专题01四边形与平行四边形复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年青岛版八年级数学下册

专题01四边形与平行四边形复习讲义 能力目标 知识目标 应试目标 1.掌握多边形的概念，熟记内角和、外角和公式。 2.理解平行四边形定义，掌握性质与判定定理。 1.会用公式计算多边形的边数、内（外）角度数。 2.能运用平行四边形性质进行边长、角度、线段计算。 3.能选用恰当方法证明四边形是平行四边形。 1.多边形计算、平行四边形基础题不丢分。 2.性质与判定不混淆，几何推理步骤规范。 3.熟练解决四边形综合计算与证明题。 题型01.四边形的不稳定性 题型02.等腰梯形的定义 题型03.直角梯形的定义 题型04.利用平行四边形的性质求解 题型05.利用平行四边形的性质证明 题型06.平行四边形性质的应用 题型07求平行线间的距离 题型08.利用平行线间距离解决问题 题型09.判断能否构成平行四边形 题型10添条件成为平行四边形. 题型11.平行四边形计数找点问题 题型12.证明四边形是平行四边形 题型13.由平行四边形性质与判定求解 题型14.由平行四边形性质与判定证明 题型15.平行四边形性质与判定的应用 题型16.三角形中位线求解问题 题型17.三角形中位线证明问题 题型18.三角形中位线的实际应用 解答题11题 知识点01:四边形的不稳定性 定义：四边形的边长确定后,其形状和大小仍可以改变,这就是四边形的不稳定性。 对比：三角形具有稳定性，边长确定后形状固定；而四边形不具备这一特性。 生活应用：伸缩门、折叠衣架、升降梯等，都是利用了四边形的不稳定性来实现灵活变形。 知识点02:梯形的定义 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 平行的两边叫做梯形的底（通常较短的叫上底，较长的叫下底）。 不平行的两边叫做梯形的腰。 两底之间的距离叫做梯形的高。 知识点03:等腰梯形的定义 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 核心性质（后续会深入学习）： 等腰梯形同一底上的两个角相等。 等腰梯形的对角线相等。 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线。 知识点04:直角梯形的定义 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 核心特征： 直角梯形有两个相邻的直角。 垂直于底的腰就是梯形的高。 知识点05:平行四边形 核心定义 1.精准定义：两组对边分别互相平行的四边形，叫作平行四边形 本质逻辑：平行是平行四边形的源头属性，所有性质、判定都围绕 “对边平行” 延伸。 几何判定句式：∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点06:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点07:平行线衍生性质 平行线间距离：两条平行线之间的垂线段长度，叫做平行线间的距离； 关键规律：平行线间距离处处相等； 延伸结论：夹在两条平行线之间的所有平行线段，长度全部相等。 . 知识点08:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点09:重中之重：三角形中位线 1. 概念精准区分（特色易混辨析） 三角形中位线：连接三角形两条边中点的线段； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点的线段；. 核心区别：中位线无顶点，中线必带顶点，一字之差完全不同。 2. 三角形中位线定理（必考核心） 文字表述：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 双重考点：既有位置平行关系，又有数量倍数关系，一题两用。 标准几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =BC。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4.三角形中位线拓展规律 任意三角形有三条中位线，围成一个小三角形； 中位线分割：原三角形被三条中位线分成四个全等小三角形； 数值规律：小三角形周长=原三角形周长小三角形面积=原三角形面积 5.解题特色技巧 遇多个中点、线段一半、证明两直线平行题型，优先构造中位线； 中位线 + 平行四边形结合，是几何大题经典综合考法。 题型01.四边形的不稳定性 【典例】用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ____． 【跟踪专练2】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型02.等腰梯形的定义 【典例】如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练1】如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】四边形中，若，则这个四边形是（   ） A．一般梯形 B．等腰梯形   C．直角梯形 D．任意四边形 题型03.直角梯形的定义 【典例】如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为_______． 【跟踪专练1】已知直角梯形的两腰之比是，那么该梯形的最大角为_____，最小角为____． 【跟踪专练2】一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 题型04.利用平行四边形的性质求解 【典例】E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为___________． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的长为__________． 【跟踪专练2】如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是32，，则四边形的周长为__________ 题型05.利用平行四边形的性质证明 【典例】已知的两条对角线相交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，过对角线的交点O，若，，，则四边形的周长是______．    【跟踪专练2】如图，平行四边形中，平分，交于点，且，延长与的延长线交于点F，下列结论中：①：②是等边三角形；③；④；⑤；⑥，正确的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型06.平行四边形性质的应用 【典例】关于平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．不是轴对称图形，但是中心对称图形 D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【跟踪专练1】已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 题型07求平行线间的距离 【典例】如图，直线，，垂足分别为C，D，则a，b之间的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段 C．线段的长度 D．线段 【跟踪专练1】如图，，点在直线上，点、在直线上，．如果，，那么平行线，之间的距离是（    ） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练2】如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法错误的是（　　）    A． B． C．A，B两点间的距离就是线段的长度 D．与两平行线间的距离就是线段的长度 题型08.利用平行线间距离解决问题 【典例】如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（    ）    A．始终不变 B．向右移动变小 C．向左移动变小 D．向左移动先变小，再变大 【跟踪专练1】已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．7 D．14 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，对角线，交于点，点为线段上的点，且，已知，的面积分别为18和21，则的面积是（　　） A．36 B．48 C．82 D．84 题型09.判断能否构成平行四边形 【典例】四边形的对角线与相交于点．下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B．， C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能证明四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】在四边形中，对角线，相交于点O，则下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型10添条件成为平行四边形. 【典例】如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】如图，要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型11.平行四边形计数找点问题 【典例】在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练1】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【跟踪专练2】如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【跟踪专练3】点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 题型12.证明四边形是平行四边形 【典例】下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为________时，线段． 【跟踪专练2】如图，点P是线段上方的一个动点，且，在的上方作正、正和正．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④四边形的面积大于的面积．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 题型13.由平行四边形性质与判定求解 【典例】若四边形ABCD中，ADBC，CDAB，且∠C＝80°，则∠A等于（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【跟踪专练1】如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 【跟踪专练2】如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 题型14.由平行四边形性质与判定证明 【典例】如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，O是等边内任意一点，，点D，E，F分别在上．若，则等边的面积为_________． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点，分别在边，上，线段，相交于点，且互相平分．若，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 题型15.平行四边形性质与判定的应用 【典例】下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【跟踪专练1】如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为_____． 【跟踪专练2】如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 题型16.三角形中位线求解问题 【典例】如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【跟踪专练1】为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，某学习小组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是__________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，为的中点，若，则点到的距离是（   ） A．6 B．8 C． D．3 题型17.三角形中位线证明问题 【典例】如图，在中，点 D、E、F 分别是的中点，则图中与全等的三角形有（    ） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，在菱形中，分别是过上的动点，连接分别为的中点，连接，则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，在中，，射线平分，于点D，于点E，若F为的中点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④ 题型18.三角形中位线的实际应用 【典例】如图，小明同学想测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后分别测出的中点D，E，并测出的长为，则A，B之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 【跟踪专练2】2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【解答题】 1．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 2．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，且，求的度数． 3．如图，在中，是对角线，，，垂足分别为点E、F，连结，交于点O． (1)求证：． (2)若，，求的长． 4．如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 5．我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图①，在四边形中，取对角线的中点，连接，，再过点作交于点，连接，则直线是一条“等积线”． . (1)如图①，求证：直线是“等积线”． (2)如图②，已知为一条“等积线”，为边上的一点，请作出经过点的“等积线”，并说明理由． 6．如图，在中，、分别是，的中点，连接、．求证：四边形是平行四边形． 7．如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 8．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 9．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 10．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 11．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01四边形与平行四边形复习讲义 能力目标 知识目标 应试目标 1.掌握多边形的概念，熟记内角和、外角和公式。 2.理解平行四边形定义，掌握性质与判定定理。 1.会用公式计算多边形的边数、内（外）角度数。 2.能运用平行四边形性质进行边长、角度、线段计算。 3.能选用恰当方法证明四边形是平行四边形。 1.多边形计算、平行四边形基础题不丢分。 2.性质与判定不混淆，几何推理步骤规范。 3.熟练解决四边形综合计算与证明题。 题型01.四边形的不稳定性 题型02.等腰梯形的定义 题型03.直角梯形的定义 题型04.利用平行四边形的性质求解 题型05.利用平行四边形的性质证明 题型06.平行四边形性质的应用 题型07求平行线间的距离 题型08.利用平行线间距离解决问题 题型09.判断能否构成平行四边形 题型10添条件成为平行四边形. 题型11.平行四边形计数找点问题 题型12.证明四边形是平行四边形 题型13.由平行四边形性质与判定求解 题型14.由平行四边形性质与判定证明 题型15.平行四边形性质与判定的应用 题型16.三角形中位线求解问题 题型17.三角形中位线证明问题 题型18.三角形中位线的实际应用 解答题11题 知识点01:四边形的不稳定性 定义：四边形的边长确定后,其形状和大小仍可以改变,这就是四边形的不稳定性。 对比：三角形具有稳定性，边长确定后形状固定；而四边形不具备这一特性。 生活应用：伸缩门、折叠衣架、升降梯等，都是利用了四边形的不稳定性来实现灵活变形。 知识点02:梯形的定义 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 平行的两边叫做梯形的底（通常较短的叫上底，较长的叫下底）。 不平行的两边叫做梯形的腰。 两底之间的距离叫做梯形的高。 知识点03:等腰梯形的定义 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 核心性质（后续会深入学习）： 等腰梯形同一底上的两个角相等。 等腰梯形的对角线相等。 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线。 知识点04:直角梯形的定义 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 核心特征： 直角梯形有两个相邻的直角。 垂直于底的腰就是梯形的高。 知识点05:平行四边形 核心定义 1.精准定义：两组对边分别互相平行的四边形，叫作平行四边形 本质逻辑：平行是平行四边形的源头属性，所有性质、判定都围绕 “对边平行” 延伸。 几何判定句式：∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点06:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点07:平行线衍生性质 平行线间距离：两条平行线之间的垂线段长度，叫做平行线间的距离； 关键规律：平行线间距离处处相等； 延伸结论：夹在两条平行线之间的所有平行线段，长度全部相等。 . 知识点08:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点09:重中之重：三角形中位线 1. 概念精准区分（特色易混辨析） 三角形中位线：连接三角形两条边中点的线段； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点的线段；. 核心区别：中位线无顶点，中线必带顶点，一字之差完全不同。 2. 三角形中位线定理（必考核心） 文字表述：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 双重考点：既有位置平行关系，又有数量倍数关系，一题两用。 标准几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =BC。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4.三角形中位线拓展规律 任意三角形有三条中位线，围成一个小三角形； 中位线分割：原三角形被三条中位线分成四个全等小三角形； 数值规律：小三角形周长=原三角形周长小三角形面积=原三角形面积 5.解题特色技巧 遇多个中点、线段一半、证明两直线平行题型，优先构造中位线； 中位线 + 平行四边形结合，是几何大题经典综合考法。 题型01.四边形的不稳定性 【典例】用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题． 根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，根据用木条钉成木架后是否得到三角形即可得出答案． 【详解】解：如图，用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是 ， 故选：D 【跟踪专练1】生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ____． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 【跟踪专练2】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 题型02.等腰梯形的定义 【典例】如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据正六边形的特性找全等腰梯形即可． 【详解】解：正六边形如图所示， 等腰梯形为，，，，，，共6个 ． 【跟踪专练1】如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查梯形． 根据梯形的定义，确定点的位置即可． 【详解】解：若，且，则点可以位于、、的位置， 若，且，则点可以位于、的位置， ∴点共有种不同的选法． 故选：D． 【跟踪专练2】四边形中，若，则这个四边形是（   ） A．一般梯形 B．等腰梯形   C．直角梯形 D．任意四边形 【答案】C 【分析】先根据四边形内角和定理求出四个内角的度数，再利用同旁内角互补判断对边的平行关系，进而确定四边形的形状． 【详解】解：∵四边形内角和为，且， 设，则， ∴， 解得， ∴，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴不平行于，四边形是梯形， ∵梯形内角，符合直角梯形的特征， ∴这个四边形是直角梯形． 题型03.直角梯形的定义 【典例】如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 先利用得出，再由，求出，即可求出梯形的面积． 【详解】解：， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知直角梯形的两腰之比是，那么该梯形的最大角为_____，最小角为____． 【答案】 /150度 /30度 【分析】本题考查直角梯形的性质，等边三角形的性质和判定， 作于点E，延长到点F使，连接，利用比值可得出，再证明出是等边三角形，得到，从而得出答案． 【详解】解：如图，梯形是直角梯形，作于点E，延长到点F使，连接， ∵梯形是直角梯形， ∴， ∴四边形是矩形，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴该梯形的最大角为，最小角为． 故答案为：，． 【跟踪专练2】一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 【答案】17 【分析】根据题意可知，该直角梯形的下底比上底长，结合梯形面积公式建立方程，即可求解下底的长度． 【详解】设梯形的下底为， 因为上底增加后梯形变为矩形，矩形对边相等， 因此梯形上底为， 已知梯形的高，面积， ∴， 解得， 故梯形的下底是． 题型04.利用平行四边形的性质求解 【典例】E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题综合性较强，考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，构造同底等高的三角形．作出辅助线，因为与同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解． 【详解】解：如图：连接， 与同底等高， ， 即， 即， 同理可得， 阴影部分的面积为 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的性质求出的长度，然后根据勾股定理求解即可. 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线、交于点，， ∴， 又，， ∴. 【跟踪专练2】如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是32，，则四边形的周长为__________ 【答案】22 【分析】先由证明，得，，再求得，由四边形的周长，即可求得答案． 【详解】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为， ，，，， ， 在和中， ， ， ，， 平行四边形的周长为32， ， 四边形的周长 题型05.利用平行四边形的性质证明 【典例】已知的两条对角线相交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形，两条对角线相交于点， ∴，，， ∴， 故选项A、B、D正确，不符合题意， ∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，过对角线的交点O，若，，，则四边形的周长是______．    【答案】12 【分析】先根据平行四边形的性质和三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，从而求出，然后利用四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ，，， ， 在和中，， ， ， ， 则四边形的周长 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，平分，交于点，且，延长与的延长线交于点F，下列结论中：①：②是等边三角形；③；④；⑤；⑥，正确的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，又因为平分，可得，所以可得，得，由，得到是等边三角形，可判定②；则，所以，可判定①；因为与同底等高与间的距离相等），所以，可判定④；与等底等高与间的距离相等），得，则，即，可判定⑥；题中无条件证得，，可判定③⑤． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形； 故②正确； ， ，， ； 故①正确； 与同底等高， ， 故④正确， 与等底等高与间的距离相等）， ， ； 故⑥正确． 若， 则， 题中确无条件能证得这一结论，故⑤不一定正确； 若与相等， ∵ 则 题中确无条件能证得这一结论，故③不一定正确； 综上，正确的有①②④⑥共4个， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积，掌握相关判定与性质以及同底（或等底）等高（或同高）面积相等是解题的关键． 题型06.平行四边形性质的应用 【典例】关于平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．不是轴对称图形，但是中心对称图形 D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形进行判定即可． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形， ∴A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，熟记性质是解题的关键． 【跟踪专练1】已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 【答案】2 【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD的底是不变的， 即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化， ∵AB×AB边上的高=1， ∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1， 即E在AD，BC的中点时成立， 故使△ABE的面积为1的点E共有2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO=CO，OP=OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵∠BAC=45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AO=AC=×8=4， ∴OP′= AO=2， ∴PQ的最小值=2OP′=4， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 题型07求平行线间的距离 【典例】如图，直线，，垂足分别为C，D，则a，b之间的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段 C．线段的长度 D．线段 【答案】C 【分析】根据平行线间距离的概念进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，可知直线a，b之间的距离是线段的长度， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，熟练掌握平行线之间距离的定义是解决本题的关键． 【跟踪专练1】如图，，点在直线上，点、在直线上，．如果，，那么平行线，之间的距离是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴ 即平行线，之间的距离是． 【跟踪专练2】如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法错误的是（　　）    A． B． C．A，B两点间的距离就是线段的长度 D．与两平行线间的距离就是线段的长度 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定和性质和平行线之间距离的定义对各项进行逐一分析即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形， ，故A项正确； ，，， ， ∴四边形是平行四边形， ，故B项正确； 是线段， ∴A，B两点间的距离就是线段AB的长度，故C项正确； 于点E， 与两平行线间的距离就是线段CE的长度，故D项错误， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线之间的距离，熟知从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两平行线之间的距离是解题的关键． 题型08.利用平行线间距离解决问题 【典例】如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（    ）    A．始终不变 B．向右移动变小 C．向左移动变小 D．向左移动先变小，再变大 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的知识；根据平行线间的距离处处相等可得点P到的距离不变，因此三角形的面积不变． 【详解】∵直线，点P是直线上一个动点， ∴无论点P怎么移动，点P到直线的距离不变， ∵的底不变， ∴的高不变，面积也不变， 故选：A． 【跟踪专练1】已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】根据和是等底等高的两个三角形，其面积相等，计算即可； 【详解】直线，点、、在直线上， 点到直线的距离与点到直线的距离相等， ， 和是等底等高的两个三角形， ． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，对角线，交于点，点为线段上的点，且，已知，的面积分别为18和21，则的面积是（　　） A．36 B．48 C．82 D．84 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，根据，可得，从而得到，，进而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 题型09.判断能否构成平行四边形 【典例】四边形的对角线与相交于点．下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形对角线相等，但不是平行四边形，选项错误，不符合题意； B、，，即四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项正确，符合题意； C、无法判定四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，选项错误，不符合题意． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能证明四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．根据平行四边形的判定方法即可判断． 【详解】解：、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故A不符合题意； B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不符合题意； C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故C不符合题意； D、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故D符合题意． 【跟踪专练2】在四边形中，对角线，相交于点O，则下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理，解答即可， 【详解】解：A．， ，不能判定四边形为平行四边形，故A符合题意； B．∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故B不符合题意， C．∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故C不符合题意； D．由，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形即可证明四边形为平行四边形，故D不符合题意． 故选：A． 题型10添条件成为平行四边形. 【典例】如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可． 【详解】解：可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是AB=CD，AD=BC，理由如下： ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据已知条件可得，再根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：由图可得， ， A、添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形； B、添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形； C、添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形； D、添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了添加一个条件判定四边形是平行四边形．熟练掌握平行四边形的定义和判定定理，是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一判断即得． 【详解】A. ， 添加， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； B. ， 添加， 无法判定， 则无法判定四边形是平行四边形； C. ， 添加， ∵， ∴， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； D. ， 添加， 可得， ∵， ∴， ∴，且， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得是平行四边形． 故选：B． 题型11.平行四边形计数找点问题 【典例】在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 【跟踪专练1】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 【跟踪专练2】如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 【跟踪专练3】点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 题型12.证明四边形是平行四边形 【典例】下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的判定方法． 直接根据平行四边形的判定定理进行逐项分析，判断即可． 【详解】解：∵ ∴四边形也可能是梯形， 故A选项不符合题意； ∵ ∴不能证明四边形是平行四边形 故B选项不符合题意； ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故C选项符合题意； ∵ ∴不能证明四边形是平行四边形 故D选项不符合题意； 故选C． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为________时，线段． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定得出．根据平行四边形的性质，得出，，根据，得出四边形为平行四边形，证明，设运动时间为x秒，则，，得出，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设运动时间为x秒，则，， ∴， 解得：， 即当运动时间为3秒时，线段． 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，点P是线段上方的一个动点，且，在的上方作正、正和正．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④四边形的面积大于的面积．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点， 根据都是等边三角形，可知，可证，可知，进而可证结论①；由①知，由知，可证结论②；根据可证结论③；如图所示，延长交于F，根据等边三角形的性质和面积公式可证结论④，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴故结论①正确； 由①知：， ∴， ∵都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论②正确； ∵， ∴，故结论③正确； 如图所示，延长交于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故结论④错误； 故选：A． 题型13.由平行四边形性质与判定求解 【典例】若四边形ABCD中，ADBC，CDAB，且∠C＝80°，则∠A等于（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】A 【分析】首先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据性质求解． 【详解】解：∵ADBC，CDAB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠C=80°， ∴∠A=80°， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 【答案】20 【分析】先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ 的面积为6 ∴ ∴ ∴． 【跟踪专练2】如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】利用平行四边形的判定与性质，分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， 同理可证四边形是平行四边形， ∵与的面积分别为与面积的一半， 又四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：长度随、移动改变； 选项B：随位置改变； 选项C：、等边长随、移动变化，周长不定； 综上，四边形的面积是定值，故选项D符合题意． 题型14.由平行四边形性质与判定证明 【典例】如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法和其性质是解答本题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，再逐项判断即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴A、B、D正确，不符合题意； ∴不一定等于，与两张纸片的宽度有关，故C符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，O是等边内任意一点，，点D，E，F分别在上．若，则等边的面积为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，平等四边形的判定与性质，延长交于点G，过点A作于点H，证明，是等边三角形，四边形是平行四边形，得，由勾股定理得，再由三角形面积公式求出结论． 【详解】解：如图，延长交于点G，过点A作于点H， ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， 同理可证，是等边三角形， ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点，分别在边，上，线段，相交于点，且互相平分．若，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与交于点且互相平分，得，证明，再证出四边形是平行四边形，根据等量关系，得，即可求出四边形的周长． 【详解】解：线段与交于点且互相平分， 得， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为 ． 题型15.平行四边形性质与判定的应用 【典例】下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理即可判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确； D、一组对边相等，对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了中位线的定义和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行四边形是解题的关键． 根据三等分点可得E、F分别是线段的中点可得且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形可得、，再证明可得，再根据三角形中位线的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵ E、F是的三等分点， ∴，即点F是的中点，点E是的中点， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 【跟踪专练2】如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 【答案】C 【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小． 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．    ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理：=， 延长交的延长线于点． ∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 题型16.三角形中位线求解问题 【典例】如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，直接得 ． 【详解】解： 是 的中位线，， ． 【跟踪专练1】为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，某学习小组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是__________． 【答案】 【分析】根据题意可知点分别是的中点，利用三角形中位线定理可得与的数量关系，代入数据计算即可． 【详解】解：点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，为的中点，若，则点到的距离是（   ） A．6 B．8 C． D．3 【答案】D 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得且；再结合，确定线段的长即为点到的距离；最后在中，利用含角的直角三角形的性质设，则，再由勾股定理求出的长度，进而得到的长度． 【详解】解：如图，取的中点，连接． 是中点，是中点， 是的中位线． ，． ， ． ． 线段的长就是点到的距离． 在中，，设，则， 由勾股定理得：，即， 解得(舍去负解)， ， ，即点到的距离是． 题型17.三角形中位线证明问题 【典例】如图，在中，点 D、E、F 分别是的中点，则图中与全等的三角形有（    ） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容．根据中位线定理，利用直接证明三角形全等即可． 【详解】解：在中，点 D、E、F 分别是的中点， ， ， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，分别是过上的动点，连接分别为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，如图所示，根据三角形中位线的判定与性质确定求的最小值就是求的最小值，过点作，如图所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 分别为的中点， 是的中位线，即， 求的最小值就是求的最小值， 是固定点，是线段上的动点， 的最小值就是点到线段的距离， 过点作，如图所示： 在中，，则，即， 由勾股定理可得， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线的判定与性质、点到直线距离垂线段最短、含的直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握中位线的判定与性质，将求的最小值转化为求的最小值是解决问题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，射线平分，于点D，于点E，若F为的中点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】延长交于G，延长交延长线于H，根据三角形中位线定理即可判断出①②③④的正确性，即可得出结果． 【详解】解：延长交于G，延长交延长线于H， ∵平分， ， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵F为的中点， ∴，， 同法可得：， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴，，故①正确； ∴，故③正确； 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴（直角边小于斜边）， 即：，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，进而得到三角形的中位线． 题型18.三角形中位线的实际应用 【典例】如图，小明同学想测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后分别测出的中点D，E，并测出的长为，则A，B之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴． 【跟踪专练1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 【跟踪专练2】2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 【解答题】 1．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了梯形．熟练掌握 梯形性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，是解题的关键． （1）作于点E，可得四边形是平行四边形，得，，勾股定理求得； （2）根据梯形面积公式可求． 【详解】（1）解：作于点E， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（m）； （2）解：（）． 2．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，且，求的度数． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质，由角平分线的定义求得，得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，是对角线，，，垂足分别为点E、F，连结，交于点O． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）先由已知得，则，在中，由勾股定理求出，再根据得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，是对角线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值已舍去）， 由（1）知，， ∴， ∴． 4．如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形定义“两组对边平行的四边形是平行四边形”，证明，即可证明； （2）根据平分，，可证，在中，根据勾股定理可得，即可求得面积． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形是平行四边形 （2）平分，，， ， ，且，， 在中，. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理的应用，主要在于熟练掌握各个知识点的衔接. 5．我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图①，在四边形中，取对角线的中点，连接，，再过点作交于点，连接，则直线是一条“等积线”． . (1)如图①，求证：直线是“等积线”． (2)如图②，已知为一条“等积线”，为边上的一点，请作出经过点的“等积线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析   理由见解析 【分析】（1）要说明直线是“等积线”，根据已知条件中的折线能平分四边形的面积，只需说明三角形的面积等于三角形的面积．则根据两条平行线间的距离相等，可以证明三角形的面积等于三角形的面积，再根据等式的性质即可证明； （2）根据两条平行线间的距离相等，只需借助平行线即可作出过点的“等积线”，根据两条平行线间的距离相等，可以证明三角形的面积等于三角形的面积，再根据等式的性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的中点， ，， ， ， 折线能平分四边形的面积． 如图①，设交于点． ， ， ， ， ， 直线平分四边形的面积，即直线是“等积线”． （2）解：如图②，连接，过点作的平行线交于点， 作直线，则直线为一条“等积线”． 理由如下： ， ． 设与的交点是，则， ． 由题意可知，， ， 为一条“等积线”． 【点睛】本题考查了三角形的面积，能够根据两条平行线间的距离相等发现三角形的面积相等，理解“等积线”的概念，是解题的关键． 6．如图，在中，、分别是，的中点，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点定义，证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 、分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 7．如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 8．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 9．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 10．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）判断是的中位线，是的中位线，则，，，，因此，且，命题得证； （2）作，垂足为，判断是等腰直角三角形，则，根据含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，因此，结合即可计算出结果． 【详解】（1）证明：∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，作，垂足为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在中，，且， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 11．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $