北京大学附属中学行知/未名学院2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷

2025一2026学年第二学期北大附中行知/未名学院高二期中考试 数学试卷 1.考生要认真填写考场号和座位序号。 考 2.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选 生 择题，共60分。 须 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须 知 用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 4. 考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1)函数y=sin2x的导函数为 (A)y=sin2x (B)=-2cos2x (C)y=2sin2x (D)y=2cos2x (2)二项式(x+)4展开式中的常数项为 (A)1 (B)6 (C)12 (D)20 (3)函数(x)部分图象如图所示，则 (A)f"(a<f"(c)<f"b) (B)f(b)<f(a)<f"(c) (c)f'(a<f"(b)<f"(c) (D)f'(b)<f'(c)<f'(a 第3题图 (4)在第四届“嘎嘎”节中，高二某班有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人 承担某项工作，要求这3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 (A)45种 (B)56种 (C)90种 (D)120种 第1页，共4页 (5)已知函数f的=nr+2,则 (A)f(2)<f(π)<f(e) (B)f(π)<fe)<f(2) (c)f(2)<f(e)<f(π) (D)f(e)<f(2)<f(π (6)“a>2”是“函数f(x)=e(x2+ax+a)存在极大值和极小值”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)已知函数y=心2-号x-2x在=-1处取得极大值，则m的值为 3 2 (B)1 0骏) (D)-1或2 (8)一个盒子内有三个小球，分别标有号码1,2,3，每次取出一个，记下它的号码后再放回， 共取3次.则取出的小球中最大号码为2的取法有 (A)7种 (B)8种 (C)19种 (D)27种 (9)己知函数f(x)=e*cosx-x,x∈[-兀，，则f(x)的零点个数为 (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 (10)某地区新能源汽车总保有量Q与时间t之间满足Logistic增长模型： (t)=,,(Z,r,m>0,t≥0)， 工：该地区环境容纳量上限， m,r:由初始条件决定的常数. 则下列说法错误的是 (A若Q0-车则m-3 (B)函数y=Q()单调递增 (C)若m>1,则存在t,使Q')=0.2Ln (D)函数y=Q'(t)存在极小值点 第2页，共4页 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 (1)已知函数f)=x+上，则mf2+A9)-包的值为 Ax0 △x (12)如右图所示是“杨辉三角”的前五行，则该表格的第六行 第一行 从左至右第4个数字可理解为： 第二行 11 第三行 121 当n= 时， 第四行1331 第五行1 4 641 (a+b)“二项展开式第 项的二项式系数. 第12题图 (13)7位同学站成一排，其中甲乙丙三人相邻，且都不与丁相邻， 则不同的排队方法有」 种.（以数字作答） (14)已知函数f(x)=e-a(x+2)(a>0),则满足函数f(x)在[-1,1]上存在增区间的a的一个 值为 〔-2x, -5≤x<0 (15)设函数g(x)=4V(W-1)2, 0≤x<4,则 12-x, 4≤x≤5 ①函数g()的极值点有 个； ②若对任取x1∈(a,b),b<0,总存在唯一x2∈[0,5]，使得g(x2)=g(x),则b-a的最大值 为 三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (16)(本小题10分) 己知函数f(x)=x3+ax2+9x-2. (I)当a=3时，求证：f(x)是单调递增函数： (Ⅱ)已知函数f(x)的一个零点为2，求f(x)的极值. 第3页，共4页 (17)(本小题10分) 已知函数 $$f \left( x \right) = \frac { 1 } { 2 } a x ^ { 2 } - \left( a + 1 \right) x + \ln x ，$$ 其中 a>0. (I)若曲线 y=f(x) 在 x=2 处的切线斜率为0，求实数 a 的值； (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间. (18)(本小题12分) 已知函数 $$f \left( x \right) = \left( x - a \right) \left( e ^ { x } - 1 \right) ， a \in R .$$ (I)若 a=0， (i)求函数f(x)在 (0，f(0)) 处的切线方程； (ii)求证：0是函数f(x)的极小值点； (Ⅱ)若 ∀x∈(0，+∞)，f(x)+x+1>0 恒成立，求整数 a 的最大值. (19)(本小题8分) $$a _ { 1 ， 1 } a _ { 1 ， 2 }$$ $$a _ { 1 ， }$$ $$a _ { 2 ， 1 }$$ $$a _ { 2 } ，$$ ⋯ $$a _ { 2 ， n }$$ 已知 A= 是一个 m 行n列的数表，其中 $$m ， n \in { N ^ { * } }$$ 且 n≥2， 且对任意 ： $$a _ { m ， 1 } a _ { m ， 2 } \cdots$$ $$a _ { m ， n }$$ i∈{1，2 $$2 ， \cdots ， m _ { j } ^ { 3 } ， j \in \left\{ 1 ， 2 ， \cdots ， n \right\} ，$$ ，都有 $$a _ { i ， j } \in \left\{ 0 ，$$ ，1}.对于 1≤p<q≤n 且 $$p ， q \in { N ^ { * } } ，$$ ，定义 $$S \left( p ， q \right) = | \left\{ i \in Z | a _ { i ， p } = a _ { i ， q } ， 1 \le i \le m ^ { 3 } \right\}$$ X表示有限集合X的元素个数. 1111) 01 1 1 (I)若4 写出 S(1，2)，S(2，4) 的值； 0 0 1 1 00 01 (Ⅱ)当 n=3 时，若 S(p，q)≤k 恒成立，求证： $$k \ge \frac { m } { 3 } ；$$ (Ⅲ)对给定的n，设 S (p，q 的最大值为 k， ，求 的最大值和最小值 第4页，共4页 2025一2026学年第二学期北大附中行知/未名学院高二期中考试 数学试卷 1.考生要认真填写考场号和座位序号。 考 2.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分：第二部分为非选 生 择题，共60分。 须 3. 试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必 知 须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 4. 考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 9 10 D D (1)函数y=sin2x的导函数为 (A)y=sin 2x (B)y=-2cos2x (C)y=2sin 2x (D)=2cos2x 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查复合函数的求导法则。基础公式：(sin)=cosu·u。 【详解】根据复合函数求导法则，令u=2x,则y=sinu, y'=(sinu)'·u'=c0su·2=2cos2x. (2)二项式比+马)展开式中的常数项为 (A)1 (B)6 (C)12 (D)20 【答案】B 【解析】 x+展开式的通项公式为T=C,令4-2r=0,解得，=2， 所以常数项为C2=6,故选：B (3)函数(x)部分图像如图所示，则下列说法正确的是 1/18 第3题图 (A)f'(a<f'(c)<f"(b) (B)f(b)<f'(a<f'(c) (c)f'(a<f'b)<f'(c) (D)f'(b<f'(c)<f'(a 【答案】c 【解析】 在点a附近，曲线呈下降趋势，故切线斜率f(a)<0。 在点b和点c附近，曲线呈上升趋势，故切线斜率f(b)>0,f(c)>0 观察陡峭定大小： 比较点b和点c的上升“势头”。显然在点c处的切线更加陡峭（倾斜程度更大），而在点b处相对平 缓。 因此，f(c)>f(b)>0。 综合排序：f(a)<0<f(b)<f(c)。 (4)在第四届嘎嘎节中，高二某班有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人 参加工作，若要求这3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 (A)45种 (B)56种 (C)90种 (D)120种 【答案】A 【解析]分两种情况：男生2人女生1人和男生1人女生2人，CC+CCX43+5,3X2-30+15=45, 2×1 故选A (5)已知函数f)=nx+2，则下列选项正确的是 (A)f(2)<f(π)<f(e) (B)f(π)<fe)<f(2) (c)f(2)<fe)<f(π) (D)f(e)<f2)<f(π) 【答案】C 【解析】 求导并判断单调性：函数定义域为x>0,)=是=号 令f(&)=0,得x=2.当0<x<2时，f(8)<0,fx)单调递减，当x>2时，fx)>0,fx)单调递 增，故x=2是极小值点。2<e<π，因此这三者都在(2，+o∞)的单调递增区间内，因此，f(2)<f(e)<f(m). (6)“a>2”是函数“f(x)=e(x2+r+a存在极大值和极小值”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 2/18 【解析】由题意可知f'()=x2+(a+2)x+2a,方程x2+(a+2)x+2a=0的判别式 △=(a+2)2-8a=(a-2)2,所以只要判别式不等于零即可，即a≠2 故α>2是存在极大值和极小值的充分不必要条件。 (7)已知函数y=x2- x2-2m2x在x=-1处取得极大值，则m的值为 3 2 (A)-1 (B)1 2 (C)-1或1 (D)-1或2 2 【答案】B 【解析】 求导：y=mx2-x-2m2。由极值必要条件y(-1)=0,得： m(-1)2-(-1)-2m2=0→m+1-2m2=0→2m2-m-1=0.解得m=-:或 m=1. 检验： 当m=-主时，y=-x2-x-之-x+1)2≤0，且仅在x=-1处为零，导函数不变号，函数在 R上单调递减，x=一1不是极值点，舍去. 当m=1时，y=x2-x-2=(x+1)(x-2),当x<-1时y'>0,当-1<x<2时y<0,故 x=-1处函数由增变减，取得极大值，符合题意。 (8)一个盒子内有三个小球，分别标有号码1,2,3，每次取出一个，记下它的号码后再放回， 共取3次.则取出的小球中最大号码为2的取法有 (A)7种 (B)8种 (C)19种 (D)27种 【答案】A 【解析】每次取一个小球放回3次，最后3次中号码最大为2的方法，可以每次都在1和2两个球里边 挑选，再减去每次只拿1号球的情况，即2-1=7，共有7种情况，故选A (9)已知函数f(x)=e*coSx-x,x∈[-兀，则f(x)的零点个数为 (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 【答案】B 【解析】 方法一：构造两个函数y=COS=C ,求交点个数的问题 f'(x)=e*(cosx-sinx)-1. h(x)=e*(cosx-sinx)-1,h'(x)=e*(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2e'sinx. 因为x∈(-元，四，所以h(0)=0. 3/18 所以当x变化时，'(x),x)的变化情况如下表： x (-兀，0) 0 (0,D) h'(x) 0 h(x) 极大值 y 又h(O)=0,所以当x∈[-π，时，h(x)≤0， 所以f(x)在区间[-元，上单调递减。 又因为f0=1>0,f9=7<0 所以f(x)在区间[-元，列上存在函数的零点个数为1个 故选B 方法二： 计算端点值： f(-m)=e-cos(-m)-(-π)=-e-π+π>0，f(π)=e"cosπ-π=-e-π<0. 两端异号，故在（一几，π）内至少存在一个零点。 求导：f'(x)=ex cosx-ex sinx-1=e(cosx-sinx)-1。 令g(x)=e*(cosx-sinx),则g'(x)=-2e'sinxo 当x∈[-π，0]时，sinx≤0，g'(x)≥0，g(x)单调递增，最大值为g(0)=1。故f'(x)= gx)-1≤0，且仅在x=0处为0.因此f(x)在[-π，0]上单调递减，所以f(x)≥f(0)= 1>0,无零点。 当x∈[0，川时，sinx≥0，g'(x)≤0，g(x)单调递减，且g(0)=1,故f'(x)<0对x∈ (0,刊恒成立。因此fx)在[0，川上单调递减，由f0)=1>0,f()<0,知在(0，可内 存在唯一零点。 综上，f(x)在[-π，上共有1个零点，选B。 (10)某地区新能源汽车总保有量9与时间t之间满足Logistic增长模型： 0eL.r,m>0,1≥0》 L:该地区环境容纳量上限， ,r:由初始条件决定的常数. 则下列说法错误的是 (A)若Q0)子.则m=3 (B)函数y=Q()单调递增 (C)若m>1,则存在t,使2'(t)=0.2Lr (D)函数y=Q'(t)存在极小值点 【答案】D 4/18 【解析】 对卡A:00-专e=3m=3 对于B:分母为正且单减，所以Q(t)单增 对于C: 20-20:eye0-neyey-wTor卡 Lmre-n Lmre-R e0- 1+mer)1+(e"}+2ee +2 g+"+2≥ e m em m e" +2=4, Lr 一≤ 、是十+24 故C选项正确 对于D: 分号为对勾型医数。当且仪当品巴，即。=肌→1时，分特权到玻值 r 因此，若m≤1， 血严≤0，分母单增，Q')单减，Q()无极小值，也无极大值。 若孤>1，血>0，分子先减后增，Q)先增再减，Q)有极大值但无极小值 故D错 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 (1)已知函数f)=x+,则mf2+A)-f②的值为 △x→0 △x 【件案】 【解析】f')=-t2-1=--1,f'(2)=-}-1=-! 第一行 第二行 11 第三行 121 (12)如右图所示是“杨辉三角”的前五行，则该表格的第六行 第四行1331 第五行14641 从左至右第4个数字可理解为： 第12题图 当n= 时， 5/18 (a+b)”二项展开式第 项的二项式系数. 【答案】5：4 【解析】杨辉三角形 (13)7位同学站成一排，其中甲乙丙三人相邻，且都不与丁相邻，则不同的排队方法有 种.（以数字作答） 【答案】432 【解析】 (14)已知函数f(x)=e*-a(x+2)2(a>0),写出使得函数f(x)在[-1,1]上存在增区间的a的一个 值」 【答案】写出(0，)内的任意一个值都可以 6 【解析】 函数f(x)在[-1,1]上存在单调递增区间台x。∈[-1,1]，使得f'(x)>0成立，即 ,e[-1,,e >2a成立 +2 令g(x)= 22ag(g)=1 (x+2)2 因为x∈[-1，时，e(x+1)>0,(x+2)2>0恒成立，所以g'(x)>0恒成立，g(x)单调 递增。 因为80-号所以&(0=80-=胥 e 3 商以2a< 所以实数a的取值范围是(-m, 6 所以写出 (0,乌内的任意一个值都可以 6 「-2x, -5≤x<0 (15) 设函数g(x)={4V(N-1)2,0≤x<4,则 12-x, 4≤x≤5 ①函数8(x)的极值点有 个： ②若对任取x∈(a,b),b<0,总存在唯一x,∈[0,5]，使得g(x,)=8(x),则b-a的最大值 为 【答案】四： 173 54 6/18 【解析】对4WG-少求导得y6G+子-8,0，+) √x 故对函数x)单调性研究如下 1<x<1 (1，,+0) 0 0 递增 递减 递增 故对函数g(x)的图像如下 令s6&65),K0,8125,即-2x=7,x=-7 1 令868（月，x0.86=4 -,即-2x= 278 271 满足要求的a,b取值的差b-a的最大值为)=78189-16 -227-54-54 7 8 即最大值为3此时a2b=27 三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (16)(10分)己知函数f(x)=x3+2+9x-2. (I)当a=3时，求证：f(x)是单调递增函数； (Ⅱ)已知函数f(x)的一个零点为2，求f(x)的极值. 【解析】 (I)(共3分) 当a=3时，f(x)=x3+3x2+9x-2,1 以下两种解法： 解法一 f'(x)=3x2+6x2+9=3(r+1)2+6>01 7/18 所以，f(x)在R上是单调递增函数；1 (使用配方法和判别式法同等给分) 解法二：f'(x)=3x2+6x2+9是开口向上的二次函数…1 △=36-108<0，所以f'(x)>0…1 (Ⅱ)(7分) 如果函数f(x)的一个零点是x=2, 则f(2)=0,即8+4a+18-2=0,所以a=-6,…1(计算出a值) 所以f(x)=x3-6x2+9x-2, f'(x)=3x2-12x+9…1(求导结果1分) 令f'(x)=0得：x=1或x=3…1(计算出导函数零点值) 列表如下： (-0,1) 1,3) (3,+0) f"(x) + 0 0 f(x) 极大值 极小值 2(列表确认导函数零点是原函数极值点) 所以f(x)的极大值为fI)=2,极小值为f3)=-2.2(计算出两个极值并注明自变量值给 2分) (17)(10分) 已知函数f0)-m2-a+x+nx,其中a0. (I)若曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率为0，求实数a的值： (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间. 【解析】 (1)(4分) f'(x)=ax-(a+1）+12(求导2分) 8/18 由已知f(2)-2a-(a+)+20 1 解得a= .…2(带入=2求a的值2分) (2)(6分) f(x)定义域是(0，十0)1（定义域1分） f(y=a-(a+1+1-r-a+0x+1_(-1x-) …1(此处给分解因式1分，不 给求导的分，求导前边给过了) @0<a<1时，令f()=0得x=1,飞=上且>1>0 (0,1) 1 1 (二，+0) a a a f'(x) + 0 0 f(x) 极大值 极小值 …1(列表1分) 此时f)的单调递增区间是(0,1)和（已，+0）1 (结论1分) a ②当a-1时，fm-少之0，…1（判断导函数1分） f(x)的单调递增区间是(0，+o).…1(结论1分) ③a>1时，令f()=0得=1，x,=1且1>1>0 (0,二 1 1 a (1,+0) a f'(x) 0 f(x) 极大值 极小值 …1(列表1分) 此时f()的单调递增区间是(0，马)和1，+0)…1（结论1分） Q 9/18 (18)(12分) 己知函数f(x)=(x-a)(e*-1),a∈R. (I)若a=0, (i)求函数f(x)在(0，f(0)处的切线方程： (ⅱ)求证：0是函数f(x)的极小值点： (Ⅱ)若x∈(0，+w),f(x)+x+1>0恒成立，求整数a的最大值. 【解析】 (I) (i)(4分) a=0时，f(x)=x(e-1,f'(x)=（x+1)e-1…1(a带入求导结果) f(0)=0,f'(0)=02(切点纵坐标、切线斜率各1分) 因此求f(x)在(0，f(0)处的切线方程为y=0…1(切线方程1分) (ii)(4分) 解法1（极值定义）： a=0时，f(x)=x(e-1) f(0)=0…1(求出x=0是的函数值) x>0时，e-1>0,f(x)=x(e-1>0=f(0)1(证明x>0时的函数值比x=0时大) x<0时，e-1<0,f(x)=x(e-1)>0=f(0)1(证明x<0时的函数值比x0时大) 因此x∈(-o,0)U(0,+o),f(x)>f(0)恒成立 因此0为f(x)的极小值点…1（对函数的极值下结论） 10/18 解法2（二次求导）： a=0时，f(x)=x(e-1,f'(x)=(x+1)e-1 f"(x)=(x+2)e1(二次导正确) x>-2时，f”(x)>0,f(x)单调递增，1（二次导的在包含x0的一个区间内的符号 以及区间内一次导函数的单调性) 又因为f(0)=0 因此f(x),f(x)在x∈（-2，+o)随x的变化如下表 x （-2,0) 0 (0,+∞) f'(x) 0 f(x) 极小值 个 1(在一次导函数的一个包含x=0的区间内的函数的单调性列表) 因此0为f(x)的极小值点…1（下结论） 解法3（分析导数正负）： a=0时，f(x)=x(e-1,f'(x)=(x+1)e-1 x>0时，x+1>1,e>l,(x+1)e>1,f'(x)=(x+1)e-1>0 x<0时，e<l,f(x)=xe+(e-l)k0 又因为f(0)=0 因此(x),f(x)随x的变化如下表 x (-0,0) 0 (0,+0） f(x) 0 × f(x) y 极小值 刀 …1(在一次导函数的一个包含x=0的区间内的函数的单调性列表) 11/18 因此0为f(x)的极小值点…1（下结论） (Ⅱ)(4分) 解法1（参变量分离+隐零点）： x>0时，e-1>0 因此/+x+1-(-oe-+x+10ox*1>a-e-小e>a …1(完成参变量分离) 设（牛}x g(x=g-1(+g+1-e-l-(+e+e-e(e-x-2) (e-1 (e-1 (e-12 设h(x)=e-x-2 h(x)=e-1 x>0时，h'(x)=e-1>0 因此h(x)在(0，+oo)单调递增…1（二次导函数恒正得到一次导函数分子函数恒增） 又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-4>0 因此h(x)在(0，+o)存在唯一零点x。,e=x。+2,且x。∈(1,2)x>0时，g(x)和h(x)同 号 因此g(x),g(x)在x∈(0，+∞）随x的变化如下表 女 (0,x) Xo (x0,+o0) g'(x) 0 + g(x) y 极小值 因此&(x)m=g(x)=5+ +xo eto1 又。=x。+21(卡出一次导函数的变号零点，列表确认该变号零点是原函数极小值点， 12/18 带入h(x)得到超越式和一次式的关系eo=七，+2) 8()=七+1 x。+2-1 +x。=x+1 因为x。∈(1,2)，所以g(x)=。+1∈(2,3) 8(x)=+ +x>a e*-1 所以a<g(x)m=g(xo) 又a是整数 所以α的最大值为2.…1（将超越式带入原函数最小值表达式，根据卡零点范围求出最小 值的范围，进而得到a的最大整数值) 解法2（必要性探路后证明）： 设g(x)=f(x)+x+1=(x-a)e+a+1 因为x∈(0，+o),g(x)=f(x)+x+1>0恒成立 所以g(1)>0,g(2)>0,g(3)>0.…1(建立新函数g(x)并从正整数自变量入手研 究其恒大于0的必要条件) 2 8(1)>0→a<1+2 8(2)>0→a<2+3 e27(2,3) 又a是整数，所以a≤2 所以a的最大值不超过21（根据函数带入自变量值之后的表达式求出a的最大整数值） 当a=2时， g(x)=(x-2)e+3,g(x)=（x-1)e 令g(x)=0得x=1 因此g(x),g(x)在x∈(0，+o)随x的变化如下表 (0,1) 1 (1,+o0） 13/18 g(x) 0 + g(x) 极小值 因此g(x)≥g(1)=3-e>0…1(检验当a2时，g(x)的确满足题目条件) 所以当a=2时，x∈(0，+o),f(x)+x+1>0恒成立 所以a的最大值为2…1（下结论） 解法3（直接分析原函数）： 设g(x)=f(x)+x+1=(x-a)e*+a+1(x>0) g(x)=(x-a+1)e…1 令g'(x)=0得x=a-1,由于x>0 ① 当a-1≤0，即a≤1时 g(x)=(x-a+1)e≥0，g(x)单调递增，因此当x>0时，g(x)>g(0)=1成立…1 ② 当a-1>0,即a>1时， g(x),g(x)在x∈(0，+o)随x的变化如下表 (0,a-1) a-1 (a-1,+o) g(x) 0 g(x) 极小值 所以，g(x)mn=g(a-1) 因此要使g(x)>0恒成立，只需g(x)m=g(a-1)>0成立， 即-e2-1+a+1>0,1 h(a）=-ea-1+a+1(a>1) h'(a)=-e"-1+1 a>1时，e-1>1,h(a=-ea-1+1<0 14/18 因此h(a=-e+a+1(a>1)在单调递减 h(2)=-e+3>0,h(3)=-e2+4<0 a≥3时，h(a)≤h(3)<0 所以，a>1时，使g(x)>0恒成立的唯一的整数a=2 因此整数a的最大值为2°1 (19)(8分) .42 A.n 己知A= 41a2.2 42 是一个m×n的数表，其中m,n∈N,且对任意i∈1,2，，吵， an.1 dm.2 j∈{1,2，，心，都有a.,∈{0,1}.现定义数表A第p列与第q列的重合数为 S(p,9)={ie ar=ag,l≤i≤m 其中1≤p<q≤n,卫，q∈N,X表示有限集合X的元素个数. 1111 0111 (I)对数表A= 写出S(1,2),S(2,4)的值： 0011 0001 (Ⅱ)当n=3时，若对任意1≤p<9≤3，p,qeN,都有S(,9)sk,求证：k≥ 3 (Ⅲ)若对任意大于2的正整数n,任取1≤p<g≤n,P,q∈N,都有S(2,)≤k成立，求的最大 L 值和最小值. 【解析】 (I)(2分) S(1,2):比较第1、2列，相同行有第1、3、4行，故S(1,2)=3;1 S(2,4):比较第2、4列，相同行有第1、2行，故S(2,4)=2.…1 15/18 (Ⅱ)(2分) 对任意一行，设该行的3个元素为a,b,c∈{0,1}，定义该行对S(1,2),S(1,3),S(2,3)的贡献和为： 3,a=b=c…1(指出每行的贡献和的数值情况） x,+y+三=山，其他情况 因此每一行的贡献和至少为1，对所有m行求和得 S(1,2)+S(1,3)+S(2,3)=∑(x+y+)≥m 结合条件S(p,q)≤k,得3k≥∑S(p,g)≥m,即k≥ ,…1(根据每行的贡献和求出m行的 3 贡献和的最小值为m,结合已知条件S(2,q)sk,得到结论k≥”) 3 注：本题采用反证法说理也可行. ()(4分) 求：的最大值和最小值 n 1.最大值 当数表的所有列完全相同时，任意两列的重合数S(P,q)=,此时k=,故 k1. u 由于重合数的最大值为m(两列完全相同)，因此的最大值为1.1 L 2.最小值 对行内相等列的对数进行双重计数： 对任意一行i,设该行有a个1，n-4个0，则行内相等列的对数为： =Co+Ci-a 展开化简为二次函数形式： x=8a-少+加-a0-a-a-m+心” 2 2 2 这是开口向上的二次函数，对称轴为4=”，因此a取最接近”的整数时，x取得最小值： 2 当加为俩敛时，4一号， 16/18 xnin=2.C好= n(n-2) 2 4 当n为奇数时，a=n+l 2 e=g+cg-a,刃 4 列角度的总量关系：所有列的重合数之和等于所有行的x之和，即 ∑S2,g)-x≥mam 又因为任意Sn,g)≤k,总共有C:-0”-1个列对，因此 2 ∑s(p,g)sk.n0n-y 2 联立不等式得： k-少≥m→2 mn(n-1) 代入飞。，得到冬的最小值： n-2 ,n为偶数 2(n-1 Il)min n-1 n为奇数 2n 该下界可通过构造数表实现（每一行的1的个数取最接近”的整数，且任意两列重合数相等）， 因此是最小值.…1（求出最小值表达式） 构造数表，说明可取等： 设列数n>2,记t n 2 行数m=C,数表按字典序排列所有t元子集对应的行，其通用 形式如下： 17/18 ..100 第1列 1 010. 0 1 001.… 0 A= 0 000 1 01.100. 01..010.. 0 .? 00001 规律说明 每行1的个数固定 每一行恰好有t 个1，其余为0，这保证了每行的列相等对数x=C?+C,取到最小值. 字典序分块排列 第一块：第1列为1的所有行，共C行； 第二块：第1列为0、第2列为1的所有行，共C2行； 依此类推，直至最后一块：前n-t列全为0，后t列全为1的行（仅1行），这种排列保 证列的完全对称性.…1 18/18