精品解析：湖南师范大学附属中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一下学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集.集合.则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，为CD的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象关于直线对称的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. D. 6. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在中，，则的面积可以是（ ） A. B. 1 C. D. 10. 将函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 函数的一个单调递减区间为 11. 已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（ ） A. 该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B. 平面截该正方体所得截面面积的最大值为 C. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为 D. 当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________． 13. 已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 14. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面； （3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 17. 为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为桃树林和散养走地鸡，区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知. （1）若，求和的长度； （2）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 18. 已知函数. （1）若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； （2）设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，则.即模相乘，辐角相加. （1）写出复数的三角形式，并计算（三角形式），由此归纳出的三角形式； （2）设复平面上单位圆内接正十六边形的16个顶点对应的复数依次为（逆时针顺序），其中.求复数在复平面所对应不同点的个数； （3）设复数不全为实数，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集.集合.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合，再利用集合的交集求解. 【详解】 又，所以 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘法运算求解判断. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 如图，在中，，为CD的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案. 【详解】由已知得 . 故选：D. 4. 函数的图象关于直线对称的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，再结合对称性可得合适的选项. 【详解】函数的图象可视为将函数的图象向上平移个单位， 所以，函数的图象如下图所示： 所以，函数的图象关于直线对称的函数的图象如A选项中的图象. 故选：A. 5. 若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知等式由正弦定理边化角解得，又，可求的值. 【详解】由，有，得， 因为，所以，所以或， 又，所以应舍去，则. 又，解得. 6. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角. 【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， ，，， ，，三者直接各自的夹角都为锐角， ，，， ，，即在上的投影为1，在上的投影为3， ，，如图 ， 即，且 则， 由基本不等式得， ， 与的夹角为锐角， ， 由余弦函数可得：与夹角的取值范围是， 故选：C. 7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果. 【详解】 设，则，即，故， 因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点， 故原方程共有6个根. 故选：D. 8. 已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找出平面截球面的截面圆的圆心是的中点，再找到截面圆的半径和交线. 【详解】如图，取的中点为 因为，直四棱柱的棱长均为2， 所以为等边三角形，所以， 又四棱柱为直四棱柱， 所以平面， 又在平面内，故， 因为侧面，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 取的中点为的中点为，连接、， 则，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 则，所以，根据弧长公式可得. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在中，，则的面积可以是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：∵， 由余弦定理得， ∴， ∴，或， ∴由的面积公式得或， 故选：AD． 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题． 10. 将函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 函数的一个单调递减区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】先由三角函数的图象变换求出的值并判断选项A，再求出的解析式，然后根据三角函数的性质逐项判断B，C，D即可得解. 【详解】的图象向右平移个单位长度后得到， 而，则，即，A不正确； 此时，其周期，B正确； 由，得，即的对称中心为()，C不正确； 由，解得，即的单调减区间为， 当时，是函数的一个递减区间，D正确. 故选：BD 11. 已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（ ） A. 该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B. 平面截该正方体所得截面面积的最大值为 C. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为 D. 当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题需要利用正方体的性质，且当平面位置变化时，平面始终与对角线垂直入手去考虑. 【详解】对于A，因为平面与对角线垂直，又平面， 所以平面与平面平行或重合，而正方体各棱与平面所成角，即为体对角线与正方体各棱所成角的余角， 由正方体的对称性易得体对角线与正方体各棱所成角均相等， 故直线与平面所成角也相等，故A正确； 对于B，当平面沿对角线平行移动时， 只有当平面移动到平面（分别为所在棱的中点）时，面积最大. 又由题易知，六边形为正六边形，可求得， 则平面截此正方体所得截面面积的最大值为，故B错误； 对于C，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值， 即为直线与平面所成角的正弦值，不妨取平面为平面，又， 故等价于求与平面所成角，设与平面交于点， 因为平面，所以为所求角， ，则，故C正确； 对于D，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分， ， 同理可得 当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值，故D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意画出圆台的轴截面，根据圆台的母线和高及相关的上下底面半径构成直角梯形，利用直角梯形的性质求得. 【详解】由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形， 其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示： 作CD⊥AB与E,则CE为圆台的高h, ∴高h＝. 故答案为：4 13. 已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值. 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，从而可求得的一个大范围，根据，可得，再由的范围分类讨论，结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在区间上有且仅有一个零点， 所以，所以， 由，可得， 由，得， 当，即时， 则，解得， 所以， 当，即时， 则，解得， 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量平行的坐标公式计算即可； （2）由，平方可得，再根据数量积的坐标运算可求得，再根据二倍角的正余弦公式及平方关系化弦为切即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 即，所以， 即，所以， 所以 . 16. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面； （3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接． 在中，为的中点，为的中点． 是的中位线， ， 平面平面， 平面； （2）证明：在正三棱柱中， 平面平面， ， 在等边中，为的中点， ， 又是平面内的两条相交直线， 平面，又平面， 平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据线面平行的判定定理可得平面； （2）根据面面垂直的判定定理可得平面平面； （3）根据线面垂直的判定定理证得平面，得为直线与平面所成的角可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 和都是直角三角形，且， ， ， ， 由（2）得，平面平面，平面平面，又平面， 平面，则为直线与平面所成的角． 在中，，则 所以直线与平面所成角的正切值为. 【点睛】 17. 为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为桃树林和散养走地鸡，区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知. （1）若，求和的长度； （2）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）， （2）15°时面积最小，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先根据题干条件得到，利用余弦定理求出，进而求出； （2）设，应用正弦定理及三角形面积公式可得，再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母，最后由正弦型函数的性质求最值. 【小问1详解】 在中，， 则，所以， 在中，， 所以. 于是， 在中， ， 在中，，所以. 【小问2详解】 设， 在中，得， 在中，，得， 所以的面积 因为，所以当时面积最小，最小值为. 18. 已知函数. （1）若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； （2）设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）由 奇函数定义，求得，通过换元，求解得出得或，再解指数不等式即可求解；（ii）由偶函数定义求得，通过换元， 由单调性求得，原式化为，结合单调性即可求解. （2）根据偶函数特征与函数的单调性求得的值域为.由不等式恒成立，根据的正负分情况解不等式即可求得其取值范围. 【小问1详解】 （i）因为函数为上的奇函数，故，解得， 则，此时因，函数为奇函数， 则不等式，设，代入整理得， 解得或（舍），即，解得， 故原不等式的解集为. （ii）因为函数为偶函数，故， 即，因不恒为0，故，则， 则（*）， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增，故， 由（*）左式可得， 则（*）可化为， 因函数在上单调递减，则， 故. 【小问2详解】 根据（1）知， 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，则； 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，故， 又函数在上为偶函数，故当时，. 综上所述，的值域为. 因对于区间上的任意实数，不等式恒成立， 则当时，即，即，解得，则； 当时，即，即，显然成立； 当时，即，即，解得则. 综上所述，. 19. 已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，则.即模相乘，辐角相加. （1）写出复数的三角形式，并计算（三角形式），由此归纳出的三角形式； （2）设复平面上单位圆内接正十六边形的16个顶点对应的复数依次为（逆时针顺序），其中.求复数在复平面所对应不同点的个数； （3）设复数不全为实数，，证明：. 【答案】（1） （2）8个 （3） 设是复数的辐角主值，是复数的辐角主值， ，则. ，即， 即. 又因为，所以. 采用反证法：假设， 因为不全为实数，则，所以. 即，进一步得到， 又，所以，所以， 故，这与矛盾，故假设不成立， 从而. 【解析】 【分析】(1)写出的三角形式，再观察规律； (2) 根据三角函数的周期性求解； (3) 根据导出三角关系再求解. 【小问1详解】 ，故.故. 【小问2详解】 正十六边形每边对应的圆心角为，故任意一个顶点逆时针旋转可得到下一个顶点， 即. 故， 由三角函数的周期性知，，即以8为周期，所以一共对应8个不同的点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $