精品解析：重庆师范大学科学城附属中学2025-2026学年下期期中调研测试八年级数学试题卷

重庆师范大学附属中学 2025-2026学年下期期中调研测试 八年级数学试题卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式“（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，则此项符合题意； 故选：D． 2. 下列选项中，矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角互补 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质．根据矩形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线不一定互相垂直，故选项符合题意； B、矩形的对边相等，故选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，故选项不符合题意； D、矩形的对角互补，故选项不符合题意； 故选：A 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算，根据二次根式的运算法则分别计算每个选项，即可得到正确结果． 【详解】对选项A：，A错误； 对选项B：，，，B错误； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D错误． 4. 下列线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： A、∵最长边为，，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； B、∵最长边为，，∴不能构成三角形，故选项不符合题意； C、∵最长边为，，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； D、∵ 最长边为，，∴能构成直角三角形，故选项符合题意． 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形中，，， ∴． 6. 如图，O为数轴原点，数轴上点A满足，过点A作直线l垂直于，在l上取点B使得，以原点O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点．根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 7. 如图，是的边上的高．分别以线段为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则关于，，，的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形面积公式表示出各正方形面积，再在两个直角三角形中分别利用勾股定理表示出公共直角边 的平方，建立等量关系即可求解． 【详解】解：∵分别以线段  为边向外作正方形，面积分别为， ∴， ∵是的边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得， 在 中，由勾股定理得， ∴， ∴． 8. 如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴  长与宽的比值为． 9. 如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据且可得为等腰直角三角形，求出，求出；设，利用含角的直角三角形性质及等腰直角三角形性质表示出，结合周长列方程求解即可． 【详解】解：∵，，  ∴是等腰直角三角形，  ∴，即，  ∵ ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ； ∵四边形是平行四边形，  ∴，，，  ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ，  ∴，  ∵平行四边形的周长为，  ∴，即，  ∴， 解得，  ∴． 10. 对于多项式，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b和d进行“加负运算”，得到：．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，有以下几种说法： ①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到； ②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式； ③乙同学通过“加负运算”后可以得到10个不同的代数式． 以上说法正确的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①乙同学第一次对a和d，第二次对a和e进行加负运算，可得①正确；根据甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，可得②正确；分类讨论，分三种情况讨论，情况一若固定改变a，乙同学可改变字母或或或；若固定改变b，乙同学可改变字母或或；固定改变c，乙同学可改变字母或；固定改变d，乙同学可改变字母，情况二在第一种的基础上再改变2个字母，情况三改变两次，可得不同代数式的个数，即可判断③错误 【详解】解：原多项式为，“加负运算”本质是改变所选字母的符号，逐一验证： ①要得到，操作如下：第一次对和做加负运算，得到，第二次对和做加负运算，得到，故①正确． ②乙做一次加负运算改变2个字母的符号，要得到乙结果的相反代数式，需要所有5个字母都改变符号，还需要改变个字母的符号，甲每次对3个字母做加负运算，只需改变剩余3个字母的符号即可得到目标代数式，故②正确． ③第一种：改变2个字母：若固定改变a，乙同学可改变字母或或或； 若固定改变b，乙同学可改变字母或或； 固定改变c，乙同学可改变字母或； 固定改变d，乙同学可改变字母， 所以有种， 第二种：在第一种的基础上再改变2个字母：即乙同学可改变字母，，，，共5种 第三种，即改变两次，得到原来的代数式，共1种， 综上所述，共有种，故③错误 综上，说法①、②正确，说法③错误，故正确个数为2． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是列出不等式求解． 根据二次根式有意义，列出不等式求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴． 故答案为： ． 12. 一个多边形的内角和是外角和的一半，这个多边形的边数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．根据多边形的外角和为及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数． 【详解】解：一个多边形的外角和是内角和的2倍，且外角和为， 这个多边形的内角和为， 则这个多边形的边数是3， 故答案为：3 13. 已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 【答案】 8或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边长求第三边，需分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：当和都是直角边，为斜边时，根据勾股定理得 . 当为斜边，为直角边，为直角边时，根据勾股定理得 . 两种结果均满足三角形三边关系，故的值为或. 14. 已知a+＝，则a2+的值是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】把a+＝两边平方即可求出a2+的值． 【详解】解：∵a+＝， ∴(a+)2＝10， ∴a2+2+＝10， ∴a2+＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了完全平方公式，以及二次根式的性质，熟练掌握各 知识点是解答本题的关键 15. 如图，四边形与四边形都是正方形，点C、G、H三点在一条直线上，若，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，得，设，则，求出，可得． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图， ∵四边形和都是正方形，且， ∴，， ，， ∵三点共线， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 16. 对于一个四位自然数，如果它满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么我们称这个数为“三角数”．例如：3729，因为，，所以3729是“三角数”；又如4057，因为，所以4057不是“三角数”．若是最小的“三角数”，则__________；若“三角数”（，，，，，为整数），记的千位数字与十位数字的和为，当是4的倍数时，满足条件的的最大值和最小值的差为__________． 【答案】 ①. 1203 ②. 5056 【解析】 【分析】本题考查了新定义、数的整除、实数的运算等知识，掌握分类讨论是解题的关键． ①设，且，当，数字重复，时，则，只能为0，故，即可求解； ②当时，则N为，有是4的倍数，只有，则，此时符合题意；当时，则N为，则，是4的倍数，只有时，符合题意． 【详解】解：①若是最小的“三角数”，设，且， 当时，则，则，数字重复，故不符合题意； 当，数字重复，故不符合题意； 当时，则， ∴b可取1，2，0，b为1数字重复，b为2数字重复，故b为0， ∴这个四位数目前为， ∵且数字不重复， ∴，故， 故答案为：1203． ②当时，则N为， ∴， ∵是4的倍数， ∴当，则，此时，舍； 当，则，此时，此时，不满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，舍， 当，则，此时，此时，由于， 故最小为； 当时，则N为，则， ∵是4的倍数，且， ∴当时，，而，故最大为， 当时，，而，故最大为，因此最大数为，最小数为， ∴差为5056． 故答案为：1203，5056． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）， （2）． 【答案】（1） 4 （2） 【解析】 【分析】（1）化简二次根式，计算绝对值及乘法，再计算加减法即可； （2）先化简二次根式，除法化为乘法，再计算乘法 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 小高同学发现过平行四边形对角线中点作两条互相垂直的直线，分别与四边相交，所得四个交点形成的四边形是特殊的平行四边形．下面请你帮助小高同学作图，并补充完整其探究过程． （1）请你利用尺规作图，过点O作的垂直平分线，分别交于点G，E；连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：四边形是平行四边形，O为对角线的中点，E、F、G、H分别是四边形边上的点，与相交于点O，． 探究：四边形是特殊平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴______①______ ∴ 又∵O为对角线的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴______③______ 同理： ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是______④______ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图的方法作出的垂直平分线，分别交于点G，E即可； （2）证明，推出，由，证明四边形是平行四边形，由即可得到四边形是菱形． 【小问1详解】 解：所作图形如图： ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 又∵O为对角线的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ 同理： ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 若实数，满足，求代数式的值． 【答案】． 【解析】 【分析】先求出，，则，，再代入即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 20. 如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为． （1）求的长度； （2）如果将梯子底端沿向外移动，梯子底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，求梯子顶端沿墙下滑的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，可得； （2）根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴梯子顶端沿墙下滑． 21. 如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． （1）若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； （2）若，平分，，求E的面积． 【答案】（1）见解析 （2）25 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，推出，据此即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，求得，作于点，利用直角三角形的性质求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形， ∴， ∵点F是中点，点G是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点， 在中，， ∴， ∴． 22. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上． （1）若，，求的值； （2）求证： 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点A作于F，求出，得，根据等腰直角三角形的性质得，即可根据勾股定理求出结果． （2）证明，得，，再在中，根据勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点A作于F， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， 和都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ． ∵是等腰直角三角形，， ∴， ， ， ， ， ，， ， ． 23. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； （2）图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． （3）如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3）96 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，利用面积法求出即可； （2）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明； （3）设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，由题意及图形可知，，因为外轮廓周长为48，得，求得，在中，由勾股定理列等式求出x的值，即可解答 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即． 【小问3详解】 解：设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c， 由题意及图形可知，为较短直角边，即， 因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和， 所以， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 代入数据得， 解得 所以该图案的面积为： 答：该"勾股风车"图案的面积为96 24. 利用三角形一边及该边上的高可通过公式求三角形面积，由三角形全等的判定方法“边边边”可知一个三角形三边确定，三角形形状和大小确定，面积也就确定，那么，如何通过三角形的三边直接求面积呢？古希腊几何学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积公式： ①（称为海伦公式），其中．我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中，提出利用三角形的三边求面积的公式②（称为秦九韶公式）． （1）若一个三角形的三边分别为，，，请任选以上一个公式求三角形的面积； （2）如图，在三角形中，，，，作，的角平分线交于点O，过点O作，求的长； （3）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一公式，请你通过将公式②变形，推导出公式①． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三边数字特点选择简便的公式计算； （2）将三边的值代入公式计算求出面积，根据角平分线的性质及三角形面积公式解答即可． （3）利用完全平方公式及平方差公式变形计算即可证明． 【小问1详解】 解：三边都是根号形式， 故用秦九韶公式能计算更简便； 设 ∴ ∴ = 【小问2详解】 在三角形中，，，， 半周长， 根据海伦公式：的面积， ∵O是，的角平分线交点，且， ∴点O到的距离相等， 设，则O到的距离都是h， ∵， ∴ 即， 解得， 答：的长为； 【小问3详解】 证明： ∵， ∴，，，， 代入上式得： ． 25. 如图，在中，，，D为边上任意一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，F为边的中点，连接． （1）如图1，交于点G，若，，求线段的长度； （2）如图2，M为的中点，连接，求证：； （3）连接，点N为直线上一动点（不与点B，C重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，在（2）的条件下，若，当取得最小值时，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，推导出，根据勾股定理计算可得，的长，再利用直角三角形30度角的性质即得答案； （2）过点作，交于点，连接，，先证明，得到，，再证明四边形是平行四边形，可进一步推得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得结论； （3）由（2）知，由此当时，取最小值，求出这个最小值为；由轴对称的性质可知，点在以点为圆心，的长为半径的弧上运动，所以当，，三点共线时，线段的长度取得最小值，求出这个最小值，即得答案． 【小问1详解】 解：，， 是等边三角形， ，， ， ， 为边的中点， ， ， ∴， 设， 根据勾股定理，， ∴， 解得， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：过点作，交于点，连接，，如图2， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，为边的中点， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为的中点， ， ，，三点共线，且， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 射线与的夹角为定值， 即射线的方向固定， 当时，取最小值， ， ， ， ∵， ∴ ∴， 在中，， 沿翻折至所在平面内，得到， 点在以点为圆心，的长为半径的弧上运动， 当，，三点共线时，线段的长度取得最小值，如图4， 在中，， 线段的长度的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆师范大学附属中学 2025-2026学年下期期中调研测试 八年级数学试题卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中，矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角互补 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，O为数轴原点，数轴上点A满足，过点A作直线l垂直于，在l上取点B使得，以原点O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（ ） A. 4 B. C. D. 5 7. 如图，是的边上的高．分别以线段为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则关于，，，的等式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 9. 如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 对于多项式，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b和d进行“加负运算”，得到：．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，有以下几种说法： ①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到； ②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式； ③乙同学通过“加负运算”后可以得到10个不同的代数式． 以上说法正确的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 12. 一个多边形的内角和是外角和的一半，这个多边形的边数为______． 13. 已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 14. 已知a+＝，则a2+的值是_____． 15. 如图，四边形与四边形都是正方形，点C、G、H三点在一条直线上，若，则______． 16. 对于一个四位自然数，如果它满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么我们称这个数为“三角数”．例如：3729，因为，，所以3729是“三角数”；又如4057，因为，所以4057不是“三角数”．若是最小的“三角数”，则__________；若“三角数”（，，，，，为整数），记的千位数字与十位数字的和为，当是4的倍数时，满足条件的的最大值和最小值的差为__________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）， （2）． 18. 小高同学发现过平行四边形对角线中点作两条互相垂直的直线，分别与四边相交，所得四个交点形成的四边形是特殊的平行四边形．下面请你帮助小高同学作图，并补充完整其探究过程． （1）请你利用尺规作图，过点O作的垂直平分线，分别交于点G，E；连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：四边形是平行四边形，O为对角线的中点，E、F、G、H分别是四边形边上的点，与相交于点O，． 探究：四边形是特殊平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴______①______ ∴ 又∵O为对角线的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴______③______ 同理： ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是______④______ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 若实数，满足，求代数式的值． 20. 如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为． （1）求的长度； （2）如果将梯子底端沿向外移动，梯子底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，求梯子顶端沿墙下滑的距离． 21. 如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． （1）若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； （2）若，平分，，求E的面积． 22. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上． （1）若，，求的值； （2）求证： 23. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； （2）图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． （3）如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 24. 利用三角形一边及该边上的高可通过公式求三角形面积，由三角形全等的判定方法“边边边”可知一个三角形三边确定，三角形形状和大小确定，面积也就确定，那么，如何通过三角形的三边直接求面积呢？古希腊几何学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积公式： ①（称为海伦公式），其中．我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中，提出利用三角形的三边求面积的公式②（称为秦九韶公式）． （1）若一个三角形的三边分别为，，，请任选以上一个公式求三角形的面积； （2）如图，在三角形中，，，，作，的角平分线交于点O，过点O作，求的长； （3）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一公式，请你通过将公式②变形，推导出公式①． 25. 如图，在中，，，D为边上任意一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，F为边的中点，连接． （1）如图1，交于点G，若，，求线段的长度； （2）如图2，M为的中点，连接，求证：； （3）连接，点N为直线上一动点（不与点B，C重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，在（2）的条件下，若，当取得最小值时，直接写出线段的长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $