第8章 四边形（复习讲义）数学新教材青岛版八年级下册

该初中数学第八章四边形复习讲义通过知识框架图系统梳理了平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定，清晰呈现从一般到特殊的演变与包含关系，并用对比表格归纳边、角、对角线的核心特征，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“一题多变”与“一题多解”的分层练习设计，如中点四边形题型通过改变原四边形为定点、菱形、正方形探究结论变化，培养推理意识与几何直观。辅助线添加（如连接对角线转化三角形）强化演绎推理，基础巩固与能力提升通关测满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第八章 四边形（复习讲义） 1．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的定义，并理清它们之间从一般到特殊的演变关系与包含关系。 能够准确描述并证明平行四边形及特殊平行四边形在边（平行、相等）、角（相等、互补、直角）、对角线（平分、相等、垂直）等方面的性质与判定方法 2．通过添加辅助线（如连接对角线），学会将复杂的四边形问题转化为熟悉的三角形全等或计算问题，提升演绎推理能力。 通过“一题多变”与“一题多解”的训练，培养从不同角度思考问题的习惯，强化合情推理与严谨的逻辑表达。 知识点01 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质： （1） 平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3） （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定平行四边形的条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点02 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2、 判定矩形的条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形的条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 题型一 中点四边形 【例1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【变式】（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在四边形中，，，且，则下列说法：①四边形是菱形；②；③若，，则四边形的面积为24；④若，则是等边三角形；⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是正方形．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【例2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图，P是的边上一点，过点P作一条直线l把这个四边形分成面积相等的两部分（用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）； (2)如图，在的网格中，A，B，C均在格点上，请找一格点D，使得为等腰三角形（找到一个即可）； 【变式】（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 题型三 利用平行四边形的性质证明 【例3】已知：如图，是平行四边形的对角线上的两点，且．求证： (1)； (2)． 【变式】（24-25八年级下·辽宁鞍山·月考）如图，在中，E为边上一点，且，连接、． (1)求证： (2)求证：． 题型四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例4】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式】（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 题型五 证明四边形是平行四边形 明 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 题型六 全等三角形拼平行四边形问题 明 【例6】如图所示，的顶点在的网格中的格点上． (1)画出绕点A逆时针旋转得到的； (2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 【变式】如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 题型七 利用平行四边形的判定与性质求解 明 【例7】阅读下列材料： 数学课上，老师出示了这样一个问题： 如图，在中，，点D在上，点E，F分别在和其延长线上．探究线段，，之间的数量关系，并证明． 某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法： 小强：“通过观察和度量，发现 存在某种数量关系”； 小诺：“通过观察和度量，发现图中有一条线段与相等；” 小新：“通过构造三角形，证明三角形全等，进而可以得到线段，，之间的数量关系．” …… 参考以上思考问题的方法或用其它方法解答下列问题： (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式】．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 题型八 利用平行四边形性质和判定证明 明 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．求证：四边形EGFH是平行四边形． 【变式】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 题型九 平行四边形性质和判定的应用 明 【例9】（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【变式】（24-25九年级下·广东深圳·月考）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ． 题型十 矩形与折叠问题 明 【例10】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在中点处时，周长最大 D．保持不变 【变式】如图是一张矩形纸片，与相交于点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连结，．若，．    (1)请用表示的大小； (2)请求出的值． 题型十一 斜边的中线等于斜边的—半 明 【例11】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知线段，以为斜边作和，连接，、分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含、的代数式表示） 【变式】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 明 【例12】（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【变式】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）在正方形中，点E，F分别是边 上的中点，点 P是一动点，记，，．    (1)如图1，若点P运动到线段的中点时， ， ． (2)如图2，若点P在线段上运动时，，和之间有何关系? (3)当点在直线上（在线段之外且与不重合）运动时，，和间又有何关系? 说明理由． 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 明 【例13】（22-23八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在四边形中，，，，，动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当点P运动t秒后，______（用含t的代数式表示）； (2)若四边形为平行四边形，求运动时间t； (3)当t为何值时，是以为底边的等腰三角形． 【变式】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，已知中是的中点，过点C作，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若F是上一点，且，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 明 【例14】（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【变式】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点D、点O分别是、的中点，连接、，延长至点E，使，连接、． (1)求证：四边形是矩形． (2)若F是上一动点，直接写出与四边形面积相等的三角形和四边形． 题型十五 根据菱形的性质与判定求角度 明 【例15】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，、分别是、的平分线，且点、分别在边、上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容如下： 两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 请根据教材提示，求： ①若，，求平行线与间的距离． ②在①的条件下，请直接写出平行线与间的距离． 【变式】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是 ． 题型十六 根据菱形的性质与判定求线段长 明 【例16】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)若，证明：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为60，，求的长． 【变式】如图，在矩形纸片中，，，点，分别是矩形的边，上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在点处，连接、、，与交于点．则当点与点重合时， ． 题型十七 根据正方形的性质与判定求角度 明 【例17】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【变式】概念提出 若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”． (1)下列四边形一定是巧妙四边形的是　 　；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)初步应用 在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数． (3)深入研究 在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数． 题型十八 根据正方形的性质与判定求线段长 明 【例18】（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图1，将一个等腰直角三角尺的顶点C放置在直线l上，，，过点A作于点D，过点B作于点E． (1)观察发现：如图1，当A，B两点均在直线l的上方时： ①猜测线段与的数量关系并说理由； ②直接写出线段与的数量关系； (2)操作证明：将等腰直角三角尺绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段与又有怎样的数量关系？写出证明过程． 【变式】（24-25八年级下·浙江湖州·月考）如图，在四边形中，，垂足为点E．若四边形的面积为25，则的长是 ． 题型十九 根据正方形的性质与判定求面积 明 【例19】．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在的网格中（每个小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A在格点上，仅用无刻度的直尺，按以下要求画四边形，并使其各顶点都在格点上． (1)在图1中画一个以A为顶点，面积为6的平行四边形； (2)在图2中画一个以A为顶点，不是正方形的菱形； (3)在图3中画一个以A为顶点，面积最大的正方形． 【变式】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 题型二十 根据正方形的性质与判定证明 明 【例20】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． (1)求证：四边形是矩形． (2)若还满足，则四边形的形状为 ． 【变式】（24-25八年级下·江苏镇江·月考）在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且． (1)四边形如图1所示，四边形是______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；____（填“”或“”）； (2)四边形如图2所示，且，四边形是_____（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． 题型二十一 （特殊）四边形中的动点问题 明 【例21】（24-25八年级下·四川达州·月考）如图，在四边形中，，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（）． (1)四边形的形状为 ； (2)当 时，点P运动到的角平分线上； (3)请用含t的代数式表示的面积S； (4)当时，直接写出点P到四边形相邻两边距离相等时t的值． 【变式】（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 题型二十二 四边形中的线段最值问题 明 【例22】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是 ． 【变式】如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是 ． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．20 3．（20-21八年级下·广西来宾·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（    ） A．16 B．14 C．12 D．8 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·周测）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，．若，则的度数为 ． 6．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是 米． 7．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，直角中，，，过作，连接与相交于，若，则的大小是 度． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，E，F分别是的边AB，CD上的点．已知，求证：． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，BF，CE，CF． (1)请你在①；②中选择一个作为条件，证明． (2)在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD和矩形EFGH中，，，两矩形重叠部分为平行四边形，且点E与点D重合，则图中阴影部分的周长的最大值是（   ） A．17 B．15 C．14 D．12 4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 6．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 8．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 9．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示：求证：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 四边形（复习讲义） 1．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的定义，并理清它们之间从一般到特殊的演变关系与包含关系。 能够准确描述并证明平行四边形及特殊平行四边形在边（平行、相等）、角（相等、互补、直角）、对角线（平分、相等、垂直）等方面的性质与判定方法 2．通过添加辅助线（如连接对角线），学会将复杂的四边形问题转化为熟悉的三角形全等或计算问题，提升演绎推理能力。 通过“一题多变”与“一题多解”的训练，培养从不同角度思考问题的习惯，强化合情推理与严谨的逻辑表达。 知识点01 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质： （1） 平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3） （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定平行四边形的条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点02 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2、 判定矩形的条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形的条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 题型一 中点四边形 【例1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【答案】四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形；当四边形ABCD为菱形时，四边形EFGH是矩形．当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形；理由见解析 【思路引导】连接，，由三角形中位线定理可得，，，，，，根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可． 【完整解答】解：如图，连接，． ，分别为，的中点， ∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点， ∴，． 当四边形为矩形时，， ∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，， ∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【考点剖析】此题主要考查了三角形的中位线定理、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 【变式】（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在四边形中，，，且，则下列说法：①四边形是菱形；②；③若，，则四边形的面积为24；④若，则是等边三角形；⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是正方形．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题考查了菱形的判定及性质，菱形的面积，等边三角形的判定，矩形的判定；由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质及菱形的面积逐一判断即可． 【完整解答】解：① ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 故①正确； ②四边形是菱形， ， 故②正确； ③ ，， 四边形的面积为， 故③正确； ④四边形是菱形，， ，， 是等边三角形； 故④正确； ⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是矩形． 故⑤错误； ①②③④正确，共个； 故选：C． 题型二 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【例2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图，P是的边上一点，过点P作一条直线l把这个四边形分成面积相等的两部分（用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）； (2)如图，在的网格中，A，B，C均在格点上，请找一格点D，使得为等腰三角形（找到一个即可）； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想解题是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质和三角形全等的性质可证：经过平行四边形的对角线的交点的直线将平行四边形的面积等分； （2）经观察发现，图中不存在使得的格点D，利用勾股定理得出，再从图中找出满足或的格点D即可． 【完整解答】（1）作图如下： （2）作图如下： 均为满足为等腰三角形的点． 【变式】（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【思路引导】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【完整解答】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【考点剖析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 题型三 利用平行四边形的性质证明 【例3】已知：如图，是平行四边形的对角线上的两点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质，得且，易推得，，即可判定； （2）由（1）可得，即可判定． 【完整解答】（1）四边形是平行四边形， 且， ， 又 ， ，即， ； （2） ， ， ． 【变式】（24-25八年级下·辽宁鞍山·月考）如图，在中，E为边上一点，且，连接、． (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题重点考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由平行四边形的性质得，则； （2）由，，推导出，由，得，因为，且，所以，而，即可根据“”证明，则． 【完整解答】（1）证明： ， ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）证明：，， ， ， ， ，且， ， 在和中， ， ， ． 题型四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例4】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【完整解答】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 【变式】（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【完整解答】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 题型五 证明四边形是平行四边形 明 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方法：通过平行四边形的性质得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可；方法：通过平行四边形的性质得到，，，，两直线平行内错角相等可得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，再通过线段的和差关系得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可． 【完整解答】方法：证明：∵四边形为平行四边形， ． ，， ． 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形． 方法：∵四边形为平行四边形， ，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ，即， ∴四边形为平行四边形． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）利用的内角和为，结合已知的，计算出的度数； （2）先求出的度数，再利用四边形内角和为算出的度数，通过两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明结论． 【完整解答】（1）解：， ． （2）证明：，，， ， ， 四边形是平行四边形． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和、四边形内角和与平行四边形的判定，掌握三角形内角和为、四边形内角和为，及两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 题型六 全等三角形拼平行四边形问题 明 【例6】如图所示，的顶点在的网格中的格点上． (1)画出绕点A逆时针旋转得到的； (2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【思路引导】（1）由题意可知旋转中心、旋转角、旋转方向，根据旋转的画图方法作图即可； （2）如图有三种情况，构造平行四边形即可. 【完整解答】解：（1）如图即为所求 （2）如图，D、D’、D’’均为所求. 【考点剖析】本题考查了图形的旋转及中心对称图形，熟练掌握作旋转图形的方法及中心对称图形的定义是解题的关键. 【变式】如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【思路引导】（1）过点C作，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形. 【完整解答】（1）解：如图， 线段就是所求作的图形． （2）解：如图， 就是所求作的图形 【考点剖析】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 题型七 利用平行四边形的判定与性质求解 明 【例7】阅读下列材料： 数学课上，老师出示了这样一个问题： 如图，在中，，点D在上，点E，F分别在和其延长线上．探究线段，，之间的数量关系，并证明． 某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法： 小强：“通过观察和度量，发现 存在某种数量关系”； 小诺：“通过观察和度量，发现图中有一条线段与相等；” 小新：“通过构造三角形，证明三角形全等，进而可以得到线段，，之间的数量关系．” …… 参考以上思考问题的方法或用其它方法解答下列问题： (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质以及平行线的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据已知条件结合三角形外角的定义和性质得出，再由平行线的性质得出，等量代换可得出． （2）过点A作交的延长线于点H，以A点为圆心，长为半径画弧交于点，先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【完整解答】（1）解：结论 证明： ． （2）解：结论：． 证明：过点A作交的延长线于点H，以A点为圆心，长为半径画弧交于点 ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 由（1）知， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式】．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据，结合已知可以得出，从而证明， （2），由点E、G关于对称，可得，则，由，证明，再由，可得，进而结论得证； （3）由点G是点E关于的对称点可得，，同理（1），四边形是平行四边形，则，证明是等边三角形，则，由，可得，则，，由此得出结论． 【完整解答】（1）证明：∵等边， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵点E、G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，， ∴，， 同理（1），四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 题型八 利用平行四边形性质和判定证明 明 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．求证：四边形EGFH是平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 根据平行四边形的性质证明，根据全等三角形的对应边相等得到，同理可证得，得到，最后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题． 【完整解答】证明：四边形是平行四边形，是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ． 同理可证得， ， 四边形是平行四边形． 【变式】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定和性质．连接，交于点，由于四边形是平行四边形，那么，，而，根据等式性质易得，根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形． 【完整解答】证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型九 平行四边形性质和判定的应用 明 【例9】（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【思路引导】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【完整解答】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 【变式】（24-25九年级下·广东深圳·月考）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用． 先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【完整解答】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型十 矩形与折叠问题 明 【例10】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在中点处时，周长最大 D．保持不变 【答案】D 【思路引导】本题主要考查正方形与折叠问题，勾股定理，根据题意知，可证明四边形是矩形，可得，由勾股定理得，从而可求出阴影部分周长进而解决问题． 【完整解答】解：根据题意知，，且均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴阴影部分的周长 ， ∵是定值， ∴阴影部分的周长不变， 故选：D． 【变式】如图是一张矩形纸片，与相交于点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连结，．若，．    (1)请用表示的大小； (2)请求出的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了矩形的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质． （1）根据矩形的性质得到，进而得到，由三角形外角的性质可得；由折叠的性质可得，结合矩形的性质得到，再根据已知推出，即可得到； （2）由（1）知，由三角形外角的性质可得，再根据折叠的性质可得，由，即可解答． 【完整解答】（1）解：∵四边形是矩形，与相交于点， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十一 斜边的中线等于斜边的—半 明 【例11】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知线段，以为斜边作和，连接，、分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含、的代数式表示） 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【思路引导】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）①根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一证明即可； ②根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，即可得到答案． （2）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，即可得到答案． 【完整解答】（1）①证明：连接， 是线段的中点， ，， ， 是的中点， ； ②解：由条件可知， ，， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接， 由条件可知， ，， ，， ， ，是的中点， ． 【变式】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4． 【思路引导】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质和等边三角形的判定和性质； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【完整解答】（1）证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 明 【例12】（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，接着证明四边形是平行四边形，然后结合，得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道，那么，再根据三角形内角和算得，从而得出答案． 【完整解答】（1）证明： 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 【变式】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）在正方形中，点E，F分别是边 上的中点，点 P是一动点，记，，．    (1)如图1，若点P运动到线段的中点时， ， ． (2)如图2，若点P在线段上运动时，，和之间有何关系? (3)当点在直线上（在线段之外且与不重合）运动时，，和间又有何关系? 说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①当点在延长线上时，；②当点在延长线上，且在直线上方时，；③当点在延长线上，且在直线下方时，，理由见解析 【思路引导】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质和平行线的性质求解即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可得； （3）分三种情况：①点在延长线上，②点在延长线上，且在直线上方，③点在延长线上，且在直线下方，根据平行线的性质和直角三角形的性质求解即可得． 【完整解答】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即． （3）解：①如图3-1，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即； ②如图3-2，当点在延长线上，且在直线上方时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即； ③如图3-3，当点在延长线上，且在直线下方时， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，即．    题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 明 【例13】（22-23八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在四边形中，，，，，动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当点P运动t秒后，______（用含t的代数式表示）； (2)若四边形为平行四边形，求运动时间t； (3)当t为何值时，是以为底边的等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据即可写出； （2）当四边形为平行四边形时，，即可列方程进行求解； （3）过点P作于E，根据等腰三角形的性质得出，证明四边形为矩形，得出，求出，根据，得出，求出t的值，即可得出答案． 【完整解答】（1）解：∵动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：， （3）解：如图，过点P作于E， 则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【考点剖析】此题主要考查了四边形的动点问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质列出方程进行求解． 【变式】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，已知中是的中点，过点C作，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若F是上一点，且，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由见解析 【思路引导】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，D是的中点，得出，，因为，得，因为，即可证明四边形是平行四边形，结合有一个直角的平行四边形是矩形，即可作答． （2）结合有一组邻边相等的矩形是正方形，进行分析，即可作答． 【完整解答】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：当为等腰直角三角形时，四边形是正方形， ∵为等腰直角三角形 ∴， 由（1）得四边形是矩形； ∴ ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形； ∴四边形是正方形． 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 明 【例14】（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【思路引导】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【完整解答】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 【变式】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点D、点O分别是、的中点，连接、，延长至点E，使，连接、． (1)求证：四边形是矩形． (2)若F是上一动点，直接写出与四边形面积相等的三角形和四边形． 【答案】(1)见详解 (2)和矩形，四边形， 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行公理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）首先得到四边形是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判断矩形即可； （2）根据四边形是矩形，得到，运用平行线之间距离处处相等，于是得到，根据面积关系进行分析，即可得到结论． 【完整解答】（1）解：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，且点D是的中点， ∴， 即， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）得四边形是矩形， ∴， 结合平行线之间距离处处相等 ∴， ∴四边形面积， ∴四边形面积， 即与四边形面积相等的三角形和四边形分别是和矩形，四边形． 题型十五 根据菱形的性质与判定求角度 明 【例15】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，、分别是、的平分线，且点、分别在边、上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容如下： 两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 请根据教材提示，求： ①若，，求平行线与间的距离． ②在①的条件下，请直接写出平行线与间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①平行线与间的距离为；②平行线与间的距离为 【思路引导】（1）由平行四边形的性质得，；由角平分线意义、平行线的性质、等腰三角形的判定得，进而得，即可证明四边形是平行四边形，再由即可得它是菱形； （2）①过点A作于G；由题意得是等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可求得的长，从而求解； ②利用平行四边形的面积关系即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； 同理得：； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，即， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：①如图，过点A作于G； 由（1）知； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， 由勾股定理得， 即平行线与间的距离为； ②设平行线与间的距离为h， ∵， ∴， 即平行线与间的距离为． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【变式】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查平行四边形的性质、菱形的性质及判定，综合性较强，解答此类题目时要注意由结论推条件，把结论当做已知条件求解．①根据题意可证明四边形为平行四边形，继而可判断出此项正确；②根据①的结论，再结合，为边的中点得出可判断出四边形是菱形；③根据，得到，结合为中点，，即可而得到；④要使，则，而因为得不出，即不能得出． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，故①正确． ②由①知四边形为平行四边形， ，为边的中点， ， 四边形是菱形，故②正确． ④，，， 四边形为矩形， ， 要使，则， 不能证明，即不一定成立，故④不正确． ③由④知， ， 为中点， ∴， ∴，故③正确； 综上可得：①②③正确． 故答案为：①②③． 题型十六 根据菱形的性质与判定求线段长 明 【例16】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)若，证明：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为60，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【思路引导】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线，再由菱形的判定定理求证即可得出结论； （2）由菱形的面积公式求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得出结论． 【完整解答】（1）证明：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形面积公式、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式】如图，在矩形纸片中，，，点，分别是矩形的边，上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在点处，连接、、，与交于点．则当点与点重合时， ． 【答案】 【思路引导】本题考查矩形中的翻折问题，由四边形是矩形，得，由翻折的性质可知，，即知，从而，四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形；当，重合时，设，根据勾股定理和菱形的性质即可得到结论．解题的关键是掌握翻折的性质，熟练地利用勾股定理解决问题． 【完整解答】解：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 当，重合时，如图： 设， 在中， ， ， ，即， ，，， ， ， ， 故答案为：． 题型十七 根据正方形的性质与判定求角度 明 【例17】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【完整解答】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 【变式】概念提出 若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”． (1)下列四边形一定是巧妙四边形的是　 　；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)初步应用 在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数． (3)深入研究 在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数． 【答案】(1)③④ (2)80°或140° (3)45°或90°或135° 【思路引导】（1）由平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质可求解； （2）由线段垂直平分线的性质可得AB=AD，BC=CD，AC⊥BD，由等腰三角形的性质可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，即可求∠BCD的度数； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和“绝妙四边形的定义可求解． 【完整解答】（1）解：∵菱形的四条边相等， ∴连接对角线能得到两个等腰三角形， ∴菱形是巧妙四边形； 正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形； 故答案是：③④； （2）解：∵AC垂直平分BD， ∴AB=AD，BC=CD，AC⊥BD， ∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA， ∵∠BAD=80°， ∴∠BAC=∠DAC=40， ∵AC=AD， ∴∠ACD=70°=∠BCA， ∴∠BCD=140°， 如图，∵四边形ABCD是绝妙四边形，    ∴AD=CD，AB=BC， ∵AC垂直平分BD， ∵AB=AD，BC=CD， ∴AB=AD=BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴∠BCD=∠BAD=80°， 综上所述，∠BCD=140°或80°； （3）解：∵AC是四边形ABCD的巧分线， ∴△ACD和△ABC是等腰三角形， ①当AC=BC时，如图，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，    ∵∠HAD=∠AHC=∠G=90°， ∴四边形AHCG是矩形， AH=CG=AB=CD， ∴∠CDG=30°， ∴∠ADC=150°， ∴∠DAC=∠DCA=15°， ∵∠DAB=90°， ∴∠CAB=∠B=75°，且∠ACB=30°， ∴∠BCD=30°+15°=45°； ②当AC=AB时，如图    ∵AC=AB=AD=CD， ∴△ACD是等边三角形， ∠CAD=∠ACD=60°， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAC=30°， ∵•AB=AC， ∴∠ACB=75°， ∴∠BCD=75°+60°=135°； ③当AB=BC时，如图    ∵AB=AD=CD=BC， ∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， 综上所述：∠BCD的度数是45°或135°或90°． 【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的性质，理解新定义并运用是本题的关键． 题型十八 根据正方形的性质与判定求线段长 明 【例18】（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图1，将一个等腰直角三角尺的顶点C放置在直线l上，，，过点A作于点D，过点B作于点E． (1)观察发现：如图1，当A，B两点均在直线l的上方时： ①猜测线段与的数量关系并说理由； ②直接写出线段与的数量关系； (2)操作证明：将等腰直角三角尺绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段与又有怎样的数量关系？写出证明过程． 【答案】(1)①，理由见解析；② (2)，见解析 【思路引导】本题考查矩形的判定、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，添加合适的辅助线是解答的关键． （1）①过点B作，交的延长线于点F，先证明四边形为矩形，再证明 得到，进而可得四边形为正方形，则，然后进而线段和差计算即可得到结论； ②由①可得，，进而两式相加可得结论； （2）过点B作，交延长线于点G，同（1）①证明方法，证明四边形为正方形，得到，进而根据图形中线段和差计算可得结论． 【完整解答】（1）解：①，理由如下： 如图1，过点B作，交的延长线于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， 又∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 即； ②由①可得，， ∴； （2）解： 如图，过点B作，交延长线于点G， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， 又∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式】（24-25八年级下·浙江湖州·月考）如图，在四边形中，，垂足为点E．若四边形的面积为25，则的长是 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．作于F，如图，易得四边形为矩形，再证明得到，，则可判断四边形为正方形，四边形的面积四边形的面积，然后根据正方形的面积公式计算的长． 【完整解答】解：作于F，如图， ，， ∴四边形为矩形， ， 即， ， 即， ， 在和中， ， ， ，， ∴四边形为正方形， 四边形的面积四边形的面积， 四边形的面积为25， ． 故答案为：． 题型十九 根据正方形的性质与判定求面积 明 【例19】．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在的网格中（每个小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A在格点上，仅用无刻度的直尺，按以下要求画四边形，并使其各顶点都在格点上． (1)在图1中画一个以A为顶点，面积为6的平行四边形； (2)在图2中画一个以A为顶点，不是正方形的菱形； (3)在图3中画一个以A为顶点，面积最大的正方形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【思路引导】本题考查格点作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）画一个底边为3，高为2的平行四边形即可； （2）根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形，作图即可； （3）根据点的位置，画出一个边长为的正方形即可． 【完整解答】（1）解：如图1，为所求平行四边形， （2）如图2，为所求菱形， （3）如图1，为所求正方形， 【变式】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【思路引导】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）证明，并结合邻补角的性质可得出，则得出菱形是正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【完整解答】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， 又是的中点， ， ， 平分， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 又， 正方形的面积是． 题型二十 根据正方形的性质与判定证明 明 【例20】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． (1)求证：四边形是矩形． (2)若还满足，则四边形的形状为 ． 【答案】(1)见解析 (2)正方形 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论； （2）根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【考点剖析】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键． 【变式】（24-25八年级下·江苏镇江·月考）在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且． (1)四边形如图1所示，四边形是______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；____（填“”或“”）； (2)四边形如图2所示，且，四边形是_____（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． 【答案】(1)菱形， (2)正方形，成立，理由见解析 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据轴对称的性质，得到，，，又因为，即可证明四边形是菱形，得到再证明，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理，即可得到与之间的数量关系； （2）根据一个角是直角的菱形是正方形即可判断四边形是正方形，过点P作，先根据平行线的性质，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，然后根据轴对称的性质得到，推出，最后利用三角形内角和定理和平角的性质，求出，即可得到与之间的数量关系； 【完整解答】（1）解：设、相交于点F， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：菱形， （2）解：正方形，成立，理由如下： 同理可证，四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 过点P作交于点M，交于点N， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； 题型二十一 （特殊）四边形中的动点问题 明 【例21】（24-25八年级下·四川达州·月考）如图，在四边形中，，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（）． (1)四边形的形状为 ； (2)当 时，点P运动到的角平分线上； (3)请用含t的代数式表示的面积S； (4)当时，直接写出点P到四边形相邻两边距离相等时t的值． 【答案】(1)矩形 (2)8 (3) (4)或或 【思路引导】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、角平分线定理、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识． （1）根据，可得四边形是矩形； （2）根据角平分线定义可得，得，进而可得的值； （3）根据题意分3种情况讨论：①当点在上运动时，②当点在上运动时，③当点在上运动时，分别用含的代数式表示的面积即可； （4）当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论：①当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，②当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，③当点在上且到与距离一样时． 【完整解答】（1）解： ， 四边形是矩形， 故答案为：矩形． （2）如图，作的角平分线交于， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ，解得． 当时，点运动到的角平分线上； 故答案为：； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点在上运动时， ，； ②当点在上运动时， ，； ③当点在上运动时， ，； 综上，； （4）解：当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论： ①当点在上，且点到与距离一样时， 点到边的距离为， 点到边的距离也为， 即， ，解得； ②当点在上，且到与距离一样时，如图，过作于点， 则，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ③当点在上，则到与距离一样时，如图，过点作于点， 设，则， ， ， 解得：， ， ． 综上所述：或或时，点到四边形相邻两边距离相等． 【变式】（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 【答案】①四边形是平行四边形，理由见详解② 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定和性质． 探究：①证明，由，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形是平行四边形； ②设运动时间为，由题意得，列出方程，据此求解即可； 【完整解答】解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②设运动时间为，四边形为平行四边形， ∴，，， 由题意得， ∴， 得． 题型二十二 四边形中的线段最值问题 明 【例22】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是 ． 【答案】1 【思路引导】首先作点M关于AC的对称点，连接P，则当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值．然后证明四边形ABN为平行四边形，即可求出答案． 【完整解答】解：作点M关于AC的对称点，连接P， ∵菱形ABCD关于AC对称，点M关于AC的对称点，点M是AB的中点， ∴点是AD的中点，MP＝P， ∴MP+NP＝P +NP， ∴当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值为线段N的长． 当点、P、N三点共线时， ∵点是AD的中点，点N是BC边上的中点， ∴，， ∵在菱形ABCD中， ∴ADBC，AD＝BC， ∴A BN，A＝BN， ∴四边形ANB是平行四边形， ∴N＝AB＝1， ∴MP+NP的最小值是1． 故答案为：1． 【考点剖析】本题考查了菱形的性质和轴对称，判断当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值为线段N的长是解决本题的关键． 【变式】如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是 ． 【答案】5 【思路引导】根据菱形的性质，作点关于的对称点，然后连接交于，此时的和最小，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到． 【完整解答】如图， 作点关于的对称点， 连接交于， 此时有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点， ∴是的中点， 又∵是边上的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：5． 【考点剖析】本题考查了将军饮马模型，实际为轴对称的实际应用，也考查了菱形和平行四边形的判定与性质，关键是作点关于的对称点． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【思路引导】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理和正方形的判定定理，平行四边形的判定定理，逐一判断即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟记各判定定理是解题的关键． 【完整解答】解：A、有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．20 【答案】B 【思路引导】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质．由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【完整解答】解：∵四边形是菱形，且其周长为40， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 故选：B． 3．（20-21八年级下·广西来宾·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（    ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题的关键． 根据三角形中位线定理和矩形的性质解题即可． 【完整解答】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵矩形， ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定知识点，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，并结合平行四边形的基本性质对每个选项进行逻辑推导． 需要结合平行四边形的性质，对每个选项进行分析，判断能否推出平行四边形是矩形． 【完整解答】解：A、在平行四边形中，，根据平行线性质，是恒成立的，这只是平行四边形的基本性质，不能判定它是矩形，不符合题意； B、在平行四边形中，，根据平行线性质，也是恒成立的，不能判定它是矩形，不符合题意； C、在平行四边形中，，∴．若，则可推出．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形是矩形，符合题意； D、在平行四边形中，本身就有对角相等的性质，即，这不能判定它是矩形，不符合题意． 故选：C． 5．（25-26八年级下·全国·周测）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由，可知四边形是平行四边形，再根据平行四边形邻角互补的性质求解的度数即可． 【完整解答】解：如图： ∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形． ． ． ， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是 米． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【完整解答】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， 米． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，直角中，，，过作，连接与相交于，若，则的大小是 度． 【答案】26 【思路引导】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质． 取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可推出，已知，则不难求得的度数． 【完整解答】解：如图，取的中点，连接． ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：26． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，E，F分别是的边AB，CD上的点．已知，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与三角形全等的判定，掌握利用平行四边形的性质得到全等条件，通过三角形全等证明线段相等是解题的关键． 要证明，可通过证明包含这两条线段的三角形全等来实现，先利用平行四边形的性质得到三角形全等的条件，再结合已知条件，用判定三角形全等，从而推出对应边相等． 【完整解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中： ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解答关键．先利用四边形是平行四边形，易证，进而得到，即可证明． 【完整解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，BF，CE，CF． (1)请你在①；②中选择一个作为条件，证明． (2)在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形BFCE是矩形．理由见解析 【思路引导】（1）根据中点的定义得出，再根据全等三角形的判定推出两三角形全等即可； （2）首先根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，再推出，结合对角线相等的平行四边形是矩形即可证明结论． 【完整解答】（1）解：选择①，证明：∵为的中点， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 或选择②，证明：∵为的中点， ∴． 在和中， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 理由如下：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 【考点剖析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【完整解答】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【完整解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD和矩形EFGH中，，，两矩形重叠部分为平行四边形，且点E与点D重合，则图中阴影部分的周长的最大值是（   ） A．17 B．15 C．14 D．12 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握运用勾股定理是解题的关键． 先证明是菱形，再用勾股定理求解即可． 【完整解答】解：如图，当点与点重合时，阴影部分的周长最大． ∵，，， ∴， ∴，． ∵四边形为平行四边形，， ∴为菱形． 设，则． 在中，，即， 解得，所以， ∴菱形的周长为． 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【完整解答】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 【答案】3s或6s或9s 【思路引导】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【完整解答】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质，证得； （2）由（1）的结论和中点的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，进而得到，由此可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，． 在和中， ． （2）证明：由（1）得， ，． 又，分别是，的中点， ，， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形． 【考点剖析】此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 8．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【思路引导】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得当时，四边形为平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）由题意可分：当点P在边上，当点P在边上，即，然后分类进行求解即可． 【完整解答】（1）解：当点P在边上，则有，所以， 在正方形中，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在边上， ∴， ∴， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在边上，则有，所以，此时四边形是梯形， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在边上，即，则有，如图， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴与的面积之和也为正方形的面积的一半， ∴， 解得：； 综上所述：当时，四边形的面积等于正方形的面积的一半． 9．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示：求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路引导】（1）先证四边形是平行四边形，再证出，根据菱形的判定得出即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明其是矩形，接着证明菱形是正方形，四边形是矩形，得到，然后推出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，最后证明，得出结论． 【完整解答】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定，正方形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，三角形全等的判定与性质，能综合运用以上知识点是解此题的关键． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在边BC的延长线上时，；当点D在边BC的反向延长线上时， (3)DF的长为2或10 【思路引导】（1）要证明，先利用两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，得到；再结合等腰三角形的性质，推出，从而得到；最后通过线段和的关系，结合完成证明； （2）当点在延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质证，通过线段的和差关系，分别推导的数量关系； （3）分三种位置情况，代入，结合（1）（2）的结论计算的长度． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想，掌握利用平行四边形和等腰三角形的性质推导线段关系，结合分类讨论解决多位置问题是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $