精品解析： 广东省中山市三鑫学校2025年九年级数学二模试卷

2024-2025学年广东省中山市三鑫学校初三数学二模试卷 一、选择题（共10小题） 1. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路，当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中新网广东新闻11月8日电，由广州市创新试点“政府指导、商业运作”的“靶岁康”在2021至2023年，投保1118万人次，获赔金额最高的达万元．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 从实数，0，5，，中随机抽取一数，抽到无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 无法确定 D. 有两个不相等的实数根 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，过点和点作直线，则直线AB（ ） A. 平行于x轴 B. 平行于y轴 C. 与x轴相交 D. 经过原点 8. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 11. 一组数据3，4，，6，8的平均数是5，则这组数据的众数是________；方差是________． 12. 计算：＋＝__ 13. 边长分别为1的正方形和边长分别为3与2的长方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是________． 14. 如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 _____． 三、解答题（共7小题） 15. 计算：． 16. 若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是________． 17. 如图，已知，点是上的一个定点． （1）请运用尺规在所给的图中按下列步骤完成作图，并按要求标上相应字母： ①作的平分线和过点作的垂线，使它们交于点； ②以点为圆心，长为半径作； （2）完成（1）的作图后，求证：是的切线． 18. 如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求阴影部分的面积． 19. 综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．     （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 20. 如图1，正方形的边长为5，点E、F分别是边、上一点，且四边形为边长为2的正方形，连接． （1）在图1中，求的值； （2）将图1中的正方形绕点B旋转一周，探究的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由； （3）当正方形旋转至D，G，E三点共线时，求的长． 21. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点 D，与AB相交于点 E，且点B． （1）求反比例函数的关系式； （2）求的面积； （3）若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省中山市三鑫学校初三数学二模试卷 一、选择题（共10小题） 1. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路，当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求； B中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求； C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； D中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； 故选：D． 2. 中新网广东新闻11月8日电，由广州市创新试点“政府指导、商业运作”的“靶岁康”在2021至2023年，投保1118万人次，获赔金额最高的达万元．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中为整数，据此判断即可． 【详解】解：万． 故选：B． 3. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到的度数，进而即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 4. 从实数，0，5，，中随机抽取一数，抽到无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键． 【详解】解:从，0，5，，这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的有，，这2种可能， 抽到的无理数的概率是． 故选：B． 5. 关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 无法确定 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根． 【详解】解：， ∵△=(k-1)2-4(k-4)， =， =， =， ∵， ∴（k-3）2+8＞0，即△＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴在每一个象限中，y随x的增大而增大， ∵，点，在第二象限， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，过点和点作直线，则直线AB（ ） A. 平行于x轴 B. 平行于y轴 C. 与x轴相交 D. 经过原点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：因为平行于轴的直线上的点，纵坐标均相等； 平行于轴的直线上的点，横坐标均相等， 又，， 则，两点的纵坐标相等， 所以直线平行于轴． 故选：A． 8. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据直径所对的圆周角是直角求得 根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为圆的内接四边形， ∵是半圆的直径， 故选：B． 9. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的上方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，代入二次函数解析式得，又由抛物线经过原点得，即可得到，再代入计算即可求解，证明得到，是解题的关键． 【详解】解：作轴，于，于，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵点的坐标分别是，， ∴， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（共5小题） 11. 一组数据3，4，，6，8的平均数是5，则这组数据的众数是________；方差是________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出x的值，然后根据众数和方差的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意得：，解得：x=4， ∴原数据为3，4，4，6，8，这组数据的众数是4，方差=． 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了平均数、众数和方差的定义，属于基本题型，熟练掌握三者的概念是解题关键． 12. 计算：＋＝__ 【答案】2 【解析】 【详解】试题解析：原式 故答案为2. 点睛：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减. 13. 边长分别为1的正方形和边长分别为3与2的长方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是________． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】由正方形的性质，线段的和差求出，相似三角形的判定与性质求出，根据线段的和差求得，最后由三角形的面积公式求出阴影部分的面积是． 【详解】解：如图所示： 长方形的长和宽分别为3与2，正方形的边长为1， ，， 又， 又， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：． 14. 如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设与两边的切点分别为D、G，连接，延长交于点H， 由， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，延长交于点Q， 同理， ∵， ∴， 当与相切时，有最大或最小值， 连接， ∵D、E都是切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴的最大值为； 如图， 同理，的最小值为； 综上，t的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得是解题的关键． 三、解答题（共7小题） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算方法是解决问题的关键. 先计算算术平方根，立方根，零次幂，绝对值化简，然后进行加减运算. 【详解】解：原式． 16. 若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】a≥1 【解析】 【详解】不等式组变形为 由不等式组无解，则a≥1. 故答案为a≥1. 点睛：不等式组无解，即x>a与x<b无交集，在数轴上即画出的两弧无交集，可知数轴上a点在b点右边或重合.则a≥b. 17. 如图，已知，点是上的一个定点． （1）请运用尺规在所给的图中按下列步骤完成作图，并按要求标上相应字母： ①作的平分线和过点作的垂线，使它们交于点； ②以点为圆心，长为半径作； （2）完成（1）的作图后，求证：是的切线． 【答案】（1） 如图， （2） 证明：过点O作交于点N，如图， ∵以点为圆心，长为半径作， ∴是的半径， ∵平分， ∴， 又∵， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图的作角平分线和过点作垂线， （1）根据角平分线的作法和过点作垂线的方法作图即可； （2）由（1）得是的半径，过点O作交于点N，根据角平分线性质即可求得则有结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线，可知，然后求得，结合圆周角定理，求得； （2）设，在中，由勾股定理得：，求得半径，然后利用解直角三角形，求得，然后再求得，最后利用求得答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的切线，是⊙O的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， 在中，由勾股定理得：，，， 即， 解得：， ∴，， ∴， ， ， ， ， 阴影面积为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形内角和，圆周角定理，扇形的面积，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 19. 综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．     （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为 （2） 解：设小长方形的宽为，长为，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为． 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是利用等量关系建立相应的方程进行求解； （1）设剪去的小正方形的边长x，根据底面的面积建立等式进行求解； （2）设小长方形的宽为，长，根据等量关系列出二元一次方程组进行求解即可． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ，整理得：， 解得：（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为． 【小问2详解】 略 20. 如图1，正方形的边长为5，点E、F分别是边、上一点，且四边形为边长为2的正方形，连接． （1）在图1中，求的值； （2）将图1中的正方形绕点B旋转一周，探究的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由； （3）当正方形旋转至D，G，E三点共线时，求的长． 【答案】（1）；（2）不变，；（3）或 【解析】 【分析】（1）延长EG交AD于H，解直角三角形求出DH，GD即可解决问题； （2）连接BD，BG，证明△CBE∽△DBG即可求解； （3）分两种情况：①当点G落在DE的延长线上时，利用勾股定理及（2）的结论即可解答，②当点G落在DE上时，同法可求解． 【详解】解：（1）延长交于点H； ∵四边形ABCD，四边形BEGF为正方形， ∴AB=BC=CD=AD=5，BE=EG=GF=FB=2，AB∥EG，AD∥BC∥FG， ∴AH=BE=2，DH=CE=BC=BE=3，GH=AF=AB=BF=3，GH⊥AD， 在Rt△DGH中，； ∴； ∴ （2）连接，； ∵四边形ABCD，四边形BEGF为正方形， ∴∠DBC=∠DBA=45°，∠GBE=45°，； ∴∠DBC+∠EBD=∠GBE+∠EBD，即∠CBE=∠DBG， ∵BC=5，BE=2， ∴，； ∴； ∴ ∴ ∴， ∴ 即的值不变， （3）①当点G在线段延长线上时，（如图1） 由（2）知：，∴． 在中，，， ∴， ∴ ②当点G在线段上时，（如图2） 由（2）知：∴，∴． 在中，，， ∴， ∴ 综上：或 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 21. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点 D，与AB相交于点 E，且点B． （1）求反比例函数的关系式； （2）求的面积； （3）若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求出点的坐标为，代入反比例函数解析式即可求出，即可得解； （2）利用矩形的性质和点的横坐标，得到点，，，根据三角形面积公式计算即可； （3）设，利用勾股定理求出，得到，证明得到，求出的值得到，利用待定系数法求出直线的函数关系式即可． 【小问1详解】 解：矩形的顶点，点为对角线的中点， ， 把代入反比例函数得：， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：连接，点在上， 当时，求得， ，，， ； 【小问3详解】 解：连接、，设， 反比例函数的图象与矩形的边交于点， ， 解得， ， 点， 设， ，， 根据折叠的性质得， 在中，， 即， 解得：， ， 过点作，垂足为点， 由折叠可知， ，， ， ， ， 设， ，， ， 解得：， ， 设直线的函数关系式为， 代入和得： ， 解得， 直线的函数关系式为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $