专题04正方形性质与判定复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年青岛版八年级数学下册

专题04正方形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握正方形定义：既是矩形又是菱形，是特殊的平行四边形。 2.熟记正方形兼具矩形、菱形全部性质，边角、对角线、对称性完整掌握。 3.熟练掌握正方形三种判定方法，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。 1.能综合运用正方形性质，进行角度、边长、对角线、面积的计算。 2.灵活选择判定方法，规范完成几何证明与推理题。 3.学会转化思想，把正方形问题拆分为直角三角形、等腰三角形解题。 1.选择填空快速辨析正方形性质、判定易错点，杜绝概念混淆丢分。 2.熟练解答几何证明、计算、折叠、综合压轴题型，步骤完整规范。 3.能区分矩形、菱形、正方形的异同，精准破题、高效得分。 题型01.正方形性质理解 题型02.由正方形性质求角度 题型03.由正方形性质求线段长 题型.04由正方形性质求面积 题型05.正方形折叠问题 题型06.求正方形重叠部分面积 题型07.根据正方形的性质证明 题型08.正方形的判定定理理解 题型09.添条件使四边形是正方形 题下10.证明四边形是正方形 题型11.由正方形性质与判定求角度 题型12.由正方形性质与判定求线段长 题型13.由正方形性质与判定求面积 题型14.由正方形的性质与判定证明 题型15.中点四边形 题型16.特殊平行四边形的动点问题 题型17.四边形中的线段最值问题 题型18.四边形的其他综合问题 解答题8题 知识点01:正方形的定义（课本核心） 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。 一句话秒懂：正方形 = 矩形 + 菱形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形，堪称四边形 “顶配图形”。 知识点02:正方形五大全能性质（必考重点） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03.正方形的判定（核心 知识点04:正方形计算公式（直接套用） 1.周长：C=4×边长 2.面积两种算法：S=边长×边长 S=×对角线2 3.边长与对角线关系：正方形对角线 =边长 知识点05:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 高频易错避雷区 1.误区：对角线相等且垂直的四边形是正方形 ❌错！必须加前提：平行四边形 2.误区：有一个直角的菱形不是正方形 ❌错！直接判定为正方形 3.混淆点：矩形看直角、等对角线；菱形看等边、垂对角线；正方形全部都满足。 . 题型01.正方形性质理解. 【典例】正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形与矩形的性质，对比两种图形的性质，找出正方形具有而矩形不具有的性质即可判断． 【详解】∵正方形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相垂直平分且相等， 矩形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相平分且相等，对角线不互相垂直， ∴正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直， 故选C． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，则________． 【答案】/75度 【分析】由正方形的性质及等边三角形的性质，求得，从而由等腰三角形的性质可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，掌握这些性质是关键． 【跟踪专练2】如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据题意分四种情况画出图形，然后根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图： ① 当时，，即，解得：； ② 当时，，即，解得：； ③ 当时，，此时，解得：； ④ 当时，，此时P与重合，，解得：． 综上，C选项符合题意． 故选C． 题型02.由正方形性质求角度 【典例】如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形为正方形，得到，平分，即可求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，平分， ∴． 【跟踪专练1】两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和角之间的关系，计算即可求解． 【详解】解：如图， 两个正方形， ，， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，则，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 题型03.由正方形性质求线段长 【典例】如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为________cm．    【答案】5 【分析】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质定理，根据平分即可求解． 【详解】解：由题意得：平分 ∵点P到的距离， ∴点P到直线的距离为5 cm． 故答案为：5 【跟踪专练1】如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理解出即可． 【详解】解：设正方形边长为， ，即， 解得（负值已舍去）， 故正方形的周长为． 【跟踪专练2】如图，在边长为3的正方形中，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E、F．的值为（    ） A． B．3 C． D．不确定 【答案】A 【分析】由正方形性质可得，由勾股定理得对角线，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形中，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 题型.04由正方形性质求面积 【典例】如图，在正方形中，对角线的长为，则该正方形的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：正方形， ， 在中，，， ∴， ∴， ∴该正方形的面积为． 【跟踪专练1】我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 【答案】200 【分析】本题考查了正方形与平行四边形的面积公式．运用直角三角形的角性质，获取平行四边形的高，是解本题的关键． 【详解】解：四边形是正方形，发生形变后，四条边长度不变，依然相等， ， 四边形是菱形，也是平行四边形， 过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高， ，是直角三角形， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，则，，结合等量代换可得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，. ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 题型05.正方形折叠问题 【典例】如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为________ 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆外一点到圆上的最短距离；由翻折的性质可知：点在上运动的过程中，点的轨迹是一段圆弧，由此可以求出的最小值； 【详解】解：如图，连接，以为圆心，的长为半径画弧； 在正方形中，， ∴， 在中，， 由翻折的性质可知： 点在上运动的过程中，， ∴点的轨迹是以为圆心，半径为的一段弧； ∴当 三点共线时，有最小值， 此时， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 /0.875 【分析】利用矩形的性质得，利用折叠的性质可得，当与重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得； 连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 当与重合时，由折叠可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当四边形为正方形时，如图，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用等面积法求出点H到的距离即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，， ， 又， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型06.求正方形重叠部分面积 【典例】如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 【跟踪专练1】现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 【跟踪专练2】如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 题型07.根据正方形的性质证明 【典例】如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴，，， ∴， ∴说法不正确的只有D选项， 故选：D． 【跟踪专练1】已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】/22.5度 【分析】利用正方形的性质得到，，从而证得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质求得，最后利用角平分线的定义即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分， ∴． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再求出，最后由三角形内角和求出，即可得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 题型08.正方形的判定定理理解 【典例】我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是_____    【答案】对角线互相垂直且相等 【分析】本题考查了正方形的判断方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判断方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故答案为：对角线互相垂直且相等． 【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形，及正方形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项A正确，不符合题意； 对于B，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以选项B正确，不符合题意； 对于C，因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以选项C正确，不符合题意； 对于D，当时，四边形是菱形，不能判断为正方形，所以选项D错误，符合题意． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 【答案】①②③ 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 题型09.添条件使四边形是正方形 【典例】已知，在矩形中，添加条件即可判定该矩形是正方形，那么这个条件可以是______． 【答案】有一组邻边相等或对角线互相垂直 【分析】根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件． 【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：有一组邻边相等的矩形或对角线互相垂直的矩形． 故答案为：有一组邻边相等或对角线互相垂直． 【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种： ①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； ②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 【跟踪专练1】.如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定逐个判定即可得到答案． 【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意， 选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意， 选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意， 选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定，因为平行四边形中，，根据对角线相等的平行四边形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，再添加一组邻边相等即可证明四边形是正方形． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 题型10.证明四边形是正方形 【典例】如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 【答案】正方形 【分析】由作图可知，四边形为菱形，证明，，即得四边形为正方形． 【详解】由作图可知，， 四边形为菱形， ，， ， ， 四边形为正方形． 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 【答案】0.5 【分析】连接，交于点，由，可知四边形是平行四边形，进而推断出四边形是正方形，然后利用正方形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点． ，， 四边形是平行四边形． 在正方形中，，， ， 四边形是正方形， ，． ， ， ， 即点到边的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，掌握正方形的性质与判定是解决本题的关键． 【跟踪专练2】四边形中，、相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（　　） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题是考查正方形的判定，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念．途径有两种∶①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．根据正方形的判定∶对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A：，， 四边形为平行四边形． ， 对角线相等，为矩形，但无邻边相等或垂直，故A不符合题意；． B：， 四边形可能为平行四边形． ，为平行四边形性质，无额外条件，不能判定为正方形．故B不符合题意． C：， 且O为对角线中点． 四边形为平行四边形且对角线相等，为矩形． ， 对角线垂直． 矩形变为正方形．故C符合题意； D：，， 四边形为平行四边形． ， 邻边相等，为菱形，但无直角，不能判定为正方形．故D不符合题意．   故选：C 题型11.由正方形性质与判定求角度 【典例】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 题型12.由正方形性质与判定求线段长. 【典例】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【跟踪专练1】小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线cm，则图1中对角线的长为___________． 【答案】cm 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理以及含的直角三角形的性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键． 根据勾股定理即可求得图2正方形的边长，再根据菱形的性质和勾股定理即可求得图1中的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴四边形是菱形（图1）， 当时，四边形是正方形（图2）， ∴图2中，， ∴在中， 由，， ∴， 在图1中，连接，交于，如图所示： ∵四边形是菱形（图1）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，点D、E、F是垂足，若，则的长度是（    ） A．4 B．6 C．12 D．10 【答案】C 【分析】连接，由角平分线的性质定理得到，可证明四边形是正方形，则，证明，则，同理，设，在中运用勾股定理建立方程求解，则即可求出，那么问题得以求解． 【详解】解：连接， ∵点O为的三条角平分线的交点，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， 设， 则， ∴在中，由勾股定理得 解得或（舍）， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 题型13.由正方形性质与判定求面积 【典例】我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为___．（用含的代数式表示） . 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题意得出这个大四边形是菱形，再结合，得这个大四边形是正方形，再结合面积之间的关系进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为， ∴， ∴， 依题意，这个大四边形的四边相等，则是菱形， ∵， 结合有一个角是度的菱形是正方形，即这个大四边形是正方形， ∴大正方形的面积为，四个直角三角形的面积是， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2=1：4，S四边形边BAHE=27，则四边形MBNJ的面积为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】先证△CAB≌△DAH（SAS），得∠ADH=90°，则H、D、E三点共线，再证，则BC=FC=FG=BG=2GJ，AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ，然后由S四边形BAHE=S△ADH+S梯形ADEB=27，求出GJ=，证△FAN≌△EBM（ASA），则S△FAN=S△EBM，最后由S四边形MBNJ=S矩形CFJE-S四边形BCFN-S△EBM=S矩形CFJE-S△ABC，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形BAHI和四边形CADE都是正方形， ∴AC=AD，AB=AH，∠CAD=∠ABI=∠BAH=∠ADE=90°， ∴∠CAB+∠BAD=∠DAH+∠BAD， ∴∠CAB=∠DAH， 在△CAB和△DAH中， ， ∴△CAB≌△DAH（SAS）， ∴∠ADH=∠ACB=90°， ∵∠ADE=90°， ∴H、D、E三点共线， ∵四边形BCFG和四边形CADE都是正方形，延长BG、FG分别交AD、DE于点K、J， ∴四边形ADJF和四边形BEDK都是矩形，且AF=BE，∠AFN=∠BEM=90°，四边形DKGJ是正方形，四边形CFJE是矩形， ∵S1：S2=1：4， ∴， ∴BC=FC=FG=BG=2GJ， ∵四边形CADE是正方形， ∴∠ADE=90°，AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=GJ， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH==2GJ， ∵S四边形BAHE=S△ADH+S梯形ADEB=27， ∴AD•DH+（AD+BE）•DE=×3GJ×2GJ+（3GJ+GJ）×3GJ=27， 解得：GJ=（负值已舍去）， ∵∠ABC+∠EBM=180°-∠ABI=180°-90°=90°，∠ABC+∠CAB=90°， ∴∠CAB=∠EBM，即∠FAN=∠EBM， 在△FAN和△EBM中，， ∴△FAN≌△EBM（ASA）， ∴S△FAN=S△EBM， ∴S△ABC=S四边形BCFN+S△FAN=S四边形BCFN+S△EBM， ∴S四边形MBNJ=S矩形CFJE-S四边形BCFN-S△EBM=S矩形CFJE-S△ABC =FC•CE-AC•BC =2GJ×3GJ-×3GJ×2GJ=3GJ2=3×（）2=9， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形面积、梯形面积与三角形面积的计算等知识，证明△FAN≌△EBM是解题的关键． 题型14.由正方形的性质与判定证明 【典例】如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此可判断A、B、D，根据矩形的判定方法可判断C． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形不一定是矩形， ∴不一定成立， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点E，F分别为边上两点，满足，过点作于点，过点作于点，作的角平分线交于点．若，，则a，b，c满足下列哪个选项中的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点K，设交于点H，过点M作于点L，证明，可得，再证明为等腰直角三角形，可得，从而得到，从而得到，可证得四边形为正方形，进而得到，可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点K，设交于点H，过点M作于点L， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：D 题型15.中点四边形 【典例】在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形和矩形的定义等知识点，画出图形、利用三角形的中位线推理证明是解题的关键． 连接、、、的中点、、、，根据三角形的中位线定理，得出，，，，求出、的长，推出，，根据平行四边形和矩形的定义证明四边形是矩形，根据矩形的面积，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，、、、分别为、、、的中点，连接点、、、， ∴，，，，，（三角形的中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴矩形的面积． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）． 【答案】先变大后变小 【分析】连接，证明四边形的面积是平行四边形的面积的一半，再根据平行四边形的面积的变化情况：先变大后变小，而得出四边形的面积也是先变大后变小． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴, 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴, 在变化过程中，不变，边上的高由短变长再变短， ∴平行四边形的面积先变大再变小， ∴平行四边形的面积先变大再变小． 【跟踪专练2】如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 题型16.特殊平行四边形的动点问题 【典例】如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是矩形． 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 【答案】C 【分析】作交的延长线于H，证明是的角平分线，由即可解决问题． 【详解】解：作交的延长线于H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∴点P的运动轨迹是的角平分线， ∵， ∴， 而， ∴一直不变， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、余角性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形以及得到点P的运动路线是解答的关键． 题型17.四边形中的线段最值问题 【典例】如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是正方形，， ， 当最大时，最大，此时最大， 点是上的动点， 当点和点重合时，最大，即的长度， 此时， ， 的最大值为． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为______ ． 【答案】 【分析】连接，可得，四边形是矩形，即得，当时，可知最短，再利用三角形的面积解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形中，，， ∴， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∵是对角线上一点， ∴当时，最短，此时， ∴， ∴的最小值为． 【跟踪专练2】如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 题型18.四边形的其他综合问题 【典例】在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．18 C．15 D．12 【答案】D 【分析】令与的交点为O，可得，解答即可． 【详解】令与的交点为O， 则 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，注意：求不规则图形的面积可由三角形的面积相加． 【跟踪专练1】如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是正方形，由正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证明四边形是正方形是解题的关键． 【解答题】 1．如图，在正方形的内部作等边，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （）根据等边三角形的性质得到，，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （）根据正方形的性质得到，由（）得，，，则，然后由得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是正方形的对角线， ∴， 由（）得，，， ∴， ∴． 2．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，交于点O，且． (1)判断和的关系，并证明； (2)若为的中点，，求的长． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）先由勾股定理求解，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 证明：∵正方形 ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，为的中点， ∴． 3．如图，分别以，，，为边长作正方形． (1)若，，求图中两个正方形的面积之和； (2)若，，求图中的长； (3)已知且满足，．若图中两个正方形的面积和为，求图中的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）先求出两个正方形的面积，然后求和即可； （）先确定，再由勾股定理即可求解； （）由题意知，通过计算整理得，求出，然后由勾股定理即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴图中两个正方形的面积之和为； （2）解：由题意知，，， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， ∴的长为； （3）解：由题意知，， ∵，， ∴，， 整理得，， 解得，， 在中，，， ∴， ∴． 4．【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (1) ；点A到的距离是 ． 【转一转】 (2)将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 (3)连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 【答案】(1)，2 (2)不变，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据翻折的性质得出答案； （2）延长至T，使得，再证明，即可得出答案； （3）在（2）的基础上，求出，设，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠的性质得，，． ∴，， ∴点A到的距离． （2）解：结论：不变，仍然等于2． 理由：如图，延长至T，使得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点A到的距离为的长，等于2， ∴点A到的距离等于2； （3）解：∵点Q是边的三等分点， ∴， 由（2）可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴． 5．阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到、，由余角的性质得到，进而证明，从而得到重叠部分的面积为，据此求解即可； （2）连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，则直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M，则直线将四边形的面积分成相等的两部分． 【详解】（1）解：连接， 是边长为的正方形的中心， 、、， 、， ， 在和中， ， ， 重叠部分的面积为； （2）解：如图3所示，连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，直线和直线即为所求， 证明：由（1）的结论易证得， 是边长为的正方形的中心， ， ， 同理得：、、， 直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）解：如图4所示，连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M， 证明：由作图可知，、、， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， 、， 、， 四边形是平行四边形， 点是平行四边形的对角线的交点， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 当时，将四边形面积二等分． 6．在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且． (1)如图1，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． (2)如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①；②，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题主要考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握有关基础知识是解题的关键． （1）①先证明，进而推出；可得出，根据等边对等角和三角形内角和定理即可解答；②如图2，如图2，在上取一点N，使，连接，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图3，过点D作于E，连接，先证明是等边三角形，再证明和，进而完成解答． 【详解】（1）解：①如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图2，在上取一点N，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图3，过点D作于E，连接， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， 由（1）同理得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 7．如图1，正方形的边长为1，点在边上，连接，将沿直线翻折得到，延长交射线于点，和的角平分线，相交于点，连接． (1)求． (2)若，求线段的长． (3)如图2，若四边形是平行四边形，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】　（1）由正方形的性质可知，利用角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出． （2）利用含30度直角三角形的性质得出，，再由勾股定理求出，再根据线段的和差关系得出，求出，即可求出． （3）证明，，由全等三角形的性质得出，设，过点H作于点N，作于点M，证明四边形是正方形，得出，，，由角平分线的性质定理进一步得出，延长，交于点S，由全等三角形的性质得，由等边对等角以及等量代换进一步得出，利用勾股定理求出m，最后代入面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， 则， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：设，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 由折叠的性质得出，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 过点H作于点T，则， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 过点H作于点N，作于点M， 则四边形是矩形， 又平分，平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴ ， 延长，交于点S， ∵，， ∴， 则，， ∵， ∴点S在的延长线上， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴． 【点睛】作出辅助线，掌握角平分线的性质定理以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04正方形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握正方形定义：既是矩形又是菱形，是特殊的平行四边形。 2.熟记正方形兼具矩形、菱形全部性质，边角、对角线、对称性完整掌握。 3.熟练掌握正方形三种判定方法，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。 1.能综合运用正方形性质，进行角度、边长、对角线、面积的计算。 2.灵活选择判定方法，规范完成几何证明与推理题。 3.学会转化思想，把正方形问题拆分为直角三角形、等腰三角形解题。 1.选择填空快速辨析正方形性质、判定易错点，杜绝概念混淆丢分。 2.熟练解答几何证明、计算、折叠、综合压轴题型，步骤完整规范。 3.能区分矩形、菱形、正方形的异同，精准破题、高效得分。 题型01.正方形性质理解 题型02.由正方形性质求角度 题型03.由正方形性质求线段长 题型.04由正方形性质求面积 题型05.正方形折叠问题 题型06.求正方形重叠部分面积 题型07.根据正方形的性质证明 题型08.正方形的判定定理理解 题型09.添条件使四边形是正方形 题下10.证明四边形是正方形 题型11.由正方形性质与判定求角度 题型12.由正方形性质与判定求线段长 题型13.由正方形性质与判定求面积 题型14.由正方形的性质与判定证明 题型15.中点四边形 题型16.特殊平行四边形的动点问题 题型17.四边形中的线段最值问题 题型18.四边形的其他综合问题 解答题8题 知识点01:正方形的定义（课本核心） 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。 一句话秒懂：正方形 = 矩形 + 菱形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形，堪称四边形 “顶配图形”。 知识点02:正方形五大全能性质（必考重点） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03.正方形的判定（核心 知识点04:正方形计算公式（直接套用） 1.周长：C=4×边长 2.面积两种算法：S=边长×边长 S=×对角线2 3.边长与对角线关系：正方形对角线 =边长 知识点05:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 高频易错避雷区 1.误区：对角线相等且垂直的四边形是正方形 ❌错！必须加前提：平行四边形 2.误区：有一个直角的菱形不是正方形 ❌错！直接判定为正方形 3.混淆点：矩形看直角、等对角线；菱形看等边、垂对角线；正方形全部都满足。 . 题型01.正方形性质理解. 【典例】正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【跟踪专练1】如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，则________． 【跟踪专练2】如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 题型02.由正方形性质求角度 【典例】如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【跟踪专练2】如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型03.由正方形性质求线段长 【典例】如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为________cm．    【跟踪专练1】如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【跟踪专练2】如图，在边长为3的正方形中，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E、F．的值为（    ） A． B．3 C． D．不确定 题型.04由正方形性质求面积 【典例】如图，在正方形中，对角线的长为，则该正方形的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【跟踪专练1】我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 【跟踪专练2】如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 题型05.正方形折叠问题 【典例】如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为________ 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型06.求正方形重叠部分面积 【典例】如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【跟踪专练1】现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【跟踪专练2】如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 题型07.根据正方形的性质证明 【典例】如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型08.正方形的判定定理理解 【典例】我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是_____    【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 题型09.添条件使四边形是正方形 【典例】已知，在矩形中，添加条件即可判定该矩形是正方形，那么这个条件可以是______． 【跟踪专练1】.如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 题型10.证明四边形是正方形 【典例】如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 【跟踪专练2】四边形中，、相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（　　） A．，， B．， C．， D．，， 题型11.由正方形性质与判定求角度 【典例】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【跟踪专练1】如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型12.由正方形性质与判定求线段长. 【典例】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【跟踪专练1】小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线cm，则图1中对角线的长为___________． 【跟踪专练2】已知，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，点D、E、F是垂足，若，则的长度是（    ） A．4 B．6 C．12 D．10 题型13.由正方形性质与判定求面积 【典例】我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为___．（用含的代数式表示） . 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2=1：4，S四边形边BAHE=27，则四边形MBNJ的面积为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 题型14.由正方形的性质与判定证明 【典例】如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点E，F分别为边上两点，满足，过点作于点，过点作于点，作的角平分线交于点．若，，则a，b，c满足下列哪个选项中的数量关系（   ） A． B． C． D． 题型15.中点四边形 【典例】在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【跟踪专练1】如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）． 【跟踪专练2】如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型16.特殊平行四边形的动点问题 【典例】如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 题型17.四边形中的线段最值问题 【典例】如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为______ ． 【跟踪专练2】如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 题型18.四边形的其他综合问题 【典例】在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．18 C．15 D．12 【跟踪专练1】如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【跟踪专练2】小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，在正方形的内部作等边，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 2．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，交于点O，且． (1)判断和的关系，并证明； (2)若为的中点，，求的长． 3．如图，分别以，，，为边长作正方形． (1)若，，求图中两个正方形的面积之和； (2)若，，求图中的长； (3)已知且满足，．若图中两个正方形的面积和为，求图中的长． 4．【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (1) ；点A到的距离是 ． 【转一转】 (2)将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 (3)连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 5．阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 6．在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且． (1)如图1，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． (2)如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 7．如图1，正方形的边长为1，点在边上，连接，将沿直线翻折得到，延长交射线于点，和的角平分线，相交于点，连接． (1)求． (2)若，求线段的长． (3)如图2，若四边形是平行四边形，求的面积． 8．综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $