湖南师范大学附属中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一下学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集.集合.则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，为CD的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象关于直线对称的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. D. 6. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在中，，则的面积可以是（ ） A. B. 1 C. D. 10. 将函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 函数的一个单调递减区间为 11. 已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（ ） A. 该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B. 平面截该正方体所得截面面积的最大值为 C. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为 D. 当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________． 13. 已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 14. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面； （3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 17. 为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为桃树林和散养走地鸡，区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知. （1）若，求和的长度； （2）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 18. 已知函数. （1）若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； （2）设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，则.即模相乘，辐角相加. （1）写出复数的三角形式，并计算（三角形式），由此归纳出的三角形式； （2）设复平面上单位圆内接正十六边形的16个顶点对应的复数依次为（逆时针顺序），其中.求复数在复平面所对应不同点的个数； （3）设复数不全为实数，，证明：. 高一下学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ACD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：连接交于点，连接． 在中，为的中点，为的中点． 是的中位线， ， 平面平面， 平面； （2）证明：在正三棱柱中， 平面平面， ， 在等边中，为的中点， ， 又是平面内的两条相交直线， 平面，又平面， 平面平面； （3） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）15°时面积最小，最小值为. 【18题答案】 【答案】（1）（i）；（ii） （2）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）8个 （3） 设是复数的辐角主值，是复数的辐角主值， ，则. ，即， 即. 又因为，所以. 采用反证法：假设， 因为不全为实数，则，所以. 即，进一步得到， 又，所以，所以， 故，这与矛盾，故假设不成立， 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $