暑假专题作业：勾股定理-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）

**基本信息** 聚焦勾股定理的概念应用、分类讨论与动态探究，通过分层题型系统构建“概念-推理-应用”逻辑链，提炼分类讨论、辅助线添加等可迁移方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8（单选1-6、填空11-12）|勾股定理及逆定理直接应用|从边长计算到坐标表示，构建数与形的联系| |综合拓展|6（单选7-9、填空13-15）|方程思想与折叠性质结合|从静态图形到动态变换，深化空间观念| |创新探究|5（单选10、填空16、解答18-21）|规律探究与动态几何模型|从特殊到一般的数学抽象，发展创新意识|

暑假专题作业：勾股定理-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，， B．1，2，3 C．3，4，6 D．5，6，7 2．在直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A． B． C． D．2 3．已知，直角三角形的两边长分别为6和10，则斜边长可能为（   ） A．8 B． C．10或 D．10 4．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 5．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 6．在中，，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．2.5 7．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点和点，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点．若，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 8．如图，在中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 9．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（   ） A．360 B．200 C．280 D．242 10．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，已知，，则点的坐标为_____________． 12．如图，长方形的边在数轴的正半轴上，为原点，，，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的数为___________． 13．在中，，，点O为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为______． 14．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为________． 15．如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 16．如图，中，，以为斜边向内部作等腰直角，过直角顶点作于于，则线段的长度为___________．． 三、解答题 17．如图，在中，，是的角平分线，，． (1)求的面积； (2)求的长． 18．如图，是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，连接． (1)观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论； (2)若，连接，试判断的形状，并说明理由． 19．按要求作图： (1)网格中每个正方形边长为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画出以下图形． ①请在图（a）中画一条长为的线段； ②请在图（b）中画一个三角形，使它的三边长分别为． (2)图（c）中有一个腰长为2的等腰直角三角形纸片，请你在图中画出适当的裁剪线，将这个三角形不重不漏地拼成一个正方形，并在图（d）网格纸上画出这个正方形． 20．定义：在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，则，两点的距离是． (1)点与点之间的距离是 ． (2)已知点，，，连接，试判断的形状，并说明理由． 21．如图（1），中，，，，的平分线交于C，过O点作与垂直的直线．动点P从点B出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． (1)求、的长： (2)当，时，求的面积； (3)当P在上，Q在上运动时，如图（2），设与交于点M，当t为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的t值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专题作业：勾股定理-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A B A A A D D 1．A 【详解】解：选项A：最长边为， ，， ，可以构成直角三角形． 选项B：最长边为， ，，， 不能构成直角三角形． 选项C：最长边为， ，，， 不能构成直角三角形． 选项D：最长边为， ，，， 不能构成直角三角形． 2．B 【详解】解：∵原点坐标为，点P坐标为， ∴点P到x轴的距离为，点P到y轴的距离为， ∴由勾股定理得，点P到原点的距离． 3．C 【分析】本题未明确已知两边中哪条是斜边，因此需要分两种情况讨论，运用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当长为的边是斜边时， ∵此时斜边就是， ∴斜边长为； 情况2：当长为的边是直角边时，长为的边也是直角边， ∵直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和， ∴斜边长； 综上，斜边长为或 选项B（ ）和选项D（10）均为斜边长的可能值，都被包含在选项C中，不符合单选题最优选项唯一性的原则． 4．A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． 5．B 【分析】根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则可得点P表示的数． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 6．A 【详解】解：∵在中，， ∴． 7．A 【分析】过点D作于J点，根据作图得出平分，可得，结合含度角的直角三角形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作于J点，如图， 根据作图可知：平分， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵在中， ，， ∴，即， 同理可得：， ∴， ∴． 8．A 【分析】先作垂直交于点M，再作，根据角平分线的性质即可找到动点M和N，进而求得的最小值． 【详解】解：如图所示： 过点C作于点E，交于点M，过点M作于点N， ∵平分， ∴， ∴． 由垂线段最短知，此时有最小值，为的长． ∵在中，，，， ∴, 又， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为2.4． 9．D 【分析】此题主要考查了勾股数，根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入，求出b、c的值，进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得：， 则， ∴． 10．D 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． “生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是； “生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”3次后，所有的正方形的面积和是， … “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 11． 【分析】根据勾股定理求出的长，结合图形确定点所在的象限，进而确定点的横、纵坐标． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 点在第二象限，且轴， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 12． 【分析】结合勾股定理求出的值，从而得到的长，由实数与数轴的关系即可得点对应的数． 【详解】解：长方形中，，， ，， 以为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点， ， 即点对应的数为． 13．3或 【分析】分两种情况讨论直角顶点的位置，分别求解的长度即可． 【详解】解：①当时， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为3或． 14． 【分析】先在中，利用角的性质求出的长度；再在中，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵在中，，，， ∴． 15． 【分析】（1）设，则，根据折叠可知，然后在中，由勾股定理建立方程求解即可； （2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的中点， ， 设，则，根据折叠可知， ∵ 在中，， ， 解得， ； （2）根据轴对称的性质可得， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1，此时， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大， 如图2，此时， 综上所述，的取值范围为． 16． 【分析】如图，过作交的延长线于，交于，连接，证明，再进一步利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，交于，连接， ∵等腰直角， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （2）根据角平分线的性质，过点作于点，作于点F，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，再根据三角形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点， ∵，是的角平分线，，， ∴，， 在中，， 设， ∴， ∴ ， ∵ ∴ ∴，即． 18．(1)，见解析 (2)直角三角形，见解析 【分析】（1）先证，再证即可； （2）先证为正三角形，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：， ， 又， ， ； （2）解：是直角三角形．理由如下： 由， 可设，连接， ，且， 为正三角形， ， 又， ， 是直角三角形． 19．(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①利用勾股定理作图即可； ②利用勾股定理确定相应线段即可完成作图； （2）将已知的等腰直角三角形分为4个全等的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：①线段如图所示： ; ②如图所示： ， （2）解：裁剪线如图（c）所示： 拼成的正方形如图（d）所示： 20．(1) (2)是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）根据两点的距离公式代入数值计算，即可作答． （2）分别算出，再得出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解： 是等腰直角三角形．理由如下： 由题意可知，， 则， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形． 21．(1)， (2) (3)t值为或 【分析】（1）求出，得到，利用勾股定理求出，求出，得到，进而求解即可； （2）如图，作于H，证明出，得到，求出，，即可解决问题； （3）首先求出，表示出，，然后分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图中，作于H．当时，P在上，Q在上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 根据题意得，， ∴ ①当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时， 此时， ∴， ∵， ∴， ∴此时不存在； ③当时，过P作于G，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 解得：． 综上，当t为或时，是等腰三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $