2025-2026学年高一下学期数学期中模拟卷3

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 选择题 题号 1 2 3 5 7 9 10 11 答案 A B C D B C C D ACD AB ACD 一，单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.若复数2=1-2 ,则z的虚部为() 1+i B.2 1 A. c-1 D.- 3 【解折1A2=1-21-0-2-1-1-32-3. 1+i(1+i)(1-i) 2 22 13 3 所以z=-二+二i,其虚部为。 22 2.已知平面向量a=（2,x),b=(1,-3,若a⊥b,则x=() A-2 C.6 D.6 【解析】B因为ā1万，所以a6=2-3r=0,解得x=召 3.已知函数f(x)=cosx+ π 3】 ,则f(x)的一条对称轴方程可以为() A.x=0 B.x= 2π C.x= D.x=π 6 【解析】C令x+=kxk∈Z,则x=k标-k∈Z), 3 对于A当x=0时.年红-骨0，新释写2，故错资 3 对于B,当X=时即m-二=，解得二)乙，故错误 6 36 对于C,当x= 2亚时，即k机-=2，解得k1∈Z,故正确， 33 对于D,当x=元时，即km-正=元，解得k=4EZ,故错误 3 3 4.如图，矩形AB'CD'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其 中A'B'=3,B'C=6,则原四边形ABCD的周长为() 第1页共16页 D' O'B C文 A.18 B.12+6V5 C.12+6√5 D.30 【解析】D矩形AB'C'D是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观 图， 其中AB=3,BC=6,将直观图还原为原图，如图， A 在直观图中，O'B=AB=3,则0'A'=32, 所以在原图中，可得0A=20A'=6V2,OB=OB=3, 所以AB=VOA2+OB2=√72+9=9，因为AD=BC=B'C'=6, 所以原四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=2(6+9=30. 5,已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为() A方 e 4 D. 【解析】B设圆锥底面圆半径为r,母线长为1，依题意，2=πl,则1=2r, 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为π 2r22 1+2r2+r=3 6.若平面向量a,i,c两两的夹角均为120，d=1,6=1,d=3,则a-万+d=() A.3 B.2√5 c.6 D.2√6 【解折】ca-万+c=(a-万+c=a2+6+c2-2a6+20c-26c -++-2cos120*+2cos120-2cos120 第2页共16页 =11+3-21x引+2x1x5》215》 =6, 所以a-i+=6 7已知函数f(y=-sinx+号o>0)满足f到=f八x+,且f到在0，内至少 有3个零点，则⊙的最小值为() A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】C由题意知是∫()的最小正周期的整数倍，则元=k.2五k∈N),得 @=2k(keN"). 由0≤x≤元，得≤0x+亚s0元+不 4 4 而f(在到0，可内至少有3个零点，则om+不≥3玩，得0≥ 又由0=2k,得2k≥ ,则k的最小值为2，得ω的最小值为4 8.在斜ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,4V6asin2C=3a2+b2-c2sinB, b=4,点0满足201+0B+0C=0,且cos∠C40=子则ABC的面积为() A.5 B.V10 C.45 D.215 2 【解析】D因为4V6asin2C=3a2+b2-c2)sinB, 由余弦定理得8W6 asin Ccos C=6 ab cos Csin B, 又因为ABC是斜三角形，所以cosC≠0，所以4v6sinC=3 bsin B, 由正弦定理得46c=362,所以c=36 =26, 4V6 因为20A+0B+0C=0, 所以0B+0C=2A0,所以A0+0B+A0+0C)=4A0, 第3页共16页 所以AB+AC=4A0,所以AB=4A0-AC, 所以AB2=16A0-8A0.AC+AC2, 因为cos∠C40=424=1640-8a0x4×号+16， 化简得2A0-Ad-1=0,解得Ad=1或A0=-号（舍去）。 a5 co-4y日-E 设BC边的中点为D,则AB+AC=2AD, 因为AB+AC=4A0,所以AD=2A0, 即O为AD的中点， 所以S.4e=25.co=45c=4x5=25 2 D 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知向量ā，6满足d=1,=1,a+=V5,则下列结论中正确的有() Aa与万夹角为3 B.a-万=2 1 c.a-b=1 D.a-6与万夹角为 π 【解析】AcD因为a+=a++2a万， 所以2而+2=3，所以ā万=。，所以B错误： 所以os(a, ab1 呵 2 因为(a,6)0,网，所以a,)-子，所以A正确： 第4页共16页 因为la-=a-=a-2a5+=1,所以c正确： 因为cos(a-6,6）- a-) 5-形-1=- a-啊1x1“2 2 且(a-6,)e0小，所以白-6,5)-7，所以D正流 10已知函数f(x)=Asin(ox+p)A>0,@>0,< 部分图象如图所示，则下列说法 正确的是() Oπ元 123 -2 A.0=2 B.f(x)的图象关于点 C.若将f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位得到的函数是奇函数，则t的最小值是 3 D.若方程fx)=m在 上有且仅有一个实数根，则m的取值范围是「-V5,√5) 【解析】AB由函数图象可得A=2,且 12π_ππ ,解得o=2,故A正确； 40312 所以f=2sn2x+p,又f合=2sm*=2. 所以爱+0=2a+号4eZ,即p=2a+骨eZ,又号所以p=骨 所以f=2sn2x+引 B:当x=- =2sin-π=0， 所以f(x)的图象关于点 -号0 2π 对称，故B正确； 第5页共16页 C:将f(x)向右平移t个单位得到函数f(x-t)=2si [24-+ =2sim2x-21+3 因为f川-小是奇函数，所以-21+骨a(keZ到，所以1=石，大∈Z, 62 所以k=0时，正数t取得最小值兀，故C错误； 6 时，2x+∈4红 +333] 令2x+s解将0≤x≤所以八在[0 上单调递增， 3 3-2 12’2 上单调递减， 故方程f(x)=m在 上有且只有一个实数根时， 则m的取值范围是-V5,V⑤U{2},故D错误， 11. 4BC申h=3,c=2,COSA=,则( A.a=3 B.B.∠C的角平分线交AB于D,则CD=√2 C.sin B= 2v2 3 DCa在花上的投影向量是-B 【解析】ACD由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0SA,得a2=9+4-2×3x2x=9, 故a=3,A正确； 因为AC=BC=3,所以ABC是等腰三角形，CD平分∠ACD, 所以CD是AB的垂直平分线，所以AD=AB=1,所以CD=VS-F=2N,所以 第6页共16页 B不正确； 由sim2A=1-cos24=8,A∈(0，x,所以sin4=2y2 9 3 因为4BC是等腰三角形，所以∠A=∠B,5inB=simA=2 3 ,所以C正确： 向量CA在AB上的投影向量为 CA.cosCA,AB. AB CA·ABAB CA·AB .AB AB CA AB AB AB CA·AB=-AC·AB=-bcc0sA=-3×2×二=-2，故投影向量为 子丽=号酒，所以D晚 a b 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12若复数2 3i-1+2,则= 1-i 【解析】由题意z 31-1+2-3i-11+1+2=3i+3-1-i+2=i, 1-i (1-i)1+i) 2 所以2=1。 13.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器假定某玉琮中间内空，形状对 称：如图所示，圆筒内径长3cm,外径长4cm,筒高6cm,中部是棱长为4cm的正方体 的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 cm3: 第7页共16页 3 【解析】圆筒体积为底面半径2cm,高度为6cm的圆柱体的体积减去底面半径为 cm, 2 高度为6cm的圆柱体的体积， 故其体积V=π×22×6-π× 21元。 ×6= -cm'; 2 中间部分的体积为棱长为4cm的正方体的体积减去底面半径为2cm,高为4cm的圆柱 体的体积， 故其体积'，=4-π×22×4=（64-16π)cm3: 故玉琮的体积V=64-16π 2-(64jm 2 14.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 c=2,sinC、。sinA ,M,N分别是ABC的重心和内心，且MN//BC,则a= cosC 2-cosA 【解析】·sinC。sinA .sin C(2-cos A)=sin AcosC, cosC 2-cos A .2sin C sin C cos A+sin A cos C sin(C+A), .2sinC=sinπ-B）,即2sinC=sinB, 由正弦定理，可得2c=b,C=2,∴b=4, 如图，延长AM交BC于点D,延长AN交BC于点E, 过点A作AH⊥BC于点H,过点N作NK⊥BC于点K, 设ABC的内切圆的半径为r,BC边上的高为h, 1 :S.c=2ah=2a+2+4到r,ah=(a+6)-7(*), M,N是ABC的重心和内心，且MN/BC, r NE DM 1 “方4证0-3h=3, 将其代入(*)，可得a3r=a+6·r, 解得a=3. 第8页共16页 B H KE D 四解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知复数z满足z-1-i为纯虚数，且z=V2 (1)求复数z; (2)若复数0= 2+ai 在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围。 【解析】(1)设z=x+yix,y∈R,z-1-i=(x-1)+(y-1)i, x-1=0 因为z-1-i为纯虚数，所以 y-1≠0 ,即x=1且y≠1， 又2=Vx2+y2=V2,即x2+y2=2, 联立解得x=1,y=-1, 则z=1-i (2)由(1)知0= 2+ai(2+ai1-)-(a+2)+(a-2i_a+2+4-2i. 1+i(1+i)1-i) 2 2 因为复数0 2+i在复平面内对应的点在第四象限， a+2>0 所以{ 2 ,解得-2<a<2, a-2 <0 2 即实数a的取值范围为-2,2). 16.已知函数fx=Asin0x+0)(其中A>0,o>0,0<p<π)，函数图象与y轴 的交点为0，V3,距离y轴最近的最高点为 2 且该最高点与其相邻的一个最低点 横坐标之差的绝对值为。 2 第9页共16页 (1)求f(x)的解析式： (2)求函数f(x)在区间(0，π)上的递增区间. 【解析】(1)由己知可得A=2, ,0=2, 02 将(0，V5,代入可得2sinp=5,0=或2 3 3 时f=2m2x+时}1.不合意 p=时，f(x)=2si 2x+引此时f)=2. 符合题意， 3 故p-子函数解新武为国到=2sn2x+写到） 2令-号+2ms2x+骨经+2a符-设+a≤xs音a,keZ 32 k=0时， [语hoa- k=1时， 7π13π 12’12 所以函数八到在区间Q上的港指X同为0哥； 17.如图为一个正方体ABCD-AB,CD与一个半球O构成的组合体，半球O的底面圆与 正方体的上底面A,B,C,D,的四边相切，球心O与正方形A,B,C,D,的中心重合，将此组合 体重新置于一个球O中（球0未画出），使正方体的下底面ABCD的顶点均落在球O的表面 上，半球O与球0内切，设切点为P,若球0的表面积为121π 第10页共16页 D B (1)求正方体的棱长； (2)若四棱锥P-ABCD的四条侧棱PA、PB、PC、PD分别与上底面A,B,C,D,交 于点A、B2、C2、D,求几何体A,B,C,D2-ABCD的体积和表面积 【解析】(1)因为球0的表面积为121π， 设球O的半径为R, 所以4R2=121x,解得R=1 2 设正方体的棱长为a, a 则半球O的半径为5=二， 2 球心O在过正方形ABCD中心且垂直于面ABCD的直线上， 设O到平面ABCD的距离为d, 则R2=d2+( a)2, 2 又因为半球O与球0内切， 所以00=a-d,又因为0,0=R-5=】-9 22 所以9=a-d,得d=3a,1山 22 2 代入R=+( 242, 得121_1a2-66a+121 4 解得a=6或a=0(舍去)， 所以正方体的棱长为6： 第11页共16页 11 (2)由(1)可知正方体的棱长为6，半球O的半径为3，球0的半径R= 2 易知几何体A,B,C,D,-ABCD为正四棱台， 且PO=3, 所以点P到平面ABCD的距离为6+3=9， D A D B 设正方形A,B,C,D2的棱长为m(m>0), m31 由相似知识可得= a931 所以m=子 设正四棱台的体积为V, 则r=3S:acn+S4c4+、 =2(36+4+√36×4) =104; 2 因为PA= 92十 62 99=3√i, 2 所以正四棱台的4，B,C,D,-ABCD的侧棱4，A=PA=2, 3 设正四棱台的AB,C,D2-ABCD的斜高为h, 则h= 2-23=而=2i而， 所以正四棱台的4B,CD,-1BCD的一个侧面面积为S=)2+6)×2i0=8V0, 所以正四棱台的A,B2C2D2-ABCD的表面积S=4×8V10+62+22=40+3210 第12页共16页 18.(1)已知平面向量ā=(2,1)，5=2，且2a+6与a-36垂直，求a,b的夹角的正切 值 D B (2)如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CD与BE相交于点P. ①若=(x+列B+(:-列4C,(x,zR,求2+3的最小值： (ii)AB=2,AC=5,∠BAC=60°，求∠DPB的余弦值. 【解析】(1)由=(2,1)得a=√22+12=5， 由2ā+b与a-3b垂直，得(2a+b)(a-3b)=0, 展开得2a2-5a.b-31bP=0,代入aP=5,1b=2,得2×5-5a.6-3×4=0, 解得ā-6=- 2 2 设，6的夹角为6，则cos0=a-6-一二5-5， |a‖b√5×225 又0∈[0，π，故sin0=V1-cos20= 2V155 25 因此tan0=sin9=-2√5T. cos0 (2)(i)已知D、E分别为AB、AC的中点， 故P为ABC的重心，因此AP=;AB+AC, 1 x+y= 3 又AP=(x+y)AB+(z-y)AC，由平面向量基本定理得： 2-y= 3 3,且x>0,z>0, 2 两式相加得：x+z= 第13页共16页 不2++2+引-引+生+）5+6 当且仅当22_3x,即3x2=22时取等号， 故2+2的最小值为引5+26) 3 X Z (i)由题设|AB=2,|AC=5,∠BAC=60°，则AB.AC=2x5×c0s60°=5， 又CD=40-4C=4B-AC,E=E-B-号4C-B, 网-传-d-店-2兮亚c+c2-s*5- 唱c---2×兮丽c+-臣-5+4=. 而旺-}-C4c--号-c+西c425+5=星 2 4 33 CD.BE 11 设∠DPB=0,则cos0= 4 CD BE V21xV2114 2 19.在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足 acos B+bcos A=2ccosC,a=2. (1)求角C的大小 (2)若sin Asin B≥ 4,求ABC的面积， (3)记边a、b、c的高分别为h,、h,、h.,求h,+h,+h的取值范围. 【解析】(l)由正弦定理可得sin Acos B+sin Bcos A=2 sin Ccos C, 即sinA+B=2 sin CcosC, .sin C=2sin C cos C, 又：sinC≠0，cosC=2 1 :C∈(0，，C=刀 3 第14页共16页 _1-cos24 3sin 24 11 4 又m24君51，n24-君-1.从面28至4=号 3 由(1)知C=,:ABC是等边三角形，面积为2-2sin=V5 3 3 (3)由题得到S=,absinC=V56, 2 s=, 1 2bh,=2h. +6+-画-5+台》 a b b+b.smB,sinB sin血A+》 3 sin +31 23sinA+ 3 a c sinA sinC sin A 5 2 2tan A 3 2 锐角BC中，C,g7,A出 3 A+326 2v3sin4+ 1， 3在A 6'2 上单调递减， y=一+ 2 2tan A 3 从而L+V3 23sin+ +（3 1 一十 2 2tan A 3 3 3 第15页共16页 +4+6-5+91a52 第16页共16页 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版必修第五章至第八章8.3《简单几何体的体积与表面积》. 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 3. 已知函数，则的一条对称轴方程可以为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形 是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中， ，则原四边形的周长为（   ） A. 18 B. C. D. 30 5. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 若平面向量两两的夹角均为，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，且在内至少有3个零点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 在斜中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点O满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ） A. 与夹角为 B. C. D. 与夹角为 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A. B. 的图象关于点对称 C. 若将的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，则的最小值是 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围是 11. 中，，，则（ ） A. B. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则__________. 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知分别是的重心和内心，且，则________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足为纯虚数，且. （1）求复数； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 已知函数（其中，，），函数图象与y轴的交点为，距离轴最近的最高点为，且该最高点与其相邻的一个最低点横坐标之差的绝对值为. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的递增区间. 17. 如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若球的表面积为. （1）求正方体的棱长； （2）若四棱锥的四条侧棱、、、分别与上底面交于点、、、，求几何体的体积和表面积. 18. （1）已知平面向量，，且与垂直，求的夹角的正切值． （2）如图，在中，､分别为､的中点，与相交于点． （i）若，，求的最小值； （ii），，，求的余弦值． 19. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，. （1）求角C的大小； （2）若，求的面积； （3）记边a、b、c的高分别为、、，求的取值范围. ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $