第七章 随机变量及其分布 单元测试卷（基础版）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 则常数（   ） A． B． C． D． 6．在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知随机事件A，B，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知随机变量和，其中，且.若的分布列如下表，则（   ） 1 2 3 A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知离散型随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 10．已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种 B．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 C．两次都取到2号球的概率要比两次都取到1号球的概率更小 D．第二次抽到2号球的概率为 11．下列结论正确的是（    ） A．样本数据的第75百分位数为23 B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为4052 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若离散型随机变量，则______，______. 13．假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 14．某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为、、. (1)若甲、乙、丙都去破译密码，求密码能被成功破译的概率； (2)若只安排一个人去破译密码，甲、乙、丙被选到的概率分别为、、，求密码能被成功破译的概率. 16．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 17．某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 18．为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 19．质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 2．袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用随机变量的定义可得出结果. 【详解】因为取到白球时停止，所以最少取球次数为，即第一次就取到了白球； 最多次数是次，即把所有的黑球取完之后才取到白球． 由题意可知，随机变量的可能取值有. 3．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，故. 4．已知随机变量，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，， 所以， 所以. 5．已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 则常数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】随机变量的所有取值的概率之和等于1，即，解得. 6．在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得随机变量服从超几何分布， 所以，故可得. 7．已知随机事件A，B，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率和全概率公式即可求解. 【详解】由，得：， 所以， 由，得， 则， 所以. 8．已知随机变量和，其中，且.若的分布列如下表，则（   ） 1 2 3 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，利用分布列的性质和期望的性质，列出方程，联立方程组求得，结合期望与方差的计算公式，即可求解. 【详解】由随机变量的分布列，可得，即 又由，且，可得，可得， 所以，即， 联立方程组，解得， 又由， 得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知离散型随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据概率和为1判断A；直接计算期望判断B；根据期望的线性关系判定C；先求得，再结合线性关系判断D. 【详解】对于A，由离散型随机变量分布列的性质知，所以， A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，，D错误. 10．已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种 B．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 C．两次都取到2号球的概率要比两次都取到1号球的概率更小 D．第二次抽到2号球的概率为 【答案】AC 【分析】利用隔板法求得将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子的方法数判断A；求得第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率判断B；分别求得两次都取到1号球的概率与两次都取到2号球的概率判断C；求得第二次抽到2号球的概率判断D. 【详解】对于A，若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子， 则不同的放法有种，故A正确； 对于B，在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为，故B错误； 对于C，两次都取到1号球的概率为， 两次都取到2号球的概率为，又 所以两次都取到2号球的概率要比两次都取到1号球的概率更小，故C正确； 对于D，第二次抽到2号球的概率为，故D错误. 11．下列结论正确的是（    ） A．样本数据的第75百分位数为23 B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为4052 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BC 【详解】选项A，样本共个数据， ，第75百分位数为第8项数据24，A错误； 选项B，方差， 因为， 故样本均值，样本总和为，B正确； 选项C，若，则， 根据期望性质， 得，C正确； 选项D，正态分布的对称轴为， 由对称性得， 则，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若离散型随机变量，则______，______. 【答案】 2 4 【详解】二项分布，期望，方差. 这里，. ，. 由方差性质， . 13．假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 【答案】85 【详解】设A等级的分数线为a，则应该满足． 又由题知， 因此． 14．某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 【答案】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算． 【详解】解：设事件：抽到1，2，3，4号签，事件：抽到5，6号签，事件B：抽到一等奖奖券， 则，，，， ∴， ∴． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为、、. (1)若甲、乙、丙都去破译密码，求密码能被成功破译的概率； (2)若只安排一个人去破译密码，甲、乙、丙被选到的概率分别为、、，求密码能被成功破译的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对立事件和独立事件的概率公式可求得结果； （2）利用全概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件密码被甲成功破译，事件密码被乙成功破译，事件密码被丙成功破译， 则，，， 若甲、乙、丙都去破译密码，则密码能被成功破译的概率为. （2）记事件密码被成功破译，记事件、、分别表示甲、乙、丙被选中， ，，，，， 由全概率公式可得 . 16．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 17．某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列: 数学期望为. 【详解】（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品． ， ， ． （2）由已知可得：， 则． 所以的分布列为： ． 18．为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【详解】（1）由频率分布直方图，这组数据的平均值为 （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. （3）由三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5，得在所有的“滇超达人”中随机抽选一人， 则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是. 已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 19．质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的面积和等于列出关于的方程，进而求出的值，再根据频率分布直方图中甲、乙食用油样本质量指标的波动程度，进而比较方差大小. （2）分别求出在甲、乙两种食用油中抽取1桶，其质量指标位于的概率，然后求出恰有1桶食用油指标位于的概率. （3）先根据频率分布直方图求出，然后求出从乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标位于的概率，最后根据二项分布的期望公式计算的数学期望. 【详解】（1）由题意，解得. 由频率分布直方图可得. （2）记事件在甲种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在乙种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有1桶其质量指标大于且小于. 则，. . （3）由题意. ，又. ， 现从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标位于的概率为. ， 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $