第七章 随机变量及其分布 基础巩固卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·四川绵阳·月考）箱内有大小相同的6个红球和4个黑球，从中每次取一个球记下颜色后再放回箱中，则前3次恰有一次取到黑球的概率是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）同时抛掷5枚均匀的硬币80次，记为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数，则的均值为 A．20 B．25 C．30 D．40 3．（25-26高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列如下表： 1 3 5 0.4 0.1 则的方差为(　　) A．3.56 B． C．3.2 D． 4．（2026高三·全国·专题练习）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期的生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．现假设生产状态正常，则的值为（    ） （参考数据：，，） A．0.6826 B．0.3174 C．0.9544 D．0.0456 5．（25-26高三·全国·一轮复习）某工厂有甲､乙､丙三条独立的生产线，生产同款产品，为调查该月生产的18000个零件的质量，通过分层抽样的方法得到一个容量为20的样本，测量某项质量指数（如下表）这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，则有，以上选项正确的是：（    ） 甲 21 22.5 24 25.5 27 乙 22 24 25 27 29 30 32 丙 24 26 28 30 32 42 48 54 A．该月丙生产线生产的零件数约为7200 B．表格中的数据的中位数为30 C．若乙生产线正常状态下生产的零件的质量指数，那么根据样本的数据，作出“乙生产线出现异常情况”的推断是合理的； D．再从甲､乙､丙三条独立的生产线生产的产品中各取一件，其质量指数分别是24，27，30 6．（24-25高二下·广西北海·期末）一个袋子中有4个黑球和1个白球，从中取一球，取后放回，重复n次，记取出的球为白球的次数为X，若，则（    ） A．60 B． C． D．12 7．（25-26高二下·河南焦作·开学考试）某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（    ） A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09 8．（2026高三·全国·专题练习）围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．存在，对任意的，都有 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（    ） 附：随机变量服从正态分布N(，)，则P()＝0.6826，P()＝0.9544，P()＝0.9974. A．该市学生数学成绩的期望为105 B．该市学生数学成绩的标准差为100 C．该市学生数学成绩及格率超过0.99 D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 10．（2025·河南郑州·一模）掷一枚骰子，记事件：掷出的点数为偶数；事件：掷出的点数大于2．则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·云南保山·二模）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水稻的特定时期幼苗株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，且的幼苗株高指标值符合优质种植标准，其中幼苗株高不低于即为合格种植标准，研究所采集了1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本，则下列说法正确的是（    ） 附：参考数据与公式：若，则，，. A．幼苗株高优质种植标准约为 B．此地杂交水稻合格率约为0.97725 C．采集样本中，株高指标合格数量依然服从正态分布 D．采集样本中，株高指标合格数量最有可能是978株 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025·安徽马鞍山·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则______. 13．（25-26高二·全国·课后作业）已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a、b，c，在这些抛物线中，记随机变量X为“的取值”，则X的数学期望______． 14．（25-26高二下·吉林长春·期中）将4瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将4种酒排序，经过一段时间后，再让其品尝这4瓶酒，并让他重新按品质优劣将4种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师的能力．，，，表示第一次排序为1，2，3，4的四种酒分别在第二次排序中的序号，记为其偏离程度，假设，，，为1，2，3，4的等可能的各种排列，假设每轮测试之间互不影响，表示在1轮测试中的概率，表示在前3轮测试中恰好有两轮的概率，则______，______． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·浙江宁波·月考）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）某校、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家用餐，已知该同学第一天选择餐厅的概率是，若在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，而在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，如此往复． (1)求该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率； (2)求该同学第二天选择餐厅的概率； 17．（25-26高二上·江西宜春·月考）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 18．（25-26高三上·河南·期中）某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 19．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·四川绵阳·月考）箱内有大小相同的6个红球和4个黑球，从中每次取一个球记下颜色后再放回箱中，则前3次恰有一次取到黑球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出每一次取到黑球的概率，再利用次独立重复试验恰有次发生的概率公式，计算作答. 【详解】依题意，有放回抽取，每一次取到黑球的概率均为， 所以前3次恰有1次取到黑球的概率为. 故选：D 2．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）同时抛掷5枚均匀的硬币80次，记为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数，则的均值为 A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】B 【解析】先求得抛掷一次的得到2枚正面向上，3枚反面向上的概率，再利用二项分布可得结果. 【详解】由题，抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为： 因为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是一样的，且各次试验是相互独立的，所以服从二项分布 则 故选B 【点睛】本题考查了二项分布，掌握二项分布是解题的关键，属于中档题. 3．（25-26高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列如下表： 1 3 5 0.4 0.1 则的方差为(　　) A．3.56 B． C．3.2 D． 【答案】A 【分析】先求得的值，然后计算出，再利用方差公式求解即可. 【详解】根据随机变量分布列的性质，知，所以， ， ， 故选：A. 4．（2026高三·全国·专题练习）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期的生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．现假设生产状态正常，则的值为（    ） （参考数据：，，） A．0.6826 B．0.3174 C．0.9544 D．0.0456 【答案】A 【分析】根据题意，再根据求解即可. 【详解】由已知可得，则，， 则. 故选：A． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）某工厂有甲､乙､丙三条独立的生产线，生产同款产品，为调查该月生产的18000个零件的质量，通过分层抽样的方法得到一个容量为20的样本，测量某项质量指数（如下表）这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，则有，以上选项正确的是：（    ） 甲 21 22.5 24 25.5 27 乙 22 24 25 27 29 30 32 丙 24 26 28 30 32 42 48 54 A．该月丙生产线生产的零件数约为7200 B．表格中的数据的中位数为30 C．若乙生产线正常状态下生产的零件的质量指数，那么根据样本的数据，作出“乙生产线出现异常情况”的推断是合理的； D．再从甲､乙､丙三条独立的生产线生产的产品中各取一件，其质量指数分别是24，27，30 【答案】A 【分析】根据分层抽样的原理、中位数的定义，结合正态分布的性质、质量指数表进行判断即可. 【详解】对于A，按照分层抽样的原理，丙类的样本数为8，占总样本数的 ， 所以丙生产线生产的零件总数为 ，故A正确； 对于B，将表中的数据重新从小到大排列如下： ， 可知中位数为 ，故B错误； 对于C，由于没有给出“生产线出现异常情况”的标准，无法判断，故错误； 对于D， ， ， ， 故D错误； 故选：A 6．（24-25高二下·广西北海·期末）一个袋子中有4个黑球和1个白球，从中取一球，取后放回，重复n次，记取出的球为白球的次数为X，若，则（    ） A．60 B． C． D．12 【答案】A 【分析】由取后放回可得，根据期望求出次数n，进而根据二项分布的性质即可得解. 【详解】由题意可知， ，， ， . 【点睛】本题考查了二项分布的概念及其性质，考查了n次独立重复试验，解题关键是注意是 “取后放回”的理解，整体计算量不大，属于基础题. 7．（25-26高二下·河南焦作·开学考试）某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（    ） A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09 【答案】D 【分析】先计算，再结合计算即可. 【详解】∵，∴， ∴． 故选：D. 8．（2026高三·全国·专题练习）围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．存在，对任意的，都有 【答案】C 【分析】对于A，由甲与乙对弈只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率列不等式即可求解；对于B，当时，得，代入和计算即可判断；对于C，由甲与丙对弈只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率列不等式求出，接着由列方程化简得得解；对于D，简化，将问题转化成存在，对任意的有. 【详解】对于A，甲只赢乙一盘的概率为，只赢乙两盘的概率为， 则， 解得，故A正确； 对于B，， 当时，所以，， 所以，故B正确； 对于C，甲只赢丙一盘的概率为，只赢丙两盘的概率为， 则，解得， 由A知，所以， ， ， ，即， ，故C错误； 对于D，结合C，存在，对任意的，都有，即， 即，设， 有，取，则， 于是， 存在，对任意的，都有，故D正确. 故选：C. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（    ） 附：随机变量服从正态分布N(，)，则P()＝0.6826，P()＝0.9544，P()＝0.9974. A．该市学生数学成绩的期望为105 B．该市学生数学成绩的标准差为100 C．该市学生数学成绩及格率超过0.99 D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AD 【分析】根据正态分布的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意，. 期望为105，选项A正确；方差为100，标准差为10，选项B错误； 该市85分以上占，故C错误； 由于，根据对称性可判断选项D正确. 故选：AD 【点睛】本小题主要考查正态分布，属于基础题. 10．（2025·河南郑州·一模）掷一枚骰子，记事件：掷出的点数为偶数；事件：掷出的点数大于2．则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据古典概型的概率公式结合事件的运算及条件概率公式逐一判断即可. 【详解】由题意，基本事件的总数为， 则，故A错误； 事件表示掷出的点数为偶数且不大于2，则， 事件表示掷出的点数为奇数且大于2，则， 所以，故B错误； 事件表示掷出的点数为偶数且大于2，则， 事件表示掷出的点数为奇数且不大于2，则， 所以，故C正确； ， 所以，故D正确. 故选：CD. 11．（2025·云南保山·二模）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水稻的特定时期幼苗株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，且的幼苗株高指标值符合优质种植标准，其中幼苗株高不低于即为合格种植标准，研究所采集了1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本，则下列说法正确的是（    ） 附：参考数据与公式：若，则，，. A．幼苗株高优质种植标准约为 B．此地杂交水稻合格率约为0.97725 C．采集样本中，株高指标合格数量依然服从正态分布 D．采集样本中，株高指标合格数量最有可能是978株 【答案】ABD 【分析】利用二项分布、正态分布的性质及正态分布的三段区间概率公式计算即可. 【详解】由题意，得，则，， 而； 当时，满足的幼苗株高指标值符合优质种植标准的题意，即优质种植标准的质量指标值约为14.77，故A正确； 由，可知每件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率约为0.97725，故B正确； 记这1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本指标值不低于12.14的件数为， 则，其中，故C错误； 恰有k株指标值不低于12.14的事件概率， 则，解得， 当时，，当时，，由此可知，指标值不低于12.14的数量最有可能是978株，故D正确， 故选：ABD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025·安徽马鞍山·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】3 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】由于，可知正态分布曲线关于对称，故 故答案为：3 13．（25-26高二·全国·课后作业）已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a、b，c，在这些抛物线中，记随机变量X为“的取值”，则X的数学期望______． 【答案】 【分析】由题意得的取值条件，得出的分布列后由数学期望公式求解 【详解】由题意得，即，确定后，可在集合中任取， 而共有18个基本事件， 故的可能取值为， ，， 故答案为： 14．（25-26高二下·吉林长春·期中）将4瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将4种酒排序，经过一段时间后，再让其品尝这4瓶酒，并让他重新按品质优劣将4种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师的能力．，，，表示第一次排序为1，2，3，4的四种酒分别在第二次排序中的序号，记为其偏离程度，假设，，，为1，2，3，4的等可能的各种排列，假设每轮测试之间互不影响，表示在1轮测试中的概率，表示在前3轮测试中恰好有两轮的概率，则______，______． 【答案】 【分析】由已知，先计算基本事件的总数，然后写出满足的情况数，利用古典概型的概率公式即可完成求解；根据题意，判断该事件满足二项分布，根据二项分布求前3轮测试中恰好有两轮的概率即可. 【详解】依题意，基本事件的总数为种， 随机变量时，4种酒全排对或相邻的两种位置置换，包含的基本事件总数为种， 故在1轮测试中的概率， 依题意，前3轮测试中随机变量满足二项分布， 所以. 故答案为：；. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·浙江宁波·月考）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)8186人 【分析】（1）由，结合对称性即可求解； （2）由正态分布对称性即可求解. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）解：则 ， ， 所以估计成绩在内的学生人数为8186人. 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）某校、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家用餐，已知该同学第一天选择餐厅的概率是，若在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，而在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，如此往复． (1)求该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率； (2)求该同学第二天选择餐厅的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率公式计算即得. （2）利用全概率公式计算即得. 【详解】（1）设表示第1天选择餐厅，表示第2天选择餐厅，则表示第1天选择餐厅， 根据题意得， 该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率为； （2）由全概率公式得． 17．（25-26高二上·江西宜春·月考）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型计算公式计算即可； （2）分析随机变量的取值，并利用古典概型分别计算随机变量取值对应的概率即可. 【详解】（1）从5个小球中随机取出2个，对5个小球进行编号，分别为， 样本空间为，共计10个样本点， 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）， 因此数字不同的情况有 种，故取出的2个小球上的数字不同的概率为 ； （2）随机变量的取值分别为：， 当时：取出数字 和 2，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 和 1，取法数 2 种， ； 当时：取出数字 和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）， 总取法数 4 种， ； 当时：取出两个数字 1，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 1 和 2，取法数 2 种，概率 ； 故 的分布列为：                                                             18．（25-26高三上·河南·期中）某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【详解】（1）设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意， 则由题意可知：， 所以； （2）易知可能取值，则， ，， 即的分布列如下： 0 1 2 P 期望为. 19．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $