专题03菱形性质与判定复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年青岛版八年级数学下册

专题03菱形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记菱形定义：一组邻边相等的平行四边形，明确它是特殊的平行四边形。 2.掌握菱形 3 大核心性质：四条边都相等、对角线互相垂直且平分每组对角、兼具平行四边形所有性质。 3.熟练 3 种判定方法：定义法、对角线互相垂直的平行四边形、四条边都相等的四边形。 1.会用勾股定理 + 菱形性质，快速计算边长、对角线、面积。 2.能规范书写证明过程，精准判断 “平行四边形→菱形”“四边形→菱形” 的证明路径。 3.能解决折叠、动点、坐标系等综合题，体会 “化菱形为直角三角形” 的转化思想。 1.选择 / 填空题：秒杀性质 / 判定正误题，快速计算长度、角度、面积。 2.解答 / 证明题：规范步骤不丢分，拿下菱形判定、综合计算类考题。 3.易错点避雷：分清 “对角线互相垂直的四边形≠菱形”，避免概念混淆失分。 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题型03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与动点问题 题型13.菱形与坐标系综合 题型14.菱形与最值问题 解答题5题 知识点01:菱形的本质：特殊的平行四边形 1. 定义（课本核心） 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 从属关系：平行四边形 ⊃ 菱形 关键：在平行四边形基础上，*多了 “一组邻边相等”*这个限定条件 直观理解：把平行四边形的一组邻边 “拉” 到相等，就得到了菱形 2. 与平行四边形的关系 图形 相同点 不同点（菱形独有） 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 —— 菱形 同上 四条边都相等、对角线互相垂直且平分每组对角 ✨ 知识点02:菱形的三大核心性质（必考考点） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 隐藏结论：对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，可直接用勾股定理计算边长或对角线长度 知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:菱形的判定（满足条件 ⇒ 是菱形） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 高频易错点 & 解题技巧 1. 易错避雷 ❌ 错误：“对角线互相垂直的四边形是菱形” ✅ 正解：必须是对角线互相垂直的平行四边形才是菱形 ❌ 错误：“四条边相等的平行四边形是特殊菱形” ✅ 正解：四条边相等的平行四边形本身就是菱形，无需额外限定 ❌ 错误：“菱形的对角线相等” ✅ 正解：菱形对角线仅互相垂直，不相等（对角线相等是矩形的性质） 2. 解题技巧 性质→求值：求边长、角度、面积时，优先用 “四条边相等”“对角线垂直” 转化为直角三角形计算 判定→证明： 已知平行四边形：优先用 “一组邻边相等” 或 “对角线垂直” 判定 已知四边关系：直接用 “四条边相等” 判定 辅助线思路：连接对角线，将菱形问题转化为直角三角形或等腰三角形问题 题型01.利用菱形的性质求角度 【典例】如图，菱形中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） . A． B． C． D． 题型02.利用菱形的性质求线段长 【典例】如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．若，，则菱形的边长是__________． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为__________． 【跟踪专练2】如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论： ①当时，． ②当点落在上时，四边形是菱形． ③在点运动的过程中，线段的最小值为． ④连接，则的面积等于 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03.利用菱形的性质求面积 【典例】如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（   ） A．6 B．5 C． D．3 【跟踪专练1】如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D． 题型04.利用菱形的性质证明 【典例】如图、菱形的对角线相交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A．平分 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是__________．（填序号） 【跟踪专练2】如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型05.添条件使四边形是菱形 【典例】如图，添加下列条件仍然不能使成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【跟踪专练2】如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 题型06.证明四边形是菱形 【典例】对角线_____的四边形是菱形． 【跟踪专练1】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，如果直尺的宽度是，两把直尺所夹的锐角为，那么这个四边形的周长为______． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 【典例】按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【跟踪专练1】如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【跟踪专练2】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 【典例】如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【跟踪专练1】如图，交于点E，交于点F，．若，则四边形的周长为______． 【跟踪专练2】如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 【典例】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【跟踪专练1】如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【跟踪专练2】如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 题型10.菱形与折叠问题 【典例】如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，连接交于点，点分别在边上，则的值为______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，点E是对角线上任意一点，连接，将线段沿着直线翻折，得到线段，若是等腰三角形，则E，F两点间的距离不可能为（   ） A．6 B． C．3 D． 【跟踪专练2】如图，四边形为平行四边形，在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点对应点为． (1)若为边的中点，折痕过点，连接，求证：； (2)如图，若四边形为菱形，，折痕交于，点落在上且，，求的长． 题型11.菱形与动点问题 【典例】如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，_____，的长度存在最小值为______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【跟踪专练2】如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型13.菱形与坐标系综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上．若点C的坐标为，则点A的坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，四边形的顶点的坐标是，，平分，点的横坐标是3，，点是对角线中点，点是射线上的一个动点，点是线段上的一个动点，且有，以，为边构造． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的顶点落在四边形的边所在的直线上时，求的长度； (3)当时，求点的坐标． 题型14.菱形与最值问题 【典例】如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【跟踪专练2】已知中，对角线、相交于点O，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，过点C作于点，连接，过点A作交于点E，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点P是直线上的一个动点，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【解答题】 1．如图，中，点，分别在，上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形为菱形，，，则的面积为__________ 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 3．如图，在Rt中，，为边的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 4．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 5．如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03菱形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记菱形定义：一组邻边相等的平行四边形，明确它是特殊的平行四边形。 2.掌握菱形 3 大核心性质：四条边都相等、对角线互相垂直且平分每组对角、兼具平行四边形所有性质。 3.熟练 3 种判定方法：定义法、对角线互相垂直的平行四边形、四条边都相等的四边形。 1.会用勾股定理 + 菱形性质，快速计算边长、对角线、面积。 2.能规范书写证明过程，精准判断 “平行四边形→菱形”“四边形→菱形” 的证明路径。 3.能解决折叠、动点、坐标系等综合题，体会 “化菱形为直角三角形” 的转化思想。 1.选择 / 填空题：秒杀性质 / 判定正误题，快速计算长度、角度、面积。 2.解答 / 证明题：规范步骤不丢分，拿下菱形判定、综合计算类考题。 3.易错点避雷：分清 “对角线互相垂直的四边形≠菱形”，避免概念混淆失分。 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题型03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与动点问题 题型13.菱形与坐标系综合 题型14.菱形与最值问题 解答题5题 知识点01:菱形的本质：特殊的平行四边形 1. 定义（课本核心） 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 从属关系：平行四边形 ⊃ 菱形 关键：在平行四边形基础上，*多了 “一组邻边相等”*这个限定条件 直观理解：把平行四边形的一组邻边 “拉” 到相等，就得到了菱形 2. 与平行四边形的关系 图形 相同点 不同点（菱形独有） 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 —— 菱形 同上 四条边都相等、对角线互相垂直且平分每组对角 ✨ 知识点02:菱形的三大核心性质（必考考点） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 隐藏结论：对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，可直接用勾股定理计算边长或对角线长度 知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:菱形的判定（满足条件 ⇒ 是菱形） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 高频易错点 & 解题技巧 1. 易错避雷 ❌ 错误：“对角线互相垂直的四边形是菱形” ✅ 正解：必须是对角线互相垂直的平行四边形才是菱形 ❌ 错误：“四条边相等的平行四边形是特殊菱形” ✅ 正解：四条边相等的平行四边形本身就是菱形，无需额外限定 ❌ 错误：“菱形的对角线相等” ✅ 正解：菱形对角线仅互相垂直，不相等（对角线相等是矩形的性质） 2. 解题技巧 性质→求值：求边长、角度、面积时，优先用 “四条边相等”“对角线垂直” 转化为直角三角形计算 判定→证明： 已知平行四边形：优先用 “一组邻边相等” 或 “对角线垂直” 判定 已知四边关系：直接用 “四条边相等” 判定 辅助线思路：连接对角线，将菱形问题转化为直角三角形或等腰三角形问题 题型01.利用菱形的性质求角度 【典例】如图，菱形中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得邻角互补，求出的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】由菱形的性质可得，，证明，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） . A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 由菱形的性质可得、，可得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 题型02.利用菱形的性质求线段长 【典例】如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．若，，则菱形的边长是__________． 【答案】2.5 【分析】先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． 在中，． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为__________． 【答案】 【分析】先利用菱形对角线性质和面积公式求出的长度，再根据直角三角形斜边中线定理得到的长度． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点， ，， ， ， 菱形的面积为， ， 解得， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论： ①当时，． ②当点落在上时，四边形是菱形． ③在点运动的过程中，线段的最小值为． ④连接，则的面积等于 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，由菱形的性质可得，则，由折叠的性质可得， 进而得到，因此，故①正确；对于②，容易判断当点落在上时，四边形与菱形重合，故②正确；对于③，由可知，，仅当点、、三点重合时取等号，因此的最小值为2，故③正确；对于④，设与的交点为，由可得，故④错误． 【详解】解：对于①：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，故①正确； 对于②：由折叠的性质可得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴当点落在上时，点与点重合， 又∵菱形关于直线对称， ∴此时点与点重合， ∴四边形即菱形，故②正确； 对于③：由①可知，， ∴为钝角， ∴，仅当点、、三点重合时取等号， ∴的最小值为2，故③正确； 对于④：如图，设与的交点为， 由折叠的性质可得，， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有3个． 题型03.利用菱形的性质求面积 【典例】如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（   ） A．6 B．5 C． D．3 【答案】A 【分析】根据菱形的面积公式求出的长，利用菱形对角线互相平分得出为中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 菱形的面积，， ， ， ， ， 在中，为的中点， ． 【跟踪专练1】如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________． 【答案】/平方厘米 【分析】首先根据长方形对边平行判定四边形为平行四边形，再利用两条纸条宽度相等证明该平行四边形邻边相等，从而判定为菱形，最后在直角三角形中利用三角函数求出边长，利用底乘高计算面积，即可求解． 【详解】解：由题意可知，两条长方形纸条的对边分别平行 ， 四边形是平行四边形，过点作于点，作于点 由题意得，纸条宽度相等，即 平行四边形是菱形 在中，，， 四边形的面积为 ． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O，， ∴菱形的面积为， 题型04.利用菱形的性质证明 【典例】如图、菱形的对角线相交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，进行判断即可. 【详解】解：菱形的对角线相交于点， 则平分，，，不能得到. 故只有C选项符合题意. 【跟踪专练1】如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．根据，，可得四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线平分，可得，由此可推出，再结合菱形的判定可知平行四边形即为菱形，进而判断①说法错误； 根据菱形的性质，可得、上一些对应条件，则可得出两三角形是否全等，判断②说法正确； 根据只有当为中点，为中点时，比较四边形的面积与的面积的关系，进而得到③说法错误； 根据菱形性质可得，，据此判断④说法正确，从而完成解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 同理可得四边形是菱形， 即有3个菱形，菱形、菱形、菱形， ①说法错误； 四边形是菱形， ， 在和中，， ， ②说法正确； 只有当为中点，为中点时，四边形的面积等于的面积的一半， ③说法错误； 易证四边形、四边形是菱形，四边形、四边形是平行四边形， ， ， 同理， 四边形的周长=四边形的周长， ④说法正确； 故答案为：②④． 【跟踪专练2】如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形和都是菱形， ，，，，，． ， ，为等边三角形． 为等边三角形，，． ，， ． ∵点是的中点， ． ． ． ． ． 题型05.添条件使四边形是菱形 【典例】如图，添加下列条件仍然不能使成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、菱形的定义和判定定理等知识，正确理解菱形的定义与判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．四边形是平行四边形，且， 为菱形，故A不符合题意； B．∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ， 为菱形，故B不符合题意， C．四边形是平行四边形，且， 为菱形，故C不符合题意； D．四边形是平行四边形，且， 为矩形，但不一定是菱形，故D符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【答案】或或或或或或（只需写出一个条件即可） 【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，通过添加条件证得，由一组对边相互平行且相等，从而证得四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 同理，添加或，则，即四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，． 在和中， ． ． ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 【跟踪专练2】如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项条件，结合菱形判定依据，逐一分析能否判定平行四边形为菱形． 【详解】解：A、∵是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，是平行四边形． ∴． ∵， ∴是菱形，不符合题意． B、∵， ∴． ∵， ∴只能说明是的角平分线，无法推出的邻边相等或对角线垂直，不能判定其为菱形，符合题意． C、，直接根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定是菱形，不符合题意． D、由三角形外角性质，， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴是菱形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定定理、三角形外角性质，解题关键是准确区分 “能判定菱形的条件” 和 “不能判定菱形的条件”，熟练将角的关系转化为边的关系． 题型06.证明四边形是菱形 【典例】对角线_____的四边形是菱形． 【答案】 互相垂直平分 【分析】本题考查菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理，进行解题，即可． 【详解】解：菱形的判定：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形． 【跟踪专练1】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形； B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形； C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形； D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形； 则只有选项C不一定是菱形． 【跟踪专练2】如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，如果直尺的宽度是，两把直尺所夹的锐角为，那么这个四边形的周长为______． 【答案】 【分析】先证四边形是平行四边形，再证，则平行四边形是菱形，得，然后由等腰直角三角形的性质求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于，于． 两直尺的宽度相等为， ． ，， 四边形是平行四边形， 又平行四边形的面积， ， 平行四边形为菱形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 菱形的周长． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 【典例】按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 【跟踪专练1】如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 【跟踪专练2】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 【答案】A 【分析】先证四边形EGFH是平行四边形，再证四边形EGFH是菱形即可，由，，可求，利用平角定义可求，于是，利用菱形性质求，从而求出． 【详解】解：E、G分别是AD、BD 的中点，F H分别是BC、AC的中点， ， ， 同理：， 四边形EGFH是平行四边形， AB=CD， GE=GF， 四边形EGFH是菱形 ∠ABD= 20°，∠BDC= 70°，， ，， ， ， ， FE平分 ，    故选:： A． 【点睛】本题考查菱形判断与性质，求菱形内角，掌握菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键． 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 【典例】如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，则重叠部分为平行四边形，由于高都是所以这个平行四边是菱形，进而计算其边长可得周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形平行四边形， ∴， 过点A作于点E，作于点F， ∴， ∴，, ∴平行四边是菱形， ∴重合部分四边形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解决此题的关键是掌握对菱形的性质和判定． 【跟踪专练1】如图，交于点E，交于点F，．若，则四边形的周长为______． 【答案】40 【分析】由，，判定四边形是平行四边形，由平行线的性质推出，得到，推出，判定平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴四边形的周长为． 【跟踪专练2】如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据作图步骤得出四边形为菱形，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：设直线与交于点， 由作图步骤可知，、， ， 四边形是菱形， 、、， 在中，由勾股定理得：， ． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 【典例】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【分析】证明四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，，点到和的距离相等，均等于纸条的宽， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的面积纸条的宽纸条的宽， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴四边形的面积为. 【跟踪专练1】如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 【跟踪专练2】如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 题型10.菱形与折叠问题 【典例】如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，连接交于点，点分别在边上，则的值为______． 【答案】 【分析】作，交延长线于，由菱形性质可得，，，则，为等边三角形，所以，求出，设，则通过勾股定理得，解得，然后分别求出，，再代入即可求解． 【详解】解：作，交延长线于，连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 设， ∵菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，连接交于点，点分别在边上， ∴，垂直平分，， 在中，，解得， 在，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，点E是对角线上任意一点，连接，将线段沿着直线翻折，得到线段，若是等腰三角形，则E，F两点间的距离不可能为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质和折叠的性质可知，，，然后分三种情况讨论：、、，再根据直角三角形的性质和勾股定理分别求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，连接，交于点M，如图所示， ∵将线段沿着直线翻折，得到线段， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时，如图所示， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴； 当时，此时交的延长线于点M，如图所示， 此时点E与点C重合，， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，A选项符合题意． 【跟踪专练2】如图，四边形为平行四边形，在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点对应点为． (1)若为边的中点，折痕过点，连接，求证：； (2)如图，若四边形为菱形，，折痕交于，点落在上且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查图形翻折的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，三角形中位线定理，特殊角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点． （1）连接交于点，根据折叠的性质得到垂直平分，继而证明是的中位线，从而得证结论． （2）根据四边形是菱形，得到是等边三角形，过点作于点，设，根据特殊角的直角三角形的性质，以及勾股定理得到的长度，进而得到的长度． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， 由折叠可知：垂直平分，    是的中点， ∵点为边的中点， 是的中位线， ， ； （2）解：， ， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， 如图，过点作于点，则， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ，解得：， ． 题型11.菱形与动点问题 【典例】如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，_____，的长度存在最小值为______． 【答案】 / . 【分析】根据三角形全等的判定和性质，菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，垂线段最短求解即可； 【详解】解：，， ， ， ， 取的中点Q，连接， M为中点， ， ∵四边形是菱形， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 此时也取得最小值， 此时； 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小． 【详解】在菱形中，， ， 为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， 点为的中点， ，， ， 要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小， 当时，为等边三角形， ， ， 则， 即线段长度的最小值为． 【跟踪专练2】如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得到，，进而证明和均为等边三角形，得到，，证明，即可得到； （2）连接、交于点O，连接并延长，交边于点G即可． 【详解】（1）求证：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图所示，点即为所求： 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型13.菱形与坐标系综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上．若点C的坐标为，则点A的坐标为__________． 【答案】 【分析】延长至点，勾股定理求出的长 ，根据菱形的性质，进行求解即可． 【详解】解：延长至点， ∵菱形， ∴， ∴轴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，四边形的顶点的坐标是，，平分，点的横坐标是3，，点是对角线中点，点是射线上的一个动点，点是线段上的一个动点，且有，以，为边构造． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的顶点落在四边形的边所在的直线上时，求的长度； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)3或6 (3) 【分析】（1）延长交y轴于点K，根据，可得轴，，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，根据平分，可得到，从而得到，再由点的坐标是，可得，即可求证； （2）连接，则交于点D，由（1）可得到四边形是菱形，证明是等边三角形，可得，，，然后分两种情况：当点G在上时，当点G在直线上时，再结合等边三角形的判定和性质，即可求解； （3）过点D作轴于点M，由（2）得：，，，可得，，从而得到，可求出点，设，则，则，，再由直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，，，，可得到点，，进而得到点D先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点F的位置，再结合四边形为平行四边形，点E先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点G的位置，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交y轴于点K， ∵， ∴轴，， ∵点的横坐标是3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，则交于点D， 由（1）得：四边形是平行四边形，，， ∴四边形是菱形， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 如图，当点G在上时，则， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 如图，当点G在直线上时，此时， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长度为3或6； （3）解：如图，过点D作轴于点M， 由（2）得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， 设，则，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴点，， ∴点D先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点F的位置， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴点E先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点G的位置， ∴点G的坐标为，即． 题型14.菱形与最值问题 【典例】如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接交于点O，延长交于点N，连接，根据菱形的性质以及勾股定理可得，证明，可得，从而得到为的中位线，进而得到当最小时，最小，当时，最小，此时点N与点O重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，延长交于点N，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小，此时点N与点O重合， 即的最小值为15， ∴的最小为． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【跟踪专练2】已知中，对角线、相交于点O，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，过点C作于点，连接，过点A作交于点E，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点P是直线上的一个动点，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)当的值最小时，的面积是 【分析】（1）先证明是菱形，可得，可根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）过点C作，交于点G，先证明，得到，再证明，即可证明结论； （3）连接，，先证明，可得，所以点在的平分线上，因此可根据轴对称的性质推得，所以当点在线段上时，的值最小，最小值为线段的长，再求出此时对应的的长，即可求得答案． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， 是菱形， ，，， ， ； （2）证明：过点C作，交于点G， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接，， 由（1）知，是菱形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点在的平分线上， 与关于直线轴对称， ， ， 当点在线段上时，的值最小，最小值为线段的长， 此时，， ， ， ， ， 解得， ， 的面积为． 【点睛】通过添加辅助线构造全等三角形来转化线段是常用的解题方法． 【解答题】 1．如图，中，点，分别在，上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形为菱形，，，则的面积为__________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据判定定理找出和平行且相等即可． （2）根据可得是等边三角形，做辅助线的高，求出高即可得面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过点A作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由，得出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可知，即可得出四边形是矩形． （2）由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在Rt中，，为边的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可得的长，从而可得的长，根据菱形性质得出，根据D为边的中点得出，从而得出，即可得出，进而求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，D为边的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∵四边形为菱形， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理是解题的关键． （1）先证明，利用证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的长为． 5．如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，结合，即可证明； （2）由（1）得，推出四边形是菱形，，得到，求出、，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又， ． （2）解：由（1）得， 四边形是菱形，， 在中，， ， ， ， ∴ ， ，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $