精品解析：广东省中山市华辰实验中学2025-2026学年九年级下学期第二学次模拟考试数学试卷

2025-2026学年（下）初三第二次模拟考试数学试卷 一．选择题（10小题，共30分） 1. 给出四个数-1、0、3、-4最大的数是（ ） A. -1 B. 0 C. 3 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，可得答案． 【详解】解：根据负数小于0，正数大于0，得： −4<−1<0<3， 最大数是3， 故选C． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，掌握正数大于0，0大于负数是解题关键． 2. 下列四种化学仪器的示意图中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 2019年务实派的台商区管委会要砸440,000,000元为老百姓办这些实事，包含10大项共43个项目,其中市级18项,区级25项,涉及卫生计生、教育发展、环境整治、便民利民服务、文体事业发展、公共安全防范等方面民生内容．将440,000,000用科学记数法表示为（　　） A. 4.4×107 B. 44×106 C. 4.4×108 D. 0.44×108 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将440,000,000用科学记数法表示为4.4×108. 故选C. 【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数， 解题的关键是要正确确定a的值以及n的值． 4. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( ) A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少. 故选：D. 【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则，以及同类项的合并规则逐一判断选项正误. 【详解】解：A、，计算正确； B、，计算错误； C、，计算错误； D、不是同类项，无法合并为，计算错误. 6. 一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线相聚于一点．如图，光线，折射光线相交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，由题意，， ∴， ∴. 7. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“增长后出口量=初始出口量×（1+年平均增长率）的增长年数次方”列方程，从2023年到2025年间隔2年，即可得出对应方程． 【详解】∵年平均增长率为x，从2023年到2025年共经过2年，初始出口量为2023年的120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆， ∴可列方程为：． 8. 如图，在中，，将沿方向平移至处，此时点恰好为边的中点，连接，若，，则长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的性质求得，根据直角三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵将沿方向平移至处， ∴， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为，另一交点B的纵坐标为，则（ ） A. 4 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据点A既在正比例又在反比例上及其横坐标为－2可知－2k1；同理可知k1k2＝1；化简即可得解 【详解】解：∵正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为－2，另一交点B的纵坐标为－1， ∴， 化简，得， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是明确函数交点的特征，即交点坐标要同时满足两个函数解析式． 10. 如图，正方形中，E为的中点，于G，延长交于点F，延长交于点H，交于N下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤； 其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 根据正方形的性质证明可判定①正确；根据正方形的性质证明，得到，从而可判定②正确；过H点作，根据得到，从而得到， 根据，，可判定③正确；过点B作于点P，交的延长线上于点Q，证明四边形是正方形即可判断④正确；如图所示，连接，设，则，利用勾股定理，三角形面积计算即可判断⑤正确． 【详解】解：①∵在正方形中，， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ②∵在正方形中，， ， ， ，E为的中点，四边形是正方形， ， ， 故②正确； ③如下图所示，过H点作， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ④过点B作于点P，交的延长线上于点Q， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由①得， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ． 故④正确； ⑤如图所示，连接， 设，则，， ，， ， ， 由面积得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确； 故选：D． 二．填空题（共5小题，15分） 11. 分解因式：x2﹣4x=__． 【答案】x（x﹣4） 【解析】 【详解】解：x2﹣4x=x（x﹣4）． 故答案为：x（x﹣4）． 12. 关于的一元二次方程的两个根分别为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，直接利用根与系数的关系求解即可，熟练掌握若是一元二次方程的两根时，是解决此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根分别为， ∴根据根与系数的关系得， 故答案为：． 13. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，重物上升了，则滑轮旋转了________度．（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 【答案】120 【解析】 【分析】设滑轮旋转了n度，然后根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设滑轮旋转了n度 根据题意， ∴． ∴滑轮旋转了120度． 14. 如图是烷烃前种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．如图，第种烷烃化合物有个碳原子，个氢原子；如图，第种烷烃化合物有个碳原子，6个氢原子；如图3，第种烷烃化合物有3个碳原子，个氢原子；…按照这一规律，第种烷烃化合物的分子结构模型中氢原子的个数_____________ （用含n的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的倍加，即可求解． 【详解】第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：， 第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：， 第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：， 第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：， …… 第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为． 15. 如图，反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点右侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为12，则的值为________． 【答案】． 【解析】 【分析】先设出A点和B点的坐标，利用反比例函数的性质，得到，再由阴影面积也是12，得出；分别表示出点E、D的坐标后，将和表示出来，建立关于和的方程，联立与得到关于x的一元二次方程后，利用求根公式法得到和的含b的表达式，代入方程求解即可． 【详解】解：如下图所示，设，，直线与x轴交点记为点G，AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D； ∴，OD=，BD=； ∴，； ∴； 又因为阴影部分面积为12， ∴ ∴ ∴ 因为直线解析式为， 令y=0，则x=， ∴， ∴； ∴； 设直线OB的解析式为： 代入B点坐标后得：， ∴， ∴OC=，CE=， ∴； ∴=2 ∴ ∴ ∴ 由可得：， 其中， ∵， ∴；； ∴， 化简得：, 平方后得： 将代入可得： ∴ 由，解得：； ∴b的值为． 故答案为． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、三角形面积公式、用坐标表示距离、解一元二次方程等知识；要求学生熟记相关概念、性质以及公式，能在不同的三角形之间进行面积的转换，找出其中包含的关系，并通过建立方程求解，对学生的综合能力由一定的要求，蕴含了数形结合的思想方法等． 三．解答题（共3小题，21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值、绝对值的定义、零指数幂的运算法则化简原式，再计算即可． 【详解】 ． 17. 如图所示，在中，，，点为边上一点，以为圆心的圆经过点，． （1）求作圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） 如图，为所求： （2） 证明：连接，如图： ∵， 故， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 故是直角三角形， 即， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】（1）根据题意，作线段的垂直平分线，交于点，即可； （2）连接，根据特殊角的三角函数值可得，根据等边对等角得出，根据三角形的外角性质得出，根据等边对等角得出，根据直角三角形的性质即可得出，根据切线的判定定理即可证明． 【小问1详解】 作法：作线段的垂直平分线，交于点． 理由：∵以为圆心的圆经过点，， 故点在线段的垂直平分线上， 又∵点为边上一点， 故线段的垂直平分线与的交点即为圆心． 【小问2详解】 略 18. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的总人数是 人，众数是 部；扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为 度； （2）从没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）用“部”人数除以对应的百分比即可求得本次调查的总人数，求出“部”的人数，结合众数的定义，求出众数，先求出“部”人数所占比例，用乘以“部”人数所占比例即可“部”所在扇形的圆心角； （2）利用列表法或树状图法得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为（人）； 读“部”的人数有：（人）， 读“部”的人数最多，有14人， 故本次调查所得数据的众数是“部”； 扇形统计图中“部”所占的比例为，则扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为． 【小问2详解】 解：《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母、、、表示，树状图如下图所示： 一共有种等可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有种， 故他们恰好选中同一名著的概率是． 四．解答题（共3小题，27分） 19. 为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元； （2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯只，费用为w元， ， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【详解】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元， ，解得，， 答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元； （2）略 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交OD于点F，连接OE、CE． （1）求证：四边形为矩形； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，可得，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，结合矩形的判定定理即可证明； （2）根据平行四边形的判定和性质得出，根据矩形的性质得出，，，求得，根据菱形的性质得出，根据勾股定理求出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形为矩形，， ∴，，， 故； 又∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 故． 21. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作， 这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）的值为（ ） A． B． C． D． （2）对于，则的正对值的取值范围是 ； （3）已知，其中为锐角，求的值． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正对的定义得出顶角为时，三角形为等边三角形，即可求解； （2）求出接近和时等腰三角形底边和腰的比即可； （3）在中，，．在上取点，使，作，为垂足，根据余弦的定义设，，由勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理求出，最后根据正对的定义即可求解． 【小问1详解】 解：根据正对定义，当顶角为时，等腰三角形的底角为，则三角形为等边三角形， 则． 【小问2详解】 解：当接近时，等腰三角形的底边接近，故接近， 当接近时，等腰三角形的底边接近于腰的倍，故接近， 故对于，则的正对值的取值范围是． 【小问3详解】 解：如图，在中，，． 在上取点，使，作，为垂足，如图： 令，，则， 则； 又∵在中，，， ∴，， 在中，， 故． 在中，，，由正对的定义可得：． 五．解答题（共27分，22题13，23题14分） 22. 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接． （1）抛物线的解析式为 ； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交直线于点，作于点．当的周长最大时，求的面积； （3）如图2，连接，点是线段的中点，点是线段上一动点，连接，将沿翻折，且线段的中点恰好落在线段上，将绕点逆时针旋转得到，点为坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点T的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点T的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出直线解析式，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，结合平行线的性质得出，，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，结合勾股定理得出，求得的周长为，设点，则点，其中，结合二次函数的性质求出当时，有最大值为，求得点的坐标为，点的坐标为时，的周长最大，进而求出的面积； （3）先求出点的坐标，连接、，设与交点为点，根据折叠的性质得出，，， ，根据点P是线段BD的中点得出和点的坐标，结合三角形的外角性质和等边对等角得出，根据平行线的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据平行四边形的判定和性质得出，结合两点间的距离公式求出，设点的坐标为，且，结合两点间的距离公式列出方程，求出点的坐标，结合旋转的性质和锐角三角函数的定义求出点、的坐标，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，结合图形和平行四边形的性质，用平移坐标的方法求出点的坐标，即可． 【小问1详解】 ∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， 将代入抛物线，得， 将点，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式． 【小问2详解】 设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得， 故直线解析式为， ∵， ∴是等腰直角三角形， 故， ∵轴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， 即， 故的周长为． 设点，则点，其中， ∴， 故当时，有最大值为． 当时，，， 此时点的坐标为，点的坐标为， 故当点的坐标为，点的坐标为时，的周长最大． 此时， 则的面积为． 【小问3详解】 ∵， 故抛物线的顶点的坐标为； 连接、，设与交点为点，如图2： ∵△DPQ沿PQ翻折得， ∴，，，， ∵点P是线段BD的中点，、， ∴，点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段D′P的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， 即． ∵点Q是线段BC上一动点，且直线解析式：， 故设点的坐标为，且， 则， 即， 解得，（舍去）， 故点的坐标为． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， 故点到轴的距离为，到轴的距离为， 点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的坐标为，点的坐标为， 此时点、的横坐标相差，纵坐标相差， 点、的横坐标相差，纵坐标相差， 当四边形为平行四边形时，如图：，， 此时点与点的横坐标相差，纵坐标相差，且点的坐标为， 故点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时，如图：，， 此时点与点的横坐标相差，纵坐标相差，且点的坐标为， 故点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时，如图：，， 此时点与点的横坐标相差，纵坐标相差，且点的坐标为， 故点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点T的坐标为或或． 23. 已知AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E（点E不与O重合），连接AC、AD，AC＝AD． （1）如图1，求证：AB⊥CD； （2）如图2，过点D作DG⊥AC于点G，DG交AB于点F，求证：EF＝BE； （3）如图3，在（2）的条件下，延长DG交⊙O于点H，Q为弧AD上一点，连接AQ、HQ，HQ交AB于点P，若，DE＝3，，求圆O半径． 【答案】（1）证明：连接OC，OD， 　 ∵AC＝AD，OC＝OD，OA＝OA， ∴△AOC≌△AOD(SSS)， ∴∠OAC=∠OAD， ∵AC＝AD， ∴AB⊥CD； （2）证明：连接BD， ∵AB⊥CD，DG⊥AC， ∴∠AED＝∠AGD＝90°， ∵∠AFD＝∠AGD＋∠CAE＝∠AED＋∠GDC， ∴∠CAE＝∠GDC， ∵， ∴∠CAE＝∠CDB， ∴∠GDC＝∠CDB， ∴CD平分∠FDB， ∵∠GDC＋∠DFB＝90°， ∠CDB＋∠DBF＝180°－∠AED＝90°， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝DB， ∵CD平分∠FDB， ∴EF＝BE； （3）5 【解析】 【分析】（1）先证明△AOC≌△AOD(SSS)，利用等腰三角形的性质即可确定AB⊥CD； （2）利用“八字图”，可以证得∠CAB＝∠FDC，由同弧所对的圆周角相等得到∠CAB＝∠BDC，所以可以证得∠FDC＝∠BDC，由于CD⊥BF，通过计算可以得到∠DFB＝∠DBF，从而得到△DBF为等腰三角形，利用“三线合一”可以证明EF＝EB； （3）设∠CAB＝x，则∠AFH＝90°－x，在△HPF中，利用三角形内角和为180°，得到∠H＝∠QAD＝3x，∠BAQ＝4x，设AO＝r，在Rt△OCE中，也可以表示出tan2x＝tan∠COE，列出方程，求出r． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接OC，QB， 设∠CAB＝x， ∵DG⊥AC， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFH＝90°－x， ∵∠HPF＋2∠CAB＝90°， ∴∠HPF＝90°－2x， ∴∠H＝190°－∠HPF－∠AFH＝3x， ∴∠QAD＝∠H＝3x， 连接AD， ∵AC＝AD，AB⊥CD， ∴∠DAB＝∠CAB＝x， ∴∠QAB＝∠QAD＋∠DAB＝4x， 延长QA至T，使AT＝AB，连接TB， ∴∠T＝∠ABT＝2x， ∵AB为圆O直径， ∴∠AQB＝90°， 在Rt△AQB中， 设AO＝r，则，， ∴， 同理，， ∴， ∴，解得或5， ∵r＞0， ∴r＝5，即圆O的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）初三第二次模拟考试数学试卷 一．选择题（10小题，共30分） 1. 给出四个数-1、0、3、-4最大的数是（ ） A. -1 B. 0 C. 3 D. -4 2. 下列四种化学仪器的示意图中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2019年务实派的台商区管委会要砸440,000,000元为老百姓办这些实事，包含10大项共43个项目,其中市级18项,区级25项,涉及卫生计生、教育发展、环境整治、便民利民服务、文体事业发展、公共安全防范等方面民生内容．将440,000,000用科学记数法表示为（　　） A. 4.4×107 B. 44×106 C. 4.4×108 D. 0.44×108 4. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( ) A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线相聚于一点．如图，光线，折射光线相交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将沿方向平移至处，此时点恰好为边的中点，连接，若，，则长为（ ） A. B. 3 C. D. 9. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为，另一交点B的纵坐标为，则（ ） A. 4 B. C. D. 1 10. 如图，正方形中，E为的中点，于G，延长交于点F，延长交于点H，交于N下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤； 其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（共5小题，15分） 11. 分解因式：x2﹣4x=__． 12. 关于的一元二次方程的两个根分别为，则的值为________． 13. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，重物上升了，则滑轮旋转了________度．（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 14. 如图是烷烃前种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．如图，第种烷烃化合物有个碳原子，个氢原子；如图，第种烷烃化合物有个碳原子，6个氢原子；如图3，第种烷烃化合物有3个碳原子，个氢原子；…按照这一规律，第种烷烃化合物的分子结构模型中氢原子的个数_____________ （用含n的式子表示）． 15. 如图，反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点右侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为12，则的值为________． 三．解答题（共3小题，21分） 16. 计算： 17. 如图所示，在中，，，点为边上一点，以为圆心的圆经过点，． （1）求作圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：是的切线． 18. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的总人数是 人，众数是 部；扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为 度； （2）从没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 四．解答题（共3小题，27分） 19. 为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交OD于点F，连接OE、CE． （1）求证：四边形为矩形； （2）已知，，求的长． 21. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作， 这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）的值为（ ） A． B． C． D． （2）对于，则的正对值的取值范围是 ； （3）已知，其中为锐角，求的值． 五．解答题（共27分，22题13，23题14分） 22. 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接． （1）抛物线的解析式为 ； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交直线于点，作于点．当的周长最大时，求的面积； （3）如图2，连接，点是线段的中点，点是线段上一动点，连接，将沿翻折，且线段的中点恰好落在线段上，将绕点逆时针旋转得到，点为坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点T的坐标． 23. 已知AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E（点E不与O重合），连接AC、AD，AC＝AD． （1）如图1，求证：AB⊥CD； （2）如图2，过点D作DG⊥AC于点G，DG交AB于点F，求证：EF＝BE； （3）如图3，在（2）的条件下，延长DG交⊙O于点H，Q为弧AD上一点，连接AQ、HQ，HQ交AB于点P，若，DE＝3，，求圆O半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $