山西吕梁市文水县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

**基本信息** 立足八年级数学核心内容，通过项目式探究（如建筑物外角设计）、阅读思考（二次根式化简）及综合实践（矩形折叠）等题型，融合几何直观与运算能力，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、勾股定理、多边形内角和|结合网格图考查空间观念| |填空题|5/15|二次根式意义、三角形中位线|联系数轴与实际测量情境| |解答题|8/75|四边形判定、新定义“对称四边形”|项目式问题（建筑物外角）体现数学眼光，阅读材料题考查推理意识|

2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测 八年级数学（人教版）答案 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.B2.C3.A4.D5.B6.C7.D8.B9.A10.A 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.x≥2026 12.10-1 13.200 14.3 15.25或3或√41 三、解答题（共8小题，共75分） 16.（每小题5分，共10分) (1)27-V12+V5 =35-25+V5 =(3-2+1)V3 =25 2-(E+E -+5) =1+V2-(2-1) =1+2-1 =反 17.(本题7分) 解： (1)当m=V3+1,n=V5-1时， m2+n2=(5+1)2+(5-1)2 =(3+25+1)+(3-2W5+1) =(4+2V5)+(4-25) =8 (2)当m=5+1,n=V5-1时， 品+界=++料 V3+1 F3-1 (5-1 (W3+1 =5+s可+503+ =s5+ ( =423+4+25 31 =男 =4 18.(本题6分) 解：四边形ABCD是平行四边形。理由如下： :四边形BFDE是平行四边形 ·DE‖BF,DE=BF ,点A在DE的延长线上，点C在BF的延长线上 .AD‖BC :AD=AE十DE,BC=CF+BF,且已知AE=CF ·AE+DE=CF+BF ·AD=BC .在四边形ABCD中，AD‖BC且AD=BC ∴.四边形ABCD是平行四边形 19.(本题7分) 解：设梯子底端B到右墙角点E的距离BE为x米。 由题意可知，小巷宽度CE=2.2米，则BC=(2.2-x)米。 在Rt△ACB中，由勾股定理得： AB2=AC2+BC2=2.42+(2.2-x)2 在Rt△DEB中，由勾股定理得： DB2=DE2+BE2=22+x2 因为梯子的长度不变，即AB=DB,所以AB2=DB2可得方程： 2.42+(2.2-x)2=22+x2 5.76+4.84-4.4x+x2=4+x2 10.6-4.4x=4 4,4x=6.6 x=1.5 答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米。 20.(本题10分) (1)∠1+∠2=∠3+∠4。 理由如下： 因为四边形的内角和为360°， 所以∠3+∠4+(180°-∠1)+(180°-∠2=360°， 整理得：∠3+∠4+360°-（∠1+∠2=360°， 所以21+∠2=∠3+∠4。 (2)∠1+∠2=∠3+∠4。 (3)解：在四边形ABCD中∠DAB+∠ADC+∠B+∠C=360°， :∠B+∠C=240° ·∠DAB+∠ADC=360°-240°=120°。 :∠NAD=180°-∠DAB,∠MDA=180°-∠ADC ÷∠NAD+∠MDA=360°-（∠DAB+∠ADC=360°-120°=240°。 :AE、DE分别平分∠NAD与∠MDA, ·∠DAE=克∠NAD,∠ADE=克∠MDA, :∠DAE+∠ADE=(∠NAD+∠MDA)=克×240°=120°。 在△ADE中，∠E=180°-（∠DAE+∠ADE)=180°-120°=60°。 答：∠E的度数为60°。 21.(本题10分) 解，(1)h-7品=51 2-1 2-1 52 45 V2026-V2025 (2)原式 =(2+1+ 5+2W3-万+4+54- +·+(2026+2025X2026-2025 =2-1+5-V2+4-V5+·+2026-2025 =V2026-1 5+2 ③)由题意得a=2=25+2=5+2 a-2=V5. ÷(a-2)2=5, ÷3a2-12a+1=3a2-12a+12-11 =3(a-2)2-11=3×5-11=4 22.(本题12分) (1)2 (2)解：由折叠可知，△BCD兰△BCD, ·∠BCD=∠C=90,BC=BC=3,DC'=DC=4O ·∠BCE=90°。 在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90。 在Rt△DCE中，∠CDE+∠CED=90°。 :∠CEB=∠CED :∠CBE=∠CDE,即∠EBD=∠EDB。 :BE=DEo 设DE=x,则BE=X,AE=AB-BE=4-Xo 在Rt△ADE中，由勾股定理得： AD2+AE2=DE2 32+(4-x)2=x2 9+16-8x+x2=x2 25-8x=0 x=等 :S△BDE=专×BE×AD=专×9X3=7。 答：△BDE的面积为瓷。 (3)存在。 由题意知，矩形的两条较长边为AB和CD,长度均为4。 设点C的坐标为(m,n)。 由折叠性质知BC=BC=3,即点C在以B(4,0)为圆心，3为半径的圆上， (m-4)2+n2=9o 点C'到AB的距离为Inl,到CD的距离为3-n|。 根据题意，|n:13-n=1:2或2：1。 ①当1nl13-nl=1:2时，解得n=1。 代入圆方程得(m-4)2+1=9,解得m=4±22。 :0≤m≤4÷m=4-2V2。 此时c(4-2V2,1)。 ②当1nl:13-nl=2:1时，解得n=2。 代入圆方程得(m-4)2+4=9,解得m=4±V5。 :0≤m≤4，am=4-V5。 此时C(4-V5,2)。 综上所述，点C的坐标为（4-2V2,1)或(4-5,2。 23.(本题13分) (1)正方形或菱形 (2)①证明：，四边形ABCD是正方形， AC⊥BD,OA=OB, ·∠A0F=∠B0E=90° :AG⊥BE, ·∠AGE=90 ·∠0AG+∠A0G=90 又：∠0BE+∠BE0=90°，且∠A0G=∠BE0(对顶角相等)， ·∠OAG=∠OBE 在△A0F和△B0E中， |∠OAF=∠OBE OA=OB ∠AOF=∠BOE ·△AOF兰△BOEASA. ·OE=0F ②解：四边形ABHE是“对称四边形”。理由如下：设OE=a :0B:EC=1:V2, :.EC=V2a 在Rt△0EC中，0C=VOE2+EC2-Va2+2a2=V5a ,四边形ABCD是正方形， ÷0B=0C=V5a∠0BC=45 由①知OF=OE=a, BF=0B-0F=(V3-1)a 在Rt△BOE中， tan208B=器=后a=原， ∴.∠0BE=30 ∴.∠EBC=∠0BC-∠0BE=45°-30°=15°， ,AG⊥BE ∴.∠AGB=90°. ∴.∠BAG+∠ABG=90°. 又.'∠AHB+∠BAH=90°，且∠ABG=∠BAH, ∴.∠AHB=∠ABG .∠ABG=∠AB0+∠0BE=45°+30°=75°， ∴.∠AHB=75°. ∴.∠BAH=90°-75°=15°. ∴.∠BAH=∠EBC 在△ABH和△BCE中， ∠BAH=∠CBE AB=BC ∠ABH=∠BCE=90 .△ABH≌△BCEASA: ∴.AH=BE,BH=CE 在Rt△ABE中，∠ABE=75°，∠AEB=15°， ∴AB=AE 在Rt△BCE中，∠CBE=15°，∠CEB=75°， .CE=BE ∴.BH=CE=BE=AH. 在△ABH和△AEH中， (AB-AE BH-EH AH-AH ∴.△ABH≌△AEH(SSS ∴.四边形ABHE是“对称四边形”。姓名 准考证号 2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测 八年级数学（人教版） 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上。 3.答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5.本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母 标号在答题卡相应位置涂黑 1.下列各式中，不是二次根式的是 A.V45 B.V-3 C.va2 +2 2.下列二次根式中，能与V3合并的是 A月 B.V24 C.V12 D.V8 3.以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则A为 A.6 B.4 C.2 D.8 4.△ABC的三边分别为a,b,c,下列条件：①LA=∠B-∠C;②a2=(b+c)(b-c): ③a:b:c=3:4:5.其中能判断△ABC是直角三角形的条件有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.若一个正多边形的每个内角都是150°，则该多边形是 A.正六边形 B.正十二边形 C.正十四边形 D.正十五边形 1/8 6.一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离h(米)与时间()的关系为h=9 t2(g为重力加速度，g=10m/s2).物体从125米自由下落时，下落的时间为 A.3秒 B.4秒 C.5秒 D.6秒 7.如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,点D,E,F分别是AC,BC,AB的中点，连接DE,DF, 则四边形BEDF的周长是 A.5 B.7 C.8 D.10 8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点0作EF1AC交AD于点E,交BC 于点F.已知AB=4,△AOE的面积为5，则DE的长为 A.2 B.3 C.5 D.V6 9.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，若 BD是△ABC的高，则BD的长为 A.9V13 13 B名V丽 C.V13 D13 10.如图所示，菱形ABCD的两条对角线相交于0点，AC=24,BD=10,点P是边AB上 的一个动点，则DP的最小值为 A智 B岩 C. n沿 2/8 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.若vx-2026在实数范围内有意义，则x的取值范围是 12.如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB=3,BC=1,若以点A为圆心，以AC长为半 径画弧，交数轴于点M,则点M表示的数为 B 1012w 13.山西雁门关长城某段，三个烽火台A,B,C的位置构成三角形，测得AB=300米， BC=400米，AC=500米.若在AB中点D和AC中点E之间修建补给通道，则线段DE 的长度为 米. 14.如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.己知LACB= 90°，点D为边AB的中点，点A,B对应的刻度为1,7，则CD= cm. D 2 3 45 6 8 9 (第14小题图) (第15小题图) 15.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,连接AC,若点P在图中任意线段上，当AP=CP ,则BP的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(每小题5分，共10分)计算： (1)V27-V1z+√3； (2)5+严-(2+1(V2-1), 5 3/8 17.(本题7分)已知m=√3+1，n=V3-1,求下列代数式的值 (1)m2+n2; (2)0+受 18.(本题6分)如图，在□BFDE中，A,C分别在DE,BF的延长线上，且AE=CF.四边形ABCD 是什么四边形？写出理由. 19.(本题7分)如图，平遥古城两栋古建筑之间的小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的 宽度CE是2.2米.一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C的距离是2.4米. 如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E的距离是2 米.求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米. 4/8 20.(本题10分) 项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度.例 如，一块四边形地块ABCD相邻两条道路NA和MD,我们需在外部设置绿化带 或排水沟，AE与DE就是这两个外角区域的角平分线.工程师想知道在已知地 块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角∠E是多少？ 任务一模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中∠1,2是四边形的一组相邻外角，∠5，∠6是 相邻的两个内角， 2 6 62 图① 图② 图③ 问题1：测量或推导 (1)观察图①中∠1，∠2与∠3，∠4之间存在怎样的数量关系？写出理由： (2)观察图②中∠1，∠2与∠3，∠4之间存在怎样的数量关系？直接写出来： 任务二应用建模 问题2：如图③，在四边形地块ABCD的外部，AE,DE分别是外角∠NAD与∠MDA的平分线， (3)已知地块的∠B+∠C=240°，请利用你发现的规律，求出∠E的度数. 5/8 21.(本题10分)阅读与思考 爱阅读与思考的小华在解决问题：已知a=2本求2a2-8a+1的值.他是这样分析与 解答的： 2-V3 a=2+h52+w2-同=2-v3,a-2=-v3. (a-2)2=3,即a2-4a+4=3. a2-4a=-1. 2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小华的分析过程，解决下列问题： 1①计算本= (2)计算：本十3+2+4+十226+2远=一 3)若a=2求3a2-12a+1的值. 6/8 22.(本题12分)综合与实践 如图，将一张长方形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点A与原点0重合，顶点B,D分 别在x轴、y轴上，AB=4,AD=3,P为边CD上一动点，连接BP,将△BCP沿BP折叠，点C落 在点C处， D D D(P) C' 0() 0(4) 0(A) 图1 图2 备用图 (1)如图1，连接BD,当点C在线段BD上时，线段DC的长度为 氵 (2)如图2，当点P与点D重合时，沿BD将△BCD折叠得△BCD,DC与x轴交于点E,求△ BDE的面积； (3)在点P运动过程中，是否存在点P,使得点C到矩形的两条较长边（即AB和CD)的 距离之比为1：2？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由. 7/8 23.(本题13分)综合与探究 定义：若一个四边形的一条对角线将它分成两个全等的三角形，则称这个四边形为“对 称四边形”. (1)在我们所认识的四边形中，一定是“对称四边形”的是 (写出一种即 可) (2)如图，正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E为AC上一点，AG⊥BE于点G,AG 交BD,BC于点F、点H. 0 ①证明：OE=OF; ②当OE:EC=1:V2时，连接EH,判断四边形ABHE是“对称四边形”吗？并说明 理由. 8/8 姓名 准考证号______________ 2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测 八年级数学(人教版) 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上。 3.答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5.本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑. 1.下列各式中，不是二次根式的是 A. B. C. D. 2.下列二次根式中，能与 合并的是 3.以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则A为 A.6 B.4 C.2 D.8 4.的三边分别为下列条件:.其中能判断是直角三角形的条件有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.若一个正多边形的每个内角都是150°，则该多边形是 A.正六边形 B.正十二边形 C.正十四边形 D.正十五边形 6.一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离h(米)与时间(t)的关系为为重力加速度，物体从125米自由下落时，下落的时间为 A.3秒 B.4秒 C.5秒 D.6秒 7.如图,在,点D,E,F分别是的中点,连接DE,DF,则四边形的周长是 A.5 B.7 C.8 D.10 8.如图,在矩形中,对角线交于点O,过点O作交AD于点E,交BC于点F.已知的面积为5,则DE的长为 A. B. C. D. 9.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若的高，则BD的长为 A. B. C. D. 10.如图所示,菱形的两条对角线相交于点,,点P是边AB上的一个动点，则的最小值为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.若 在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 12.如图,长方形中在数轴上,若以点A为圆心,以AC长为半径画弧,交数轴于点M，则点M表示的数为 13.山西雁门关长城某段，三个烽火台的位置构成三角形，测得米，米，米.若在AB中点D和中点E之间修建补给通道，则线段DE的长度为 米. 14.如图，一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.已知，点D为边的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD= cm. 15.如图,矩形,连接,若点P在图中任意线段上,当则的长为 . 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(每小题5分,共10分)计算: 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 17.(本题7分)已知 求下列代数式的值. 18.(本题6分)如图,在中分别在DE,BF的延长线上,且.四边形ABCD是什么四边形?写出理由. 19.(本题7分)如图，平遥古城两栋古建筑之间的小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米.一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C的距离是2.4米.如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E的距离是2米.求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米. 20.(本题10分) 项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度.例如，一块四边形地块ABCD相邻两条道路NA和MD，我们需在外部设置绿化带或排水沟，AE与DE就是这两个外角区域的角平分线.工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角∠E是多少? 任务一 模型初探(发现规律) 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角. 问题1：测量或推导 (1)观察图①中与之间存在怎样的数量关系?写出理由； (2)观察图②中与之间存在怎样的数量关系?直接写出来； 任务二 应用建模 问题2:如图③,在四边形地块的外部,分别是外角与的平分线. (3)已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数. 21.(本题10分)阅读与思考 爱阅读与思考的小华在解决问题：已知 求 的值.他是这样分析与解答的： 即 请你根据小华的分析过程，解决下列问题： (1)计算 (2)计算: (3)若 求 的值. 22.(本题12分)综合与实践 如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点分别在轴上为边上一动点,连接,将沿折叠,点C落在点处. (1)如图1,连接,当点在线段上时,线段的长度为 ; (2)如图2,当点与点重合时,沿将折叠得与轴交于点,求的面积; (3)在点运动过程中，是否存在点，使得点到矩形的两条较长边(即和)的距离之比为?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 23.(本题13分)综合与探究 定义：若一个四边形的一条对角线将它分成两个全等的三角形，则称这个四边形为“对称四边形”. (1)在我们所认识的四边形中，一定是“对称四边形”的是 ；(写出一种即可) (2)如图,正方形中,对角线交于点为上一点, 于点交于点、点 ①证明: ②当 时，连接，判断四边形ABHE是“对称四边形”吗?并说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $