精品解析：湖南永州市零陵区多校2025-2026学年下学期义务教育阶段期中考试七年级数学(试题卷)

2026年上期义务教育阶段期中考试 七年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上．每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上点表示的数可能为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 8. 不等式 的最小整数解为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 如果不等式组无解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，请将答案填在答题卷的答案栏内，每小题3分，共18分） 11. 25的平方根是_____． 12. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是_____． 13. 若是完全平方式，则的值是______． 14. “的2倍与5的和是非负数”用不等式表示为_____． 15. 比较大小：________ 16. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“柳子数”．如：，，则8，16均为“柳子数”，在不超过2026的正整数中，所有的“柳子数”之和为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 计算 （1） （2） 18. 解不等式（组）： （1）； （2） 19. 先化简，再求值：．其中．． 20. 已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分． （1）求的小数部分； （2）求的平方根． 21. 计算： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． （3）已知，求的值 22. 某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： 型智能机器人台数 型智能机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二： 型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求，两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台，则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？每天最多分拣快递多少万件？ 23. 解答下列问题： （1）【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）： 当，时，____ 当，时，____ 当，时，____ （2）【猜想证明】无论取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由； （3）【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为若阴影部分的面积为2，求的最小值 ②已知、满足 ，求 的最小值． 24. 定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． （1）根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； （2）若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； （3）若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期义务教育阶段期中考试 七年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上．每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A中 ，是整数，属于有理数，故 A不符合题意； 选项B中 是无限不循环小数，即也是无限不循环小数，属于无理数，故 B符合题意； 选项C中是有限小数，有限小数属于有理数，故C不符合题意； 选项D中 是分数，分数属于有理数，故 D不符合题意； 故选：B． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方的运算方法，合并同类项的方法，同底数幂的乘法的运算方法．根据幂的乘方的运算方法，合并同类项的方法，同底数幂的乘法的运算方法，逐项判断即可． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C符合题意； ， 选项D不符合题意． 故选：C． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义逐个计算即可得到结果． 【详解】解：A、因为，所以选项计算正确； B、因为，所以选项计算错误； C、因为，所以选项计算错误； D、因为，所以选项计算错误． 4. 已知，下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正确性． 【分析】解：A． 由，两边加1，得，正确． B． 由，两边除以正数3，得，正确． C． 取反例：若，，满足，但，故不成立，错误． D． 由，两边乘（负数），不等号方向改变，得，再加1得，正确． 故选：C． 5. 如图，数轴上点表示的数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键． 由数轴可知，，估算选项中的无理数，进而确定取值范围，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， A、由可得，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、由可得，符合题意； D、由可得，不符合题意； 故选：C． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 移项，得 ． 系数化为1，得 所以解集在数轴上位于表示的点的左侧，且包含这个点． 7. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先展开，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故选：A 8. 不等式 的最小整数解为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再找出解集范围内的最小整数即可得到答案． 【详解】解： 移项得 ∵大于 的整数为 ∴其中最小的整数为． 9. 如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从图中可以得出，大正方形的边长为，大正方形的面积就为，4个矩形完全相同，且长为a，宽为b，则4个矩形的面积为，中间的正方形的边长为，面积等于，大正方形面积减去4个矩形的面积就等于中间阴影部分的面积． 【详解】解：∵四周部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b， ∴四个矩形的面积为， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形面积为， ∴中间小正方形的面积为， 而中间小正方形的面积也可表示为：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，利用正方形面积和矩形的面积的计算方法解决问题． 10. 如果不等式组无解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出的范围是解题的关键．先求出不等式的解集，根据不等式组无解，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 若不等式组无解， 则有． 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，请将答案填在答题卷的答案栏内，每小题3分，共18分） 11. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 12. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根之和为，可得，解得的值，进而求得这个正数的平方根，从而求得这个正数． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得， ， 即这个正数是． 13. 若是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ． 故答案为：． 14. “的2倍与5的和是非负数”用不等式表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：． 15. 比较大小：________ 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根定义，将转化为，进而就容易比较出与的大小，即可解答． 【详解】解：， ， ， 即． 16. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“柳子数”．如：，，则8，16均为“柳子数”，在不超过2026的正整数中，所有的“柳子数”之和为_____． 【答案】257048 【解析】 【分析】根据“柳子数”的定义，设出两个连续奇数分别为，，推导得到“柳子数”的表达式为，结合不超过2026的条件确定的范围，再化简求和即可求解． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数， 由平方差公式得， 令，解得， ∴所有不超过的“柳子数”之和为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解不等式（组）： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式和解不等式组，解题关键是熟练掌握解不等式（组）的步骤和方法； （1）按照解不等式的步骤进行计算即可； （2）先解两个不等式，再求出公共的解集即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 【小问2详解】 解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：．其中．． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用单项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式进行计算，合并同类项后代入x、y的值进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算－化简求值，恰当的利用法则和公式将原式进行化简是解决此题的关键． 20. 已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分． （1）求的小数部分； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用无理数的估算方法可得，即得，即得到 ，得到的整数部分为，进而即可求解； （）由（）可得，利用算术平方根和立方根的定义可得，，进而求出的值，最后根据平方根的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ， 即， ， ， 的整数部分为， ∴的小数部分为； 【小问2详解】 解：由（）可得，的整数部分为， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴ ， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 21. 计算： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． （3）已知，求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂的乘方和逆运算，整体代入计算即可求解； （2）根据幂的逆运算和同底数幂的乘法，整体代入计算即可求解； （3）根据完全平方公式，计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 解：， ，则， ． 22. 某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： 型智能机器人台数 型智能机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二： 型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求，两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台，则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？每天最多分拣快递多少万件？ 【答案】（1）型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元 （2）该企业选择购买型智能机器人台，型智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递万件 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，先求出的取值范围，分三种情况讨论可得当时，每天分拣快递的件数最多． 【小问1详解】 解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 由题意，得，解得， 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 【小问2详解】 解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台． 由题意，得， 解得， 为正整数， ， 共有种购买方案： ①型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）； ②型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）； ③型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）； 答：该企业选择购买型智能机器人台，型智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递万件． 23. 解答下列问题： （1）【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）： 当，时，____ 当，时，____ 当，时，____ （2）【猜想证明】无论取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由； （3）【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为若阴影部分的面积为2，求的最小值 ②已知、满足 ，求 的最小值． 【答案】（1），， （2） 解：，理由如下： ， ； （3）①8；② 【解析】 【分析】（1）根据有理数的运算法则求解； （2）根据作差法求解； （3）①根据（2）的结论求解；②根据（2）的结论求解． 【小问1详解】 解：当，时，，， 此时， 当，时，，， 此时， 当，时，，， 此时； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①设，，则， ∵，即， ， ， ， ∴的最小值为8； ②解： ，， ∴， ， 当取最大值2时， ∴的最小值为． 24. 定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． （1）根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； （2）若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； （3）若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】（1）① （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【小问1详解】 解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． 【小问2详解】 解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 【小问3详解】 解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $