专题02矩形的性质与判定复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年青岛版八年级数学下册

专题02矩形的性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记矩形定义：有一个角是直角的平行四边形，明确它是特殊的平行四边形。 2.掌握矩形 3 大性质：四个角都是直角、对角线相等、兼具平行四边形所有性质。 3.熟练 3 种判定方法：定义法、对角线相等的平行四边形、三个角是直角的四边形。 1.会用勾股定理 + 矩形性质，快速计算边长、对角线、面积。 2.能规范书写证明过程，精准判断 “平行四边形→矩形”“四边形→矩形” 的证明路径。 3.能解决折叠、动点、坐标系等综合题，体会 “化矩形为直角三角形” 的转化思想。 1.选择 / 填空题：秒杀性质 / 判定正误题，快速计算长度、角度。 2.解答 / 证明题：规范步骤不丢分，拿下矩形判定、综合计算类考题。 3.易错点避雷：分清 “对角线相等的四边形≠矩形”，避免概念混淆失分。 题型01.矩形性质理解 题型02.由矩形的性质求角度 题型03.由矩形的性质求线段长 题型04.由矩形的性质求面积 题型05.由矩形的性质证明 题型06.斜边的中线等于斜边的一半 题型07.求矩形在坐标系中的坐标 题型08.矩形与折叠问题 题型09.矩形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.证明四边形是矩形 题型12.由矩形的性质与判定求角度 题型13.由矩形的性质与判定求线段长 题型14.由矩形的性质与判定求面积 解答题6题 知识点01:矩形的本质：特殊的平行四边形 1. 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 从属关系：平行四边形 ⊃ 矩形 关键：在平行四边形基础上，*多了 “一个直角”* 这个限定条件 2. 与平行四边形的关系 图形 相同点 不同点（矩形独有） 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 —— 矩形 同上 四个角都是直角、 知识点02:矩形的三大核心性质（必考考点） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的三大判定定理（解题神器） 想要证明一个四边形是矩形，有 3 条高效路径： 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:矩形的计算与面积公式 1. 周长公式 C=2(a+b) · 与平行四边形周长公式一致，本质是 “四边之和” 2. 面积公式 S=ab 知识点05:矩形中常用结论 1.矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形 2.若矩形对角线夹角为 60°/120°，则必出现等边三角形 3.直角三角形推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线相等且平分推导而来） 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 高频易错点 & 解题技巧 1. 易错避雷 ❌ 错误：“对角线相等的四边形是矩形” ✅ 正解：必须是对角线相等的平行四边形才是矩形 ❌ 错误：“一组对边平行且有一个直角的四边形是矩形” ✅ 正解：需先证明是平行四边形，再证直角 2. 解题技巧 性质→求值：求边长、角度、对角线时，优先用 “四个直角”“对角线相等” 转化为直角三角形计算 判定→证明： 已知平行四边形：优先用 “一个直角” 或 “对角线相等” 判定 已知多个直角：直接用 “三个直角” 判定 辅助线思路：连接对角线，将矩形问题转化为直角三角形或等腰三角形问题 题型01.矩形性质理解 【典例】矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【跟踪专练1】将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是__________． 【跟踪专练2】下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 题型02.由矩形的性质求角度 【典例】如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么__________． 题型03.由矩形的性质求线段长 【典例】如图，矩形的对角线，相交于点，过点作于点，若，，则的长为（　　） A． B． C．4 D．3 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，它的周长为20，E是的中点，连接，则的长为___． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 题型04.由矩形的性质求面积 【典例】如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是______． 【跟踪专练2】如图，是矩形内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上．其中正确的结论有(　  ) A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 题型05.由矩形的性质证明 【典例】如图，矩形的对角线，相交于点O，，，则矩形的对角线长为_____． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，过点A、C作相距为2的平行线段，，分别交，于点E，F，则的长是________________． 题型06.斜边的中线等于斜边的一半 【典例】如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 【跟踪专练2】如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 题型07.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【跟踪专练1】如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【跟踪专练2】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    题型08.矩形与折叠问题 【典例】如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【跟踪专练2】如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在线段上．若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 题型09.矩形的判定定理理解 【典例】下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 【跟踪专练1】当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的矩形，判断的依据是___________． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的是（    ） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 题型10.添条件使四边形是矩形 【典例】我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 题型11.证明四边形是矩形 【典例】已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲的作图依据是：__________________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，，，．若，则的长为____________． 【跟踪专练2】在中，对角线，交于点O，E是边上的一个动点（不与A，B重合）．连接并延长，交于点F，连接，．下列四个结论中：①四边形始终是平行四边形；②若，则存在点E，使得四边形是矩形；③若，则存在点E，使得四边形是菱形；④若，则存在点E，使得四边形是正方形．正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型12.由矩形的性质与判定求角度 【典例】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【跟踪专练1】如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为______． 【跟踪专练2】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 题型13.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，内的某一点P到这个角两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型14.由矩形的性质与判定求面积 【典例】矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为_______． 【跟踪专练2】如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【解答题】 1．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的面积． 2．如下图，在矩形中，，，G，H分别是，上的中点，E，F是对角线上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若四边形为矩形时，求t的值 3．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 4．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 5．如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 6．如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02矩形的性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记矩形定义：有一个角是直角的平行四边形，明确它是特殊的平行四边形。 2.掌握矩形 3 大性质：四个角都是直角、对角线相等、兼具平行四边形所有性质。 3.熟练 3 种判定方法：定义法、对角线相等的平行四边形、三个角是直角的四边形。 1.会用勾股定理 + 矩形性质，快速计算边长、对角线、面积。 2.能规范书写证明过程，精准判断 “平行四边形→矩形”“四边形→矩形” 的证明路径。 3.能解决折叠、动点、坐标系等综合题，体会 “化矩形为直角三角形” 的转化思想。 1.选择 / 填空题：秒杀性质 / 判定正误题，快速计算长度、角度。 2.解答 / 证明题：规范步骤不丢分，拿下矩形判定、综合计算类考题。 3.易错点避雷：分清 “对角线相等的四边形≠矩形”，避免概念混淆失分。 题型01.矩形性质理解 题型02.由矩形的性质求角度 题型03.由矩形的性质求线段长 题型04.由矩形的性质求面积 题型05.由矩形的性质证明 题型06.斜边的中线等于斜边的一半 题型07.求矩形在坐标系中的坐标 题型08.矩形与折叠问题 题型09.矩形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.证明四边形是矩形 题型12.由矩形的性质与判定求角度 题型13.由矩形的性质与判定求线段长 题型14.由矩形的性质与判定求面积 解答题6题 知识点01:矩形的本质：特殊的平行四边形 1. 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 从属关系：平行四边形 ⊃ 矩形 关键：在平行四边形基础上，*多了 “一个直角”* 这个限定条件 2. 与平行四边形的关系 图形 相同点 不同点（矩形独有） 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 —— 矩形 同上 四个角都是直角、 知识点02:矩形的三大核心性质（必考考点） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的三大判定定理（解题神器） 想要证明一个四边形是矩形，有 3 条高效路径： 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:矩形的计算与面积公式 1. 周长公式 C=2(a+b) · 与平行四边形周长公式一致，本质是 “四边之和” 2. 面积公式 S=ab 知识点05:矩形中常用结论 1.矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形 2.若矩形对角线夹角为 60°/120°，则必出现等边三角形 3.直角三角形推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线相等且平分推导而来） 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 高频易错点 & 解题技巧 1. 易错避雷 ❌ 错误：“对角线相等的四边形是矩形” ✅ 正解：必须是对角线相等的平行四边形才是矩形 ❌ 错误：“一组对边平行且有一个直角的四边形是矩形” ✅ 正解：需先证明是平行四边形，再证直角 2. 解题技巧 性质→求值：求边长、角度、对角线时，优先用 “四个直角”“对角线相等” 转化为直角三角形计算 判定→证明： 已知平行四边形：优先用 “一个直角” 或 “对角线相等” 判定 已知多个直角：直接用 “三个直角” 判定 辅助线思路：连接对角线，将矩形问题转化为直角三角形或等腰三角形问题 题型01.矩形性质理解 【典例】矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：∵平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，额外具有四个角为直角，对角线相等的特有性质， ∴选项B，C，D中的性质都是矩形和一般平行四边形共有的，只有选项A的对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质. 【跟踪专练1】将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是__________． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片． 本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开矩形，则， ∵矩形对边平行相等， ∴ ∴． 故答案为：10． 【跟踪专练2】下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形． ∴矩形一定满足对边平行且相等，四个内角都是直角． ∴，，． 矩形的邻边不一定相等，只有特殊的矩形（正方形）才满足邻边相等，因此选项A不一定成立． 题型02.由矩形的性质求角度 【典例】如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 【答案】/55度 【分析】首先由矩形的性质得到，，由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么__________． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，可证明是等边三角形，得到，证明是等腰直角三角形，推出，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型03.由矩形的性质求线段长 【典例】如图，矩形的对角线，相交于点，过点作于点，若，，则的长为（　　） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】勾股定理求出的长，求出的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：∵矩形，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴. 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，它的周长为20，E是的中点，连接，则的长为___． 【答案】5 【分析】根据矩形的性质以及已知条件可得，进而求得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，它的周长为 20 ， ， ∵是的中点． ， 在中，． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先说明是直角三角形，进而得出四边形是矩形，可知当时，最小，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵为的中点， ∴点M在上，且， ∴当最小时，最小， 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短． ， 即， ∴． 题型04.由矩形的性质求面积 【典例】如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是______． 【答案】48 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积， 根据第二个矩形左上角的长方形的面积求解即可． 【详解】解：如图， 由题意和图可得：， ∴， 故答案为：48． 【跟踪专练2】如图，是矩形内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上．其中正确的结论有(　  ) A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据矩形的对边相等可得，，设点到、、、的距离分别为、、、，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三角形的面积公式即可判断③；根据已知进行变形，求出，即可判断④． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点到、、、的距离分别为、、、， ∴， 不能得出， 故①错误，②正确； 根据，能得出，不能推出，即不能推出，故③错误； ∵，， ∴， ∴ ∴点一定在对角线上，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 题型05.由矩形的性质证明 【典例】如图，矩形的对角线，相交于点O，，，则矩形的对角线长为_____． 【答案】8 【分析】根据矩形的性质推出，，结合已知，证明为等边三角形，得出，根据得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，过点A、C作相距为2的平行线段，，分别交，于点E，F，则的长是________________． 【答案】 【分析】过点F作于点H，根据矩形的性质和平行线的性质得，，证得，得，证得四边形是平行四边形，进而证得四边形是菱形，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点F作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形性质的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及解一元一次方程，熟练掌握相关定理是解题的关键． 题型06.斜边的中线等于斜边的一半 【典例】如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 【答案】 【分析】由菱形的面积公式可得的长，由菱形的性质可得为的中点，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， 在中，为的中点， ． 【跟踪专练2】如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】利用中位线的性质得到的长，即可求出的长，再由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵为的中点， ∴． 题型07.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 【跟踪专练1】如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 题型08.矩形与折叠问题 【典例】如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出值，则即可求得； 【详解】解：由折叠可知： ∵矩形中， ∴ ∴ 故选：B ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 /0.875 【分析】利用矩形的性质得，利用折叠的性质可得，当与重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得； 连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 当与重合时，由折叠可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当四边形为正方形时，如图，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在线段上．若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由折叠的性质得到，从而得出,，，，，利用矩形的性质推出，通过等边对等角得到，进而表示出，最终由勾股定理列方程求得结果． 【详解】解：∵是由沿着对折得到的， ∴， ∴,，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 题型09.矩形的判定定理理解 【典例】下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【详解】A、B、C选项的说法均正确． 对于D选项，只有特殊的矩形（正方形）的对角线互相垂直且平分，其他的矩形的对角线互相平分但不垂直． 【跟踪专练1】当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的矩形，判断的依据是___________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形为矩形 【分析】因为闸门抬起变平放时，平行四边形的一个内角变为直角，所以可依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来判断． 【详解】解：∵停车场闸门的结构对边始终平行，本身是平行四边形； ∴闸门放平后，平行四边形出现了一个直角，根据矩形的判定定理，此时该平行四边形成为矩形． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的是（    ） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定定理；根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，而其他选项均不符合矩形的定义或性质. 【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C符合题意； D、对边相等是平行四边形的性质，平行四边形的对边都相等，所以对边相等不能作为判定平行四边形是矩形的条件，故D不符合题意. 故选：C. 题型10.添条件使四边形是矩形 【典例】我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当时，变成“矩形”， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： 四边形 是平行四边形， 若添加条件， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形 是矩形． 故答案为 （答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平行四边形中，证出有一个直角或对角线相等，即可判定为矩形，据此对选项进行判断． 【详解】解：选项：，无法推出或有直角，故无法证明平行四边形是矩形； 选项：，对角线相等，可证平行四边形是矩形； 选项：，则，可证平行四边形是矩形； 选项：由，则，又，，则，可证平行四边形是矩形． 题型11.证明四边形是矩形 【典例】已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲的作图依据是：__________________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查矩形的判定，根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理解答． 【详解】解：由作图可知：,, 则四边形是平行四边形， 又, 则平行四边形是矩形， 则甲的作图依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，，，．若，则的长为____________． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形与矩形的判定，勾股定理，掌握利用中位线定理判定平行四边形，结合对角线相等判定矩形，再用勾股定理计算边长是解题的关键． 利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，结合判定它为矩形，再在直角三角形中用勾股定理求的长． 【详解】解：，，分别是，，的中点， ，，，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：5． 【跟踪专练2】在中，对角线，交于点O，E是边上的一个动点（不与A，B重合）．连接并延长，交于点F，连接，．下列四个结论中：①四边形始终是平行四边形；②若，则存在点E，使得四边形是矩形；③若，则存在点E，使得四边形是菱形；④若，则存在点E，使得四边形是正方形．正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由于经过平行四边形的中心O，故四边形一定也是平行四边形，这可以通过证明与相等来说明．然后只要让平行四边形再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形． 【详解】解：①如图1， ∵四边形为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 即E在上任意位置（不与A、B重合）时，四边形恒为平行四边形，故①正确； ②如图2， 当时， ∵， ∴， ∴四边形不可能是矩形，故②错误． ③如图3， 若，当时，四边形为菱形，故③正确． ④如图4 ， 当时， 如果，就不存在点E在边上，使得四边形为正方形，故④错误． 综上分析可知，正确的有2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 题型12.由矩形的性质与判定求角度 【典例】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：点D，E，F分别是的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 故答案：． 【跟踪专练2】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，多边形的内角和，矩形的性质，熟记性质并考虑利用四边形的内角和定理求解是解题的关键． 根据对顶角相等求出，再根据四边形的内角和等于求出，然后求出，最后根据旋转的性质可得即为旋转角． 【详解】解：∵矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵矩形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：D． 题型13.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，，内的某一点P到这个角两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________． 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是通过直角条件判定四边形为矩形，再利用矩形对边相等的性质，将周长转化为已知距离和的倍． 先判断四边形的形状，再结合矩形性质与已知条件求解周长。观察图形中各角均为直角，可确定四边形为矩形；利用矩形对边相等的性质，结合点到角两边距离之和的条件，进而计算周长． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，． ， ． ∴四边形周长 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 题型14.由矩形的性质与判定求面积 【典例】矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据题意可得、为等边三角形，结合E、F为的中点可推出四边形为矩形，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴、为等边三角形， ∴， ∵E、F为的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴ ∴四边形为矩形， 又， ∴ ∴，， ∴四边形的面积为：。 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 【解答题】 1．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，即证四边形是矩形； （2）根据勾股定理求得，根据平分，以及得出得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形 ，    平分 ， 的面积． 2．如下图，在矩形中，，，G，H分别是，上的中点，E，F是对角线上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若四边形为矩形时，求t的值 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）矩形中，可得，，则，进而证明，由，即可证明； （2）由，可得，，可得，证明，从而可得结论； （3）连接，证明四边形是矩形，可得，求解，分为当点E，F相遇前，当点E，F相遇后，逐步分析解答即可； 【详解】（1）证明：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 如图1，当点E，F相遇前， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， 解得； 如图2，当点E，F相遇后， ∵四边形是矩形， 又∵，， ∴， 解得， 综上所述，四边形为矩形时，或； 3．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 4．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可； （2）过点作交的延长线于点，则，根据菱形的性质和推出和都是等边三角形，得出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，最后根据勾股定理求解和即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：过点作交的延长线于点，则， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴的长是． 5．如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性得到，，然后根据矩形的性质求解； （2）设，表示出，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求出，过点G作于点I，然后利用等面积法求出，得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）首先表示出，，得到，由折叠得，，，然后利用勾股定理得到，整理得到，然后分别当点D和点C重合和点E和点A重合两种情况讨论，分别求出的长度，然后求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴，； （2）解：设 ∴ 由折叠得，，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴，， ∴， 如图，过点G作于点I， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴； （3）解：∵，设， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∵ ∴ ∴ 整理得，； 如图，当点D和点C重合时， 由折叠得， ∴ ∴的最大值为，即x的最大值为； 如图，当点E和点A重合时，点D，H，T重合， 由折叠得， ∴ ∴的最小值为4，即x的最小值为4， ∴ 综上所述，． 6．如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，，然后根据角平分线的定义得到， ，进而得到，根据三个角都是直角的四边形是矩形即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，然后根据矩形的性质得到，然后根据勾股定理求出长解答即可； （3）取的中点即可，连接与交于点，根据矩形的对角线互相平分即可得解． 【详解】（1）证明：，是的角平分线， ，，， 是的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， ， 四边形是矩形， ，， ． （3）解：如图所示，连接与交于点，连接，则即为所求． 四边形是矩形， ，即是的中点， 是的中线， 平分面积． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $