20.2《 勾股定理的逆定理及其应用》小节习题2025－2026学年人教版数学八年级下册

20.2《勾股定理的逆定理及其应用》小节习题 一、单选题 1.如图，在△ABC中，AB=I0,AC=6,BC=8;D为BC上一点，连接AD,把△ABC沿AD折 叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积为() D C A.8 B.9 C.10 D.12 2.在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点.点C也在格点上，满足△ABC为 以AB为斜边的直角三角形.这样的点C有() B A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 3.如图，在四边形ABCD中，AB=5,BC=4,CD=3,AD=52,且∠BCD=90°，则四边形 ABCD的面积为() D B A.25√2+6B.18.5 C.31 D.37 4.如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个通讯基站，其覆盖半径为 300m,则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是() 300m 400m D A 500m A.只有B B.只有A,C C.只有A,B D.A,B,C 5.如图，在四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,DA=24,且∠B=90o,下列结论中： ①∠D=90o;②LA+LC=180°；③LC=120°；④S题边形4c=204.其中正确的结论是() D B A.② B.①② C.①④ D.①③④ 二、填空题 6.如图，在△ABC中，BC=I5,AC=20,AB=25,CD⊥AB于点D,E是AB的中点，则DE的 长为· B D E 7.如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A,B,C,D,E均为格点，连接 AB、CD,则LABE+LBCD= D 8.如图，在△ABC中，AB=4,BC=2,BD=1,CD=√5，则∠ACB的度数为 D B 9.如图，PE,EO分别是AB和AC中垂线，EP,EO分别交BC于点F,D,若BF=5, DF=3,CD=4,则△ABC的面积为 10.如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD,BC, DE属于位置可变的定长钢架.如图1所示，AB=29cm,AD=13cm,BC=20cm,伸缩杆P2的 两端分别固定在BC,CE两边上，其中PB=l3cm,CQ=20cm.当伸缩杆P2打开最大时，如图 2所示，∠ADC成180°，此时PQ=√449cm,则可变定长钢架CD的长度为 cm.当伸缩杆 完全收拢时，CD∥AB,则此时床高(CD与AB之间的距离)为 cm E D B 图1 图2 三、解答题 11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2 +b2+c2+338=10a+24b+26c. (1)试判断△ABC的形状. (2)求AB边上的高. 12.如图，一张三角形纸片ABC,已知，AB=10,AC=8,BC=6,将该纸片折叠，若折叠后 点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D,与边AB交于点E. D C B (1)求△ABC的面积. (2)求折痕DE的长. 13.如图，有一块三角形菜园ABC,其中AB=13m,AC=12m,BC=5m. D A B (1)判断菜园的边AC与BC是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边CB的延长线上找一点D,使边AD的长为15m,求BD的长. 14.某公园是人们健身散步的好去处，从A点到D点有两条路线，分别是A-B-D和A-C-D.经 测量AB=90米，AC=150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方50米处， 北 D 西→东 南 B 人工湖 A (1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； (2)通过计算，请你求出点C到路线BD的最短距离. 15.定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形 分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： 图1 图2 图3 图4 (1)在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形ABC; (2)在图2中画出一个面积为13的格点正方形DEFG; (3)在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段H,; (4)在图4中画出一个周长为3√2+√10的格点直角三角形JKL. 参考答案 一、单选题 1.B 解：，AB=10,AC=6,BC=8, ∴.AC2+BC2=62+82=100=AB2, ∴.LC=90°. 由折叠性质可知：AB'=AB=10,B'D=BD, ∴.B'C=AB'-AC=10-6=4, 设CD=x,则BD=8-x,B'D=8-x. 在RtaBDC中，B'D2=B'C2+CD2, ∴.(8-x)2=42+x2, .∴.64-16x+x2=16+x2, .16x=48, ∴x=3,即CD=3, CxCD6x39 2 故选：B 2.B 解：如图，满足条件的点C共有4个， C 3.B 解：.LBCD=90°，BC=4,CD=3, ∴.BD=VBC2+CD2=5 .'AB=5,AD=52, ∴.AD2=5V2=50,BD2+AB2=25+25=50 ..AD2=AB2+BD2 ∴.△ABD是直角三角形， 四边形ABCD的面积为Sm+S,D-)AB×BD+)BC×CD=)x5x5+x4×3=12.5+6=185, 2 2 2 2 故选：B. 4.D 解：如下图所示，连接BD B 300m 400m 500m :AB=300、BC=400、AC=500, 又：3002+4002=5002 :AB2+BC2=AC2, △ABC是直角三角形， 又：点D是AC的中点， .BD AD =CD =250m, A、B、C三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内. 故选：D. 5.B 解：如图所示，连接AC, :在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=20,BC=15, ∴.AC2=AB2+BC2=202+152=625, CD=7,DA=24, ..CD2+AD2=7+242=625, ∴.CD2+AD2=AC2, .△ACD是直角三角形，且∠D=90o,故①正确； ∴.∠BAD+∠BCD=360°-∠D-∠B=180°，故②正确； 1 S影m=Saac+Sn0c=2×15×20+2×7x24=150+84=234,故④错误： 根据现有条件无法得到∠C=120°，故③错误； 故选B. D A B 二、填空题 6.3.5 解：BC=15,AC=20,AB=25, .BC2+AC2=152+202=625,AB2=625 ∴.BC2+AC2=AB2 ∴.∠ACB=90°， E是AB的中点， BE=AB=12.5, ,CD⊥AB, ..CD-cC .CD=BCAC_15×20 =12, AB 25 .DB=VCB2-CD2=V152-122=9, ∴.DE=BE-BD=12.5-9=3.5. 故答案为：3.5. 7.45° 解：取格点F,连接AF,BF, ∴.BF∥CD, ∴.LEBF=∠BCD, ,BF=P+2=5,AF=V2+22=5,AB=V2+32=√10， ∴BF=AF,BF2+AF2=AB2, ∴.LAFB=90°， ∴△AFB是等腰直角三角形， ∴.LABF=45°， .∴.LABE+∠BCD=∠ABE+∠EBF=∠ABF=45°， 故答案为：45°. 8.90° 解：：BC=2,BD=1,CD=V3, .BD2+CD2=1+3=4=BC2, △CDB是直角三角形，LCDB=90°， ∠CDA=90°. :AB=4,BD=1, :AD AB-BD =3, AC=VAD2+CD2=V32+(N5)2=25, .AC2+BC2=12+4=16=AB2, △ABC是直角三角形，∠ACB=90°. 故答案为：90°， 9.24 解：连接AF,AD, :PE,Q分别是AB和AC中垂线， :AF=BF=5,AD=CD=4, :DF=3, ..AF=AD'+FD, ∠ADF=90°， AD⊥BC, :BC=BF+DF+CD=5+3+4=12, △4BC的面积=2BC.AD=2x12×4=24. 故答案为：24. 10. 8 12 解：如图2， E D B 图2 '.BC 20cm PB =13cm, .'PC=BC-PB 7cm, .C9=20cm,PQ=√449cm, .∴.CQ2+Cp2=449cm2,P02=449cm2, ∴.CQ2+CP2=PQ2, ∴.∠PCQ=90°， .LPCD=90°， .∴.∠ACB=90°， ∠ADC成180°， △ACB是直角三角形，由勾股定理，得 AC=VAB2-BC=V292-202=21(cm) ∴.CD=AC-AD=21-13=8(cm); 当伸缩杆完全收拢时，CD∥AB,过点C作CH⊥AB于H,过点D作DF⊥AB于F,如图， D Q B ,CD∥AB,CH⊥AB于H,过点D作DF⊥AB于F, ∴.DF=CH,∠CDF=90°， .∴.FH=CD=8cm, .'AF BF AB-FH =29-8=21(cm) 由勾股定理，得AD2-AF2=DF2=CH2=BC2-BH2 .∴.132-AF2=202-(21-AF .∴.AF=5cm ∴.DF=V√AD2-AF2=132-52=12cm 故答案为：8；12. 三、解答题 11.(1).a2+b2+c2+338=10a+24b+26c, .∴.a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0, .∴.(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0, 即a=5,b=12,c=13(a,b,c都是正的)， .52+122=132, ∴.该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°. (2)设AB边上的高为h, 根据直角三角形面积的两种表示法可径，0-， 即12x5x13, 解得h=60 13 奶边上的商为智 12.(1)解：，AC=8,BC=6,AB=10,AC2=64,BC2=36,AB2=100, .AB2=AC2+BC2, .∴.∠ACB=90°， 1 ∴.S。ABc= 4CBC=x8x6=24: 2 2 (2)解：连接BD,设CD=x, B ,折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D,与边AB交于点E, .△ADE≌△BDE,DE⊥AB, .'AE=BE=AB=5,AD=BD, 2 设CD=x,则AD=BD=8-x, 在Rt△BCD中，BD2=CD2+BC2, 即(8-x)2=x2+36, 解得，DC 4, AD=BD=8-7-25 44, ,DE⊥AB, .'DE =BD2-BE2 25-5- 4 13.(1)解：AC⊥BC,理由如下： AB2=169,AC2=144,BC2=25,且144+25=169， 即AB?=AC2+BC2, .△ABC为直角三角形， ∴.∠C=90°， 即AC⊥BC; (2)解：∠C=90°， .由勾股定理得CD=√AD2-AC2=V225-144=9m, .∴.BD=CD-BC=9-5=4m. 14.(1)解：AB1BC,理由如下： 由题意可得：AB=90米，AC=150米，BC=120米， .∴.AB2+BC2=902+1202=22500=AC2, ∴∠ABC=90°， ∴.AB⊥BC; (2)解：由题意可得：CD=50米，LBCD=90°， 由勾股定理可得：BD=VBC2+CD2=V1202+502=130米， 由垂线段最短可得，点C到路线BD的最短距离为BCCD-120x50_60米. BD130 13 15.(1).S4Bc=2×1÷2=1, ∴.△ABC即为所求； (2),EF=FG=GD=DE=√22+32=V13, 正方形DEFG的面积为13； (3)HI=32+42=5; (4),KL=V2+12=√2，JL=√22+22=22，JK=VP+32=0, 且（√2）2+(2√2)2=(W10)2 ∴.△JKL是直角三角形，且周长为3√2+0. D B 图1 图2 图3 图4