精品解析：吉林省长春市榆树市第五中学等校2026年中考第一次模拟考试数学试题

2026年中考第一次模拟考试数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数与负数来区分它们．如果盈利50元记作“元”，那么亏损30元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 以下几何体的主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于、B两点，，圆心的坐标为，与y轴相切于原点O，若将沿x轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数，下列说法正确的是（    ） A. 图象经过点 B. y随x的增大而减小 C. 图象在第一、三象限内 D. 图象是轴对称图形但不是中心对称图形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将多项式按字母的降幂排列为_____． 10. 计算=_____． 11. 如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______． 12. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 13. 如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为______． 14. 年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字不同的概率． 17. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种口味畅销的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍．求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ 18. 如图，在四边形中，，且，连接对角线，已知． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接，判断四边形 的形状，并说明理由． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，________． （2）如图②，在上找一点，使． （3）如图③，在上找一点，连接、，使与相似．（写明画图过程） 20. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 21. 如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程 （千米）的函数图象. （1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程，当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程； （2）当时求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量. 22. 按要求完成下列各题： （1）【感知】如图①，是等边的外接圆，点D是上一点（点D不与B，C重合），试探究，，的关系．小明通过作如下的辅助线使得问题解决：延长至点E，使，连接.，，的关系是_____； （2）【探究】如图②，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，．若，求的值； （3）【应用】如图③，A，C是半径为2的上的两动点，以为直角边在内作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为_____． 23. 如图，在中，，，于点，点为的中点．点从点出发沿折线以每秒个单位的速度向终点运动（点不与的顶点重合），作点关于点的对称点，取线段的中点，作．设点的运动时间为秒． （1）当点在上时，连接，求证：； （2）当点在上，且点落在边上时，求的值； （3）当时，求的长； （4）作和，当与相似时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线对称轴为直线，与y轴交于点．点A，B是该抛物线上不重合的两点（点A，B均不与点M重合），横坐标分别为m，，连接，以为边，以点M为对称中心作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当的一条边与坐标轴平行时，求m的值； （3）当点A在点B的右侧，且的边与抛物线交于点N（点N不与点A，D重合），若的面积等于的面积的3倍，求m的值； （4）当的顶点C，D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数与负数来区分它们．如果盈利50元记作“元”，那么亏损30元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据题意盈利记作正，则亏损记作负，即可得出答案． 【详解】解：∵盈利50元记作“元”， ∴亏损30元记作“元”． 故选：C． 2. 以下几何体的主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的主视图概念及常见几何体的主视图特征，解题的关键是明确主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，并熟记球体、正四面体、正方体、正八面体的主视图形状． 先明确主视图的定义（从正面观察几何体所得到的平面图形）；再分别判断各选项几何体的主视图，球体无论从哪个方向观察主视图均为圆，正四面体主视图为三角形，正方体主视图为正方形，正八面体主视图为菱形（或正方形），据此筛选出主视图是圆的几何体． 【详解】解：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，分析各选项： A． 几何体为球体，从正面观察球体，其主视图为圆，此选项符合题意； B． 几何体为正四面体，从正面观察正四面体，其主视图为三角形，此选项不符合题意； C． 几何体为正方体，从正面观察正方体，其主视图为正方形，此选项不符合题意； D． 几何体为正八面体，从正面观察正八面体，其主视图为菱形（或正方形），非圆，此选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断即可 ． 【详解】解：A、不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解的概念，符合题意； C、该变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D、该变形没有分解成积的形式，不符合题意． 故答案为：B ． 4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 5. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可． 【详解】∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠ABC=α， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键． 6. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于、B两点，，圆心的坐标为，与y轴相切于原点O，若将沿x轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由切线的性质，含角的直角三角形的性质，求出圆与直线相切时，的横坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图，当圆与直线相切时，切点是和， 连接，， ，， ， ， 同理：， 的横坐标是，的横坐标是， 的横坐标的范围大于1且小于5时，当与该直线相交， 横坐标为整数的点的坐标是，，，共有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，坐标与图形的性质，关键是求出圆于直线相切时，的横坐标． 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 已知反比例函数，下列说法正确的是（    ） A. 图象经过点 B. y随x的增大而减小 C. 图象在第一、三象限内 D. 图象是轴对称图形但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，可判断A选项；根据反比例函数图象和增减性，可判断B、C、D选项． 【详解】解：A、当时，，即图象经过点，原说法错误，不符合题意； B、由可知，图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； C、由可知，图象在第一、三象限，原说法正确，符合题意； D、反比例函数图象是中心对称图形，也是轴对称图形，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将多项式按字母的降幂排列为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为． 10. 计算=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算结果． 【详解】解： ． 11. 如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：， ， ， . 故答案为：. 12. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 13. 如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心、平移性质、等腰三角形的判定，根据三角形的内心是三角形角平分线的交点得到，再根据平移性质得到，进而证得，再利用等腰三角形的判定证得，同理证得，进而可求解即可． 【详解】解：连接、，如图， ∵点I为的内心， ∴， 由平移性质得， ∴，则， ∴， 同理可证， ∴图中阴影部分的周长为， 故答案为：6． 14. 年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字不同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意先画出树状图，得出一共有6种等可能结果，其中摸出的两个球上数字不同的有4种，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，画树状图 一共有6种等可能结果，其中摸出的两个球上数字不同的有4种， 所以摸出的两个球上数字不同的概率 17. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种口味畅销的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍．求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ 【答案】甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元 【解析】 【分析】设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼的每个的单价为元，由题意：购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，列出分式方程解方程即可； 【详解】解：设乙种月饼的单价为x元，则甲种月饼的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程． 18. 如图，在四边形中，，且，连接对角线，已知． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接，判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图所示，直线即为所求． （2）四边形是菱形．理由如下： 由（1）可知点为中点， ∵， ∴， 在中，，为边上中线， ∴， ∵， ∴， ∵，， 四边形是平行四边形， 又∵， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据直角三角形的性质得，则，进而可证四边形是平行四边形，再由，可得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，________． （2）如图②，在上找一点，使． （3）如图③，在上找一点，连接、，使与相似．（写明画图过程） 【答案】（1） （2） 如图②所示，点即为所求； （3） 解：如图③所示： 点即为所求． 画图过程如下： ， 反向延长得到， 连接交于点，如图所示． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质解答； （2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点； （3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 理由：， ， 连接，根据即可得到． 20. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 【答案】（1），补全条形图如下： ； （2）人 （3）有提高，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，平均数，中位数，众数的含义； （1）先由总人数减去已知小组的人数可得B组人数，再补全图形即可； （2）由总人数乘以学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数的百分比即可得到答案； （3）根据平均数，中位数，众数的含义进行分析即可. 【小问1详解】 解：在学期初调查数据条形图中，B组人数是人， 【小问2详解】 解：七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有： （人）. 答：学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有340人； 【小问3详解】 解：由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了， ∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高. 21. 如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程 （千米）的函数图象. （1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程，当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程； （2）当时求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量. 【答案】（1）1千瓦时可行驶5千米；（2）当时，函数表达式为，当汽车行驶180千米时，蓄电池剩余电量为20千瓦时. 【解析】 【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程； （2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x=180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量． 【详解】（1）由图像可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车行驶了150千米. 1千瓦时可行驶千米. （2）设，把点，代入， 得，∴，∴. 当时，. 答：当时，函数表达式为，当汽车行驶180千米时，蓄电池剩余电量为20千瓦时. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 22. 按要求完成下列各题： （1）【感知】如图①，是等边的外接圆，点D是上一点（点D不与B，C重合），试探究，，的关系．小明通过作如下的辅助线使得问题解决：延长至点E，使，连接.，，的关系是_____； （2）【探究】如图②，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，．若，求的值； （3）【应用】如图③，A，C是半径为2的上的两动点，以为直角边在内作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用等边三角形性质和圆内接四边形对角互补，证得，结合，用证明，推出为等边三角形，再通过线段等量代换，得到； （）通过截长补短法延长至点，使，结合圆内接四边形性质、等腰直角三角形，用证明，得到等腰直角三角形，再设，根据的关系，推导出，最终求出的值； （）连接，将点绕逆时针旋转得到点，利用及角的关系证，得；再由旋转性质算出；最后根据三角形三边关系求出的最小值为． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 即； 【小问2详解】 解：延长至点，使，连接 ，如图： ∵，，四边形内接于， ∴， ∴，， ∴， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴，则 ， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，将点绕逆时针旋转得到点，连接、、、， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由三角形三边关系：， 即的最小值为． 23. 如图，在中，，，于点，点为的中点．点从点出发沿折线以每秒个单位的速度向终点运动（点不与的顶点重合），作点关于点的对称点，取线段的中点，作．设点的运动时间为秒． （1）当点在上时，连接，求证：； （2）当点在上，且点落在边上时，求的值； （3）当时，求的长； （4）作和，当与相似时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：如图所示， ∵点是的中点， ∴， ∵点关于点的对称点为， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （2） （3）或 （4）， 【解析】 【分析】（1）根据点是中点，点关于点对称的点为，可证，根据全等三角形的性质即可求证； （2）根据锐角三角函数值可求出线段的值，结合（1）中三角形全等的性质，可证，由此即可求解； （3）根据题意，分类讨论，当点在上时，图形结合分析该种情况不符合题意；当点在线段上时，根据点的运动规律可得的值，由此即可求解； （4）分类讨论，当点在线段上时，结合（1）的三角形全等可得，根据点的运动可得的值，根据相似的性质即可求解；当点在线段上时，结合相似的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴设，， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，， ∴， 如图所示， 由（1）可知，， ∴， ∴，即， ∴， ∵点从点出发沿折线以每秒个单位的速度向终点运动， ∴； 【小问3详解】 解：第一种情况，当点在线段上时，，如图所示，点运动时间为，过点作于点， 由上述证明可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，则， 在中，，， ∴设， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，则， ∴， 解得，， ∴； 第二种情况，当点在线段上时，如图所示， ∵，则， ∴， ∴，则，不符合题意； 第三种情况，当点在线段上时，如图所示，，则， ∵，点是中点，点关于点的对称点为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点运动的时间为， ∴，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，的值为或； 【小问4详解】 解：第一种情况，当点在线段上时，如图所示，， 由（1）可知，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， 在中，，点是的中点， ∴， ∵，点是中点， ∴，则， ∴，整理得，， 解得，， ∴； 第二种情况，点在线段上时，如图所示，连接， ∵点是中点，点的对称轴点为， ∴，且， ∴， 当时，有， ∵点是的中点， ∴点与点不可能重合，故不符合题意； 第三种情况，当点在线段上时，如图所示，连接，由上述证明可得， ∴当时，由， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 根据上述证明可得，，，， ∴， ∴，即， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，动点的运动，对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握相似三角形的判定和性质，对称的性质，动点的运动与线段的关系是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线对称轴为直线，与y轴交于点．点A，B是该抛物线上不重合的两点（点A，B均不与点M重合），横坐标分别为m，，连接，以为边，以点M为对称中心作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当的一条边与坐标轴平行时，求m的值； （3）当点A在点B的右侧，且的边与抛物线交于点N（点N不与点A，D重合），若的面积等于的面积的3倍，求m的值； （4）当的顶点C，D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为 （2），或 （3），或 （4），或 【解析】 【分析】（1）直接根据二次函数的性质以及待定系数法即可解答； （2）分轴和轴两种情况，分别根据平行线性质和对称点的性质求解即可； （3）由（2）可得：，，如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，由的面积是的面积的倍可得，再证明可得，如图：过D作轴的平行线交过A作x的垂线与点G，过作，即，则；再证明，易得 ，进而得到，最后代入抛物线求得m的值即可； （4）根据点A在轴右侧，横坐标为，可知排除在一、四象限的可能性，然后分在第二、三象限两种情况，分别列不等式组解得即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标， ∵点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴，，即， ∴，解得，此时点重合，不合题意； 当轴时，点与点的纵坐标相等， ∵点C是点A关于点的对称点，设点， ∴，解得： ∴，同理可得： ∴，整理得：， 解得或； 当轴时，点A的横坐标等于点的横坐标， ∵点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴，解得，此时点重合，不合题意； 当轴时，点与点的横坐标相等，即点C的横坐标为， ∵点C是点A关于点的对称点， ∴，解得：，此时点重合，不合题意； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：由（2）可得：，， 如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F， ∴， ∵的面积是的面积的倍， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作， 即，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即， ∵点N在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：或． ∴m的值为或． 【小问4详解】 解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为， ∴， 由（2）可得：，，， ∵， ∴，即点C、D不可能在第一、四象限， 当在第二象限时， 有，解得：； 当在第三象限时， 有，解得该不等式无解； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $