精品解析：上海市延安中学2025-2026学年高二下学期期中数学试题

2026年延安高二年级下学期期中 一､填空题（每小题3分，共36分） 1. 函数在区间[1,3]上的平均变化率为______________ 2. 设函数在处的切线斜率为2，则__________. 3. 由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是__． 4. 已知事件与相互独立，假设，则__________. 5. 若，则正整数的值为__________. 6. 已知为正整数，则__________.（用数字作答） 7. 若，则正整数的值为__________. 8. 若从这九个数字中选取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的取法种数为__________. 9. 若动直线与函数，的图象分别交于点，当两点距离最近时，的值为__________. 10. 2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军. 假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为__________. 11. 已知函数，则不等式的解集为__________. 12. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为__________. 二､选择题（每小题4分，共16分） 13. 命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设集合，，则方程表示焦点位于x轴上的椭圆有 A. 6个 B. 8个 C. 12个 D. 16个 15. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ） A. 36 B. 64 C. 72 D. 81 16. 有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（ ） A. 8 B. 144 C. 120 D. 280 三､解答题（共48分） 17. 已知是函数的一个极值点． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最小值． 18. 某校志愿者团队共派出6人参加志愿者活动，其中男生4人，女生2人； （1）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙的左边（甲乙不必相邻），有多少种不同的排法？ （2）现要将6名志愿者分配到3所学校参加志愿者服务活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？ 19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式． （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 20. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 21. 在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为；假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量.例如，用表示赢，表示输，当，一个输赢序列记为：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故，游程的长度依次为，向量. （1）已知；写出对应的输赢序列； （2）已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和； （3）若篮球队有6次赢，4次输；求具有7个游程的概率； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年延安高二年级下学期期中 一､填空题（每小题3分，共36分） 1. 函数在区间[1,3]上的平均变化率为______________ 【答案】 【解析】 【详解】由定义可知，平均变化率为 2. 设函数在处的切线斜率为2，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 则. 3. 由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是__． 【答案】16 【解析】 【分析】分两位数不含0和含0两种情况，进行求解. 【详解】当两位数不含0时，有种；当这个两位数含有0时，只有4种情况， 总的个数为． 故答案为：16 4. 已知事件与相互独立，假设，则__________. 【答案】0.4## 【解析】 【详解】因事件与相互独立，则， 故. 5. 若，则正整数的值为__________. 【答案】7 【解析】 【详解】由题知，，且， 解得. 6. 已知为正整数，则__________.（用数字作答） 【答案】744 【解析】 【详解】由排列数的意义可知，，解得，即， 所以. 7. 若，则正整数的值为__________. 【答案】1或4 【解析】 【详解】因为，所以原等式可化为， 所以或，解得或， 因此正整数的值为或. 8. 若从这九个数字中选取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的取法种数为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】将数分为三组，即可根据整除的性质求解. 【详解】被除余的数有，被除余的数有，被整除的数有. 若要使选取的三个数字的和能被整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字， 则取出的这三个数字的和能被3整除的种数种． 9. 若动直线与函数，的图象分别交于点，当两点距离最近时，的值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意可得，结合图象推得，利用函数求导判断的单调性，求出其极小值点即得. 【详解】因函数的定义域为，依题意，， 由图知，当取定时，的函数值恒大于的函数值， 因，则， 设，则， 则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时取得最小值， 即当两点距离最近时，的值为 . 10. 2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军. 假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据比分可知前三局输一局第四局胜，根据独立重复事件的概率公式求解. 【详解】中国队以获胜，则一共打了4局比赛，且第4局一定是中国队获胜. 前3局比赛中，中国队恰好赢2局、输1局，已知每局中国队获胜概率为，输的概率为， 每局比赛独立，概率为. 11. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数. 所以不等式等价于， 整理得，解得或. 故该不等式的解集为. 12. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为__________. 【答案】45 【解析】 【分析】设中，有个，个，则可得，再分、及进行讨论即可得. 【详解】设中，有个，个，则有个， 则需，解得， 当时，，共有种情况； 当时，，共有种情况； 当时，，共有种情况； 故共有种情况， 即集合中满足条件“”的元素个数为. 二､选择题（每小题4分，共16分） 13. 命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件与互斥事件的概念判断即可. 【详解】解：若事件与事件是对立事件，则事件与事件一定是互斥事件； 若事件与事件是互斥事件，不一定得到事件与事件对立， 故命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的充分不必要条件； 故选：A 14. 设集合，，则方程表示焦点位于x轴上的椭圆有 A. 6个 B. 8个 C. 12个 D. 16个 【答案】A 【解析】 【分析】根据，对A中元素进行分析即可求解. 【详解】因为椭圆焦点在x轴上， 所以， 当时，； 当时，； 当时，， 一共有6个符合要求的椭圆， 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆焦点的位置，属于容易题. 15. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ） A. 36 B. 64 C. 72 D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可. 【详解】4名同学分成1，1，2三组： 三组去三个不同的小区： 所以全部的种类数：； 故选：A. 16. 有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（ ） A. 8 B. 144 C. 120 D. 280 【答案】D 【解析】 【分析】将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按指定顺序放入，再列式计算即得. 【详解】将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按由下往上的顺序放入， 相当于8个位置，取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入，有种方法， 再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入，有种方法， 最后放入右边的一个气球于最后一个位置，有种方法， 由分步计数乘法原理得击破气球的不同顺序的种数为. 故选：D 三､解答题（共48分） 17. 已知是函数的一个极值点． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最小值． 【答案】（1）增区间为、，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知的值，然后利用导数与函数的单调性可得出函数的增区间和减区间； （2）求出函数在区间上的极大值和极小值，与、的值比较大小，可得出函数在区间上的最小值. 【小问1详解】 解：因为，则， 因为是函数的一个极值点，则，解得， 此时，， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为、，减区间为. 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 函数在上单调递增，在上递减，在上单调递增， 当时，函数的极大值为，极小值为， 又因为，， 所以，函数在上的最小值为. 18. 某校志愿者团队共派出6人参加志愿者活动，其中男生4人，女生2人； （1）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙的左边（甲乙不必相邻），有多少种不同的排法？ （2）现要将6名志愿者分配到3所学校参加志愿者服务活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）定序问题使用倍缩法计算即可； （2）分三所学校人数为、、三种情况，结合分堆法和分类加法计数原理计算即可得. 【小问1详解】 全排列有种排法，男生甲与女生乙共有种排法， 故男生甲在女生乙的左边，共有种； 【小问2详解】 先将名志愿者分成组，可以分成或或三种不同情况， 若人数为，共有种安排方法； 若人数为，共有种安排方法； 若人数为，共有种安排方法； 故共有种不同的安排方法. 19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式． （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元． 【解析】 【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为. 再由，得，因此. 而建造费用为 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 （Ⅱ），令，即. 解得，（舍去）. 当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为． 当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元． 20. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 21. 在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为；假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量.例如，用表示赢，表示输，当，一个输赢序列记为：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故，游程的长度依次为，向量. （1）已知；写出对应的输赢序列； （2）已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和； （3）若篮球队有6次赢，4次输；求具有7个游程的概率； 【答案】（1） （2）； ； ； （3） 【解析】 【分析】(1)根据题意得，赢的游程数为，赢的次数，输的次数，再结合定义写对应序列即可； (2)根据赢的游程数、赢的次数和输的次数，找出所有可能的输赢序列，并确定对应的向量和； （3）设赢游程数为，输游程数为，进而根据游程总数，且输赢序列交替出现得或，再分情况讨论可能序列的总数，结合古典概型公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，赢的游程数为，赢的次数，输的次数 根据定义：由得第个赢的游程以前连续输2次，对应序列为； 接着第一个赢游程长度：对应序列为； 然后，第个赢的游程以前连续输1次，对应序列为； 接着第二个赢游程长度：对应序列为； 最后，表示没有输. 所以输赢序列为： 【小问2详解】 解：由，得所求序列有两个赢的游程， 设，则，，故可能为，， ，则，， 同时，为保证两个赢游程不合并，中间必须有至少一个输，即，故可能为或， 所以，满足条件的输赢顺序及对应向量分别为： 【小问3详解】 解：篮球队有6次赢，4次输，共10场，即“个，个的排列”， 所以，所有可能的输赢序列共有种， 设赢游程数为，输游程数为， 因为游程总数，且输赢序列交替出现， 所以，且， 所以或， 当时， 将6个赢分成4个非空游程：在6个赢之间的5个空隙中选3个放入隔板，有种； 将4个输分成3个非空游程：在4个输之间的3个空隙中选2个放入隔板，有种， 所以，此序列共有种， 当时， 将6个赢分成3个非空游程：在6个赢之间的5个空隙中选2个放入隔板，有种； 将4个输分成4个非空游程：在4个输之间的3个空隙中选3个放入隔板，有种， 所以，此序列共有种， 所以，满足条件的序列总数有种， 所求概率为，篮球队有6次赢，4次输且具有7个游程的概率为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $