. 与向量方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】与方向相同的单位向量为. 14. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】因， 故只需要将的图像向左平移个单位长度即得的图象. 15. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上不单调 C. 时， D. 图像既有对称轴又有对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】对A，计算，利用诱导公式结合正切奇函数性质得判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用正切和角恒等式，结合时且​，推导判断；对D，及判断. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：和都在单调递增，而在单调递增， 由复合函数的单调性可知，在单调递增，B错误； 对于C：由两角和的正切公式可得， 令，时，， 因此，且， 可得，C错误； 对于D：对任意， ，， 因此​是的对称轴； 对任意，因为， ， 所以， ， 因为，所以， 所以 ，因此是的对称中心。 故既有对称轴又有对称中心，D正确. 16. 设，且，令，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】构造向量，利用向量的数量积表示出，利用三角形的面积公式，万能公式及基本不等式求出最小值. 【详解】构造向量，设的夹角为， 则 ， 所以， 所以， ， 令，则， 由得， 所以， 当且仅当即时取得等号， 所以的最小值为 三､解答题 17. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再根据正弦函数的单调递减区间列不等式求解； （2）先由已知条件求出的值，再根据的范围求出，利用两角差的余弦公式求解即得. 【小问1详解】 ， 令，，解得，， 因此的单调递减区间为. 【小问2详解】 由题意知，即， 因为，所以，所以， 所以. 18. 如图，在中，为直线上一点，且满足. （1）求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的推论求解； （2）利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 由题意可知，所以， 因为三点共线，所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 因为，所以， 所以 ， 又， 当且仅当时取等号， 所以， 即，所以的最小值为 19. 如图，已知等边三角形的边长为4，以顶点为圆心，4为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）. （1）求阴影部分的面积； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过扇形面积减去等边三角形面积，直接计算阴影部分的面积； （2）法一，建立平面直角坐标系，用参数表示点的坐标，将向量数量积转化为三角函数，利用三角函数的单调性求取值范围；法二，利用向量中点公式和极化恒等式，将数量积转化为点到定点距离的平方形式，通过几何对称性求距离最值，进而得到取值范围. 【小问1详解】 设阴影部分面积为，则. 【小问2详解】 法一：以为坐标原点，为轴，过与垂直的直线为轴，建立直角坐标系. 设，则， 则， 所以， ， 因为，所以， 所以的取值范围为. 法二：取中点，再取中点，则， 则， 由对称性可知，当点位于弧中点时， 当点与点或重合时， 所以的取值范围为. 20. 设，函数. （1）当时，求函数的值域； （2）讨论函数的零点个数； （3）若函数恰有两个零点，证明：. 【答案】（1） （2） 或时，无零点； 时，仅有一个零点； 时，有两个零点. （3） 若恰有两个零点，令， 所以为方程的两个根，所以， 所以，由于，所以， 所以，所以， 即，而， 所以，因为在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）化简函数，令，利用二次函数的性质计算值域； （2）化简函数，令，得到，结合，得到，分类讨论，结合余弦函数的性质，即可求解； （3）由有两个零点可得，再结合余弦函数的性质即可证明. 【小问1详解】 ， 令，则， 因为的值域为， 即的值域为； 【小问2详解】 易知， 令，则， 令，则. 当或，即或时，（*）无解，故无零点； 当，即时，（*）仅一解，故仅有一个零点； 当，即时，（*）有两解， ，故有两个零点. 【小问3详解】 略 21. 对于一个向量组且，令，如果存在，使得，则称是该向量组的“-向量”. （1）设且，若是向量组的“-向量”，求实数的取值范围； （2）若且，则向量组且）是否存在“1-向量”？若存在，求出“1-向量”；若不存在，请说明理由； （3）若向量组中的每一个向量均是它的“-向量”，且，，设在平面直角坐标系中有一点列且，满足为坐标原点，，且且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值. 【答案】（1） （2）存在，为 （3）12156 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标模长公式以及已知的向量关系列出不等式求解. （2）先求出向量模长，再根据“1-向量”的定义列出不等式，结合三角函数的值域求解. （3）根据“-1向量”的定义及数量积的运算律得，同理，相加变形得，则，设，由条件列式变形得，从而将问题转化为的最大值问题，结合二倍角正弦公式利用正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，即，因为，，所以，所以，解得或， 即的取值范围是. 【小问2详解】 由题意可得， 因，所以向量组以6为周期. 若存在“1-向量”，则只需， 又， 所以，所以， 故只需， 即， 当且仅当且时符合要求， 即或或，且， 故存在“1-向量”，且为，其余均与这三者重复. 【小问3详解】 由题意可知，， 三式相加化简可得，即， 所以，设， 则有 可得③， 将③累加可得， 代入②可得， 所以， 又， 所以当时，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $