广东佛山市顺德区第一中学西南学校2025-2026学年下学期中段学情检测高二数学试题

2025-2026学年下学期中段学情检测高二数学试题 2026年4月 6.（x 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目. 7. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； A. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置发，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、不 按以上要求作答. 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将答题卡交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.如图，从A→C(图中不能折返回A)不同的走法有（) A.8种B.6种C.4种D.2种 2.已知实数m是1,4的等比中项，则m=（) A.±4 B.-4 C.±2 D.-2 3.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且a+a,=12,则S,的值为() A.33 B.44 C.66 D.132 =3n+4 4.已知等差数列{a,}和{，}的前n项和分别为S,、工，若元 n+2 则=（) A 111 B. 37 111 D. 13 13 26 名 5.已知fm=f2025)hx+2x2-x,则f2025)=（) A.0 B.-2025 C.1 D.2025 第页/共4页 6r-2x》 的展开式中常数项为() A.-80 B.80 C.-160 D.160 7.若函数f()=x+二(aeR,e是自然对数的底数)有两个零点：则a的取值范图为（） A.a>0 c.a≥ D.0<a<1 8.若函数fx)=x一3sin2x+asinx在(-∞，+∞)单调递增，则a的取值范围() A.[-1,1] B.[1引 c.【刮 D.-1,- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.下列求导数的运算正确的是（) (e=+ B0a2y-月 C.(xe*）=(x+10e* D.(x.cosx)'=-sinx 10.有三名男生、两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有( A.如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法 B.如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法 C如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法 D如果三名男生不能连排在一起那么有108种不同的排法 设酒数倒数别a}满足4=子a=小，则《) 5 A.41=3 B.数列{ 是等比数列 c.1<ans1+ 3 第2页/共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 18. 12.一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍。则一共开了 是 盏灯 13.若曲线y=e×+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线.则a= 令 14.已知数列{，}的前n项和S,=3m+n,数列，}的前n项和T=2”-,将{a}与凸，}的公共项由 2 小到大排列构成新数列{cn},则数列{cn}的前5项和等于一 解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为SnS2=3,且a2,a4,a3成等比数列. (1)求{an}的通项公式： (2)若bn=2·an,求数列{bn}的前n项和Tn 16已知x+京，（≥4neN)的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2. (1)求n的值： (2)求展开式中系数最大项， 17. 已知函数f(x)=(x-1)e. 6 54321 o12345 (1)求f(x)的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数y=f(x)的大致图象（不用说明理由）： (2)求证： J(x)+er >nx-x+3. 第3页/共4页 18.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f'(x)是函数y=fx)的导数，f"(x) 是函数f'(x)的导数，若方程f"(x)=0有实数解x,则称点(xo,f(x,)为函数y=∫(x)的“拐点”.某 同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对 称中心，给宽函数/()=写-+吕 十12请你根据上面的探究结果，解答以下问题： (1)求y=f(x)的对称中心 e求a=f品(+（品）+2) (3)记数列a,}的前n项和为S,数列{&的前n项和为Z,若T,≤S,对mN,恒成立，求元 的取值范围. 19.设n个不同的元素1,2,3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个 错位排列（也叫“错排”），记D,为个元素的错位排列的总数. (1)求D,D2,D3: (2)求证：{Dn+1-(n+1)Dn}是等比数列； 3)求证：D,=刚2-) (+n0n≥2). 第4项/供4页 2025-2026学年下学期中段学情检测高二数学试题答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1、【洋解】分为两类，不经过B点有2种走法，经过B点有2×3=6种走法，共2+6=8种走法.故选：A. 2.【分析】根据等比中项定义计算可得结果.【详解】依题意可知m2=1×4,解得m=±2.C 3.【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn,且43+a=a1+41=12, 由等差数列的前n项和公式，得S,=11a,+a-1112=6.C 2 2 4【详解】根据等差数列性质可得S1=4+4,+a,+…叶a1-2n-g+a=(2n-1a, 所以2=11%5=S=3x11+437 6116。=11+2=13,故选：B 五【详解】函数f四=/心202nx+分2-x,求号得/闭=1202》+x-1, 当x=2025时，/2025)=f2021+2024,解得f202)=2025.放选：D 2025 6【详解1因为(-2r-=--2- 共中：-号展开式的通项为江m=C(广（是）=(-2八Cx0”(0≤r≤5且7eN。 所以展开式中常数项为x3(-2)cx5-2(-2)}2C号x°=-160.故选：C 7、【详解】令f(x)=0,则xe+a=0,则-a=xe, 令g(x)=xe*,则g(x)=(x+1)e,当x>-1时g(x)>0,当x<-l时g(x)<0, 所以g(x)在(-1，+∞)上单调递增，在(-o,-1)上单调递减， 所以g()m=8(-1)=-,又当x<0时gx)<0,当x>0时g()>0,所以g()的图象如下所示。 E-4 )厂g) 依题意y=-a与g()=e有两个交点，则-<-u<0,则0<a<故选：D 1 8.【解答】解：函数fx)=x-sin2x+asinx的导数为：f'(冈=1-子cos2x+acosx, 由题意可得f'(x)≥0恒成立，即1-三cos2x+acosx≥0， 即-音cos2x+ac0sx≥0，设t=c0sx(-1≤t≤1)，则5-4t2+3at20, 当t=0时，不等式显然成立；当0<t<1时，3a≥4t-令g0=4t- 由g()=4t一g()=4t-在(0,1刂单调递增，可得t=1时，取得最大值-1， 可得3a≥-1，即a≥-3当-1≤t<0时，3a≤4t- 由g()=4t-在[-1,0)单调递增，可得t=-1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤ 综上可得a的范围是[-，引另解：设t=cox-1≤t≤1)，即5-4t2+3at≥0， 由题意可得5-4+3a≥0，且5-4-3a≥0，解得a的范围是[-，.故答案选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. ,根据基本初等函数及导数的求导法则知，(：一)=3x2士 对B,因为ln2是常数.所以In2)'=0,选项B错误： 对C,根据基本初等函数及导数的求导法则知，（xe)=e*+xe=(x+1)e，选项C正确： 选项(x·coSx)'=(x)}'cosx+x(Cosx)}'=cosx-xsinx,选项D错误.故选：AC. 10.【详解】对于A,将这两名女生捆绑，作为一个"元素"与剩下的三名男生进行全排列， 此时共有A2A4=48种不同的排法，故A正确： 对于B,先对三名男生进行全排列，再将女生插入三名男生所形成的中间2个空中，此时共有AA?=12种 不同的排法，故B正确；对于C,如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时共有AA;=36种不同的排法，故C错误； 对于D,5个人排成一排的全排列有A;=120种，三名男生连排在一起的排法有A3A=36种， 所以如果三名男生不能连排在一起，此时有120-36=84种不同的排法，故D错误.故选：B. 1.【详解】对于：因为，=f(@),即径系，解得a=2,故A错误， 2 2a,+1+1 2an+1 对于B:因为an+1= 22际以山++子—3×多+1 41-i29,+1-1 0n+2 -11 又9+=3，所以 a+1 是以3为首项，3为公比的等比数列，故B正确： g-1 1an-1 对于G由B可知}3，则a,=1+32>1, 2 a,-1 3”-1-2.3"-13”-1-1 3"-(3”-13-(3”-1 20, 所以1<0，≤1+3后，故C正确： 2a,+1 2+am≥2 2a+1.2+a=2, an+2'1+2an a +2 1+2an 当且仅当 授，即a,=1时成立，又4>1，所以了o)+日月 an+21+2n 2,故D正确故选：B0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【详解1由题意得一共开了3+6+12+24+48=93.故答案为：93. 13.【解答】解：由y=ex+x得y'=e*+1,则曲线y=ex+x在x=0处的切线斜率k=2, 则曲线y=ex+x在x=0处的切线方程为y-1=2x,即y=2x+1. 设y=h(x+1)+a的切点为mm.由y'=得n本=2，解得m=-是 所以n=2×(←)+1=0，所以0=n(-2+1)+a,解得a=lm2或-ln 14.【详解】当n=1时，4=S,=2, 当≥2时，6=8.-8=3n+n_30-少+6m-=3n-1, 2 2 当n=1时，4=2满足上式，所以an=3n-1,同理可求得bn=2-1, 设{an}的第m项与{亿，}的第k项相等，则am=b,即3m-1=2，m= 2-+1 31 2 当k=1时，m=二eN,当k=2时，m=1,则G=2, 5 当k=3时，m=N,当k=4时，m=3,则C2=8, 3 当=5时m2N,当k=6时，m=1,则g=32 当k=7时，m=9eN,当k=8时，m=43,则6，=128 当k=9时，m=2572N,当k=10时，m=171,则9，=512 故数列{cn}的前5项和等于2+8+32+128+512=682. 故答案为：682 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15.【答案】(1)an=n; (2)T,=(n-1)2m1+2. 【小问1详解】 设数列{an}的公差为d,则d≠0. （a=aas得 d2=ad 15,=3 a+3a=(a+d(a+74),化简得 2a+d=3' ……4 2a1+d=3 因为d≠0，所以d=a1=1, 所以an=1+(n-1)×1=n....6 【小问2详解】 由(1)知bn=n2”, 则Tn=1×2+2×22+3×23+…+n2,.8 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n.2m+1, 两式相减得-Tn=2+22+23+…+2”-n2*1 2-2）-n:2=0-0-21-2…12 1-2 所以Tn=(n-1)2m+1+2. …13 161①2og 【详解】1)解：由二项式+2） 展开式的通项为=C（2=2”.Cx，】 因为展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为15：2..2 可0号号即红一-到-号解得a=12或n=-1(合去，所以0的信为2…6 12 (2)解：由(1)知：二项展开式的通项为T,1=2.C2x2-”,其中r=0,12,…,12,..8 设展开式中第r+1项的系数最大，其中1≤r≤11，r∈N”,. 9 则满足 C1222C22 ,∫2(r+10212-r C22C话2，可得3-22， ，解得0 srs 13 3” 12 因为1≤7≤11reN,所以，=4，所以展开式中系数最大的项为G=2.C2= ...13 16 17.(1)极小值为f(0)=-1,无极大值，图见解析 (2)证明见解析 【小问1详解】f'(x)=e+(x-1)e=xe, 当x>0时，f'(x)>0,当x<0时，f(x)<0,即函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-o,0)上单 调递减，因此极小值为f(0)=-1,无极大值； 3 当x<1时，f(x)<0；当x→+o时，f(x)→+o,且f()=0, …5 结合单调性，可画出函数y=f(x)的大致图象，如下图所示： =x) 【小问2详解】 C>-+3,只要证-c+x-3>0,8 要证f(x)+e 令g6w=兰-1mx+x-3c>0.则g)-e6-1+1-e+-, 则g(x)<0得0<x<1;…12 g(x)>0得x>1,所以g(x)在(0，)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，…13 则g()≥g)=e-2>0,即g-1x+x-3>0恒成立，所以f()>1nx-x+3.…15 5 18.【答案】(1) 2)a,=2m-1@[3+m 【小问1详解】 由/)小-写-分2+号可得f倒=2-，所以了间=2x-1.1 +12 令f国0，可得x=号易知+号=1， …3 所以y=()的对称中心为行到 【小问2详解】 由（1)中y=()）的对称中心为[行，可得f(例+f-)=2,…5 园购，=}(+)月 所以a-2+2是2}2++ .7 两式相如可得2a-[分)+】》[2公】 =2(2n-1),可得an=2n-1, 【小问3详解】 由(2)）可得数列{a,}为等范数列，且4=1，所以8，-n1+21-=,…10 2 n2-11 可得S。= n2 44-1 4 11 anan+l (2n-1)(2n+1)）4n2-144n2-i 1 =1+2x1-1=+1,,1 4+42m-2m+4422m-12m+432n-2n中n …12 服x-非好引+高 非片动0鹄 ..14 6 若Tn≤入Sn对n∈N恒成立，可得 n(n+1) ≤n2, 2(2n+1) 即1 n+1 n+1 2n(2n+14n2+2m,1.… 1 令n+1=1≥2，可得224-6+24-6+ 2恒成立，所以九≥ 41-6+ ,e2,+∞、16 2 ,由对勾函数性质可知函数y=4t-6+2在2，+∞ 因比加=4x2-6+子-3，可得4写即A的取值猫阻为[行+)】 2 19.【详解】(1)n=1时，只有一个元素，无法错排，所以D=0; n=2时，有两个元素{2}，只有一种错排即{2,1号，所以D,=1；…3 n=3时，有三个元素{1,2,3}，有两种错排{2,3,1}和3,1,2}，所以D,=2.…5 (2)对于Dn1,假设第n+1个元素放在了第k个位置，k∈{1,2，…，n},考虑第k个元素的去向： 若放在第n+1个位置，则意味着第k个元素和第n+1个元素互相交换了位置， 剩下的n-1个元素进行错排，有Dn种方法；若没有放在第n+1个位置， 我们可以把第n+1个位置看作是第k个元素的“原位置”（因为它不能去那里）， 这等价于剩下的n个元素（包括第飞个元素）进行错排，有D,种方法，·…8 对每个k进行考虑即可得D1=n(Dn+Dn)，..· ….9 所以D41-(n+)D,=-Dn+nD=-(D,-nD-）,n22.... …10 所以{D:-(n+)D}是等比数列，公比为-1...。 ,11 (3)由(2)可知D1-(n+)D.=(D-3D2)×(-1)-2=(-1)=(-1)，n21,...…13 也即D-0=(-,k之2，两边同时除以1得到马-卫=（- kI(k-1)！k! …14 送折布会品小含g 15 左边裂项相消，得到2-马=品=即0= nl1！n!a2k1 2k 17 令1=k-1即可化为D,=m5” a(+1)川 n22).…19 【点睛】这类问题抓住递推关系是核心，通过分析增加的元素在后一种情况里找到所包含的前面的情况， 即可顺利构建出递推关系。 8