精品解析：广东东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2026届高三下学期四月月考数学试卷

2026年高三年级四月月考 数 学 命题人：谢秉轩、胡松涛、邹荣杰 审题人：罗钟灵、何睿杰、林伟豪、陈永福、陈宇扬、叶隽豪、萧佳倍 本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题总共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的几何意义求解. 【详解】由题设，对应点为，第四象限. 故选：D. 3. 下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形. 设点 P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】以AD 为x 轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ，由圆D 方程设 写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值. 【详解】骑行过程中，ABCDE 相对不动，只有P 点绕D 点作圆周运动. 如图，以AD 为x轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ， 由题意 圆D 方程为 设 则 ， 易知当 时，取得最大值36. 故选 ：C . 4. 下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（ ） A. 2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B. 2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C. 2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D. 2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图逐一计算判断即可 【详解】对于A，2025年10月份商品零售额同比增长速度为，故A正确； 对于B，2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为，故B正确； 对于C，2025年前四个月商品零售额同比增速平均值为， 2025年前四个月商品餐饮收入同比增速平均值为， 故2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同，故C正确； 对于D，因为， 所以2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为，故D错误. 故选：D. 5. 已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设过圆心，即可得，再应用切线长的求法求. 【详解】由题设圆心在直线上， 所以，即，故，而圆的半径为， 所以. 故选：A 6. 已知函数，则下列选项中错误的是（ ） A. 为的周期 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于点对称 D. 是奇函数 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，因，即为的周期，故A正确； 对于B，因，即， 故的图象不关于对称，即B错误； 对于C，，故的图象关于点对称； 对于D，，令， 则，即是奇函数，故D正确. 7. 已知抛物线的焦点为F，为该抛物线上的动点，A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，利用正弦定理及抛物线性质求出的表达式，再结合图形确定取最小值条件，并求出最小值. 【详解】依题意，点，，设点P在准线上的射影为点Q，则， 设直线PA与正方向的夹角为，在中，由正弦定理得， 当且仅当最小时，的值最小，因此当直线PA与抛物线C相切时，最大，最小， 当直线AP与抛物线C相切时，设直线PA的方程为， 由消去得，则， 解得，当时，，所以的最小值为. 8. 已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，然后分离常数，再令，结合基本不等式和反比例函数性质，用表示出函数值域，结合列不等式求解可得. 【详解】设，则， 令，则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ， ，函数在上单调递减，则， 所以，时，，， 由于对任意的，都有成立， 所以，，解得， 的取值范围为. 二、多项选择题：本大题总共3小题，每小题6分，共18分.每小题有2~3个正确选项.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与互斥. D. 对于随机事件与，若，，则事件与独立. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接根据二项分布的方差公式计算可得；对B根据正态分布的对称性求概率可得；对C直接举反例说明可得；对D根据相互独立事件的定义判断可得. 【详解】对于A，若，二项分布方差公式为， 得：，解得，故A正确； 对于B，正态分布关于对称轴对称，因此， 对于连续型正态分布，单点概率为，故： ，故B正确； 对于C，互斥事件的定义是：不可能同时发生的两个事件. 当第一次掷出点（满足事件）， 第二次掷出点时，两次点数和为奇数（满足事件），说明可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 对于D，事件独立的充要条件（）为即. 由得，因为，满足， 因此，事件与独立，故D正确 10. 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，即可求解判断ABD；根据导数的几何意义求解判断C. 【详解】由，则， 当时，，则在上单调递减，没有极值，故A错误， 当时，令，得， 不妨设，则，故B正确， 当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 而，则， 所以 为定值，故D正确； 对于C，由，则，而， 则曲线在点处的切线方程为，故C正确. 故选：BCD 11. 已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】合理赋值即可判断A，根据，再升次作和即可判断B；利用分组求和法即可判断C，求出，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】对A，赋值得，所以A正确； 对B，又由，，相加得，所以B正确； 对C，，， 则 ，所以C错误； 对D，所以 ， 结合，解得，所以D正确. 故选：ABD． 三、填空题：本大题总共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有______种. 【答案】 【解析】 【分析】根据环状排列的计算方法，结合元素相邻的计算方法求解. 【详解】由于环状排列没有首尾之分， 将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法， 由个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法. 甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 13. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以二项式系数的最大值为，含项的系数， 故. 14. 在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题总共5小题，总共77分.解答题应写清解答、证明步骤. 15. 已知在中，满足恒成立，设函数. （1）求A的取值构成的集合； （2）设D是边的中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式、二倍角正余弦公式化简条件，结合不等关系及正弦函数的单调性求的范围，即可得； （2）根据、余弦定理及向量数量积的运算律得到，结合基本不等式及分式、根式型函数的单调性求其最值. 【小问1详解】 由， 由，则， 由，所以，即， 由， 即，而， 所以或，可得或， 综上，； 【小问2详解】 令，且， 所以， 所以，则， 令，当且仅当时取等号，所以， 当时，在上单调递减，此时， 当时，且在上单调递增， 且时，则， 综上，的最大值. 16. 设函数，. （1）当时，求在点的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线方程； （2）由题意知，故只需在上恒成立，即在上恒成立，也即；构造函数，根据导数与最值的关系求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 则， ， 所以切线方程为， 即 . 【小问2详解】 ， 要求，即求，即， 又，故只需在上恒成立即可， 即在上恒成立，也即. 令， ， 所以在上单调递减，所以 ， 所以. 故的取值范围为. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点. （1）本小问，请考生从下面的两个命题中自己选择一个证明.若多选，则按照书写的第一个证明计分. ①三线共点 ②若平面，证明：共线 （2）若三棱柱的所有棱长都相等，求平面和平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 选①：由分别为的中点，则且， 同理得且，而，则不平行， 由分别为的中点，易知， 所以不平行，但平面， 延长交于一点，则平面，即在平面内， 同理平面，即在平面内， 而平面平面，则， 综上，三线共点，得证； 选②：由分别为的中点，易知， 所以平面，而，，则平面， 所以平面， 由，平面，则平面， 所以平面， 综上，平面平面， 又平面，即平面，， 由平面，则平面， 综上，，即共线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据所选的命题，应用平面的基本性质及平行公理、性质证明三线共点、三点共线； （2）令三棱柱的棱长为2，构建合适的空间直角坐标系，并求出对应平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 选命题及证明略； 【小问2详解】 令三棱柱的棱长为2，构建如上图示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则，取，则， 令平面的法向量为，则，取，则， 所以，即平面和平面所成角的余弦值为. 18. 在目前的高考英语中，有一道名为“阅读理解七选五”的试题，其题目规则如下：题目会给出一篇缺少5个句子的短文，配套7个完整的备选句子；考生需结合文章结构、主旨大意、上下文逻辑与语义衔接，为5个空白处匹配唯一正确的句子，剩余2个为干扰项，不可重复使用选项；每选对一题得2.5分，总分12.5分.已知某人在作答“七选五”时选择选项完全随机，且没有重复使用选项.据此回答下列问题： （1）求此人作答“七选五”时恰好选出一个干扰项的概率； （2）求此人最终得0分的概率； （3）求此人最终得分的数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分 【解析】 【分析】（1）应用排列组合求出7个选项中选5个不重复排列到5个空白、恰好选出1个干扰项的对应情况数，再应用古典概型的概率求法求概率； （2）法一：应用分步分类计数，讨论所选5个句子中干扰项的个数，结合排列组合数求出各情况下最终得0分的所有可能情况数，法二：首先分析此人最终得0分的事件，再应用排列组合数及容斥原理求全错的事件数，最后应用古典概型的概率求法求概率； （3）设答对题数为，令得，求出，最后应用期望的性质求此人最终得分的数学期望. 【小问1详解】 从7个选项中选5个不重复排列到5个空白，有 种情况， 恰好选出1个干扰项，即5个选项含1个干扰项、4个正确选项，有 ， 所求概率； 【小问2详解】 设正确句子对应空白位置且，干扰项为，此人最终得0分，即5个空全错， 法一：分如下三种情况分析， 情况一：当所选5个句子中，不含干扰项有1种，即选中句子，但全部填错，如下， 第一步，空白位置1从句子中任选一个有4种， 第二步，（第一步填句子3）空白位置3从句子中任选一个，分两种情况如下， ①，空白位置3填句子1，则空白位置中填句子，故全部填错的情况有2种， ②，空白位置3从句子中任选一个有3种，（假设填句子5）空白位置中填句子，故全部填错的情况有3种，共有种， 综上，此时共有种； 情况二：当所选5个句子中，含一个干扰项有种，四个正确句子有种， 如选中句子，且全部填错，分两种情况如下， ①，句子6填入空白位置5，则空白位置填句子，且全部填错，共有种， ②，第一步，句子6填入空白位置中的一个有4种，（假设填入空白位置3）空白位置填句子，且全部填错， 第二步，句子3填入空白位置5，则空白位置填句子，且全部填错，共有2种， 或句子3填入空白位置中的一个有3种，（假设填入空白位置2）再空白位置填句子，共有3种， 综上，此时共有种； 情况三：当所选5个句子中，含两个干扰项有种，四个正确句子有种， 如选中句子，且全部填错，分三种情况如下， ①，句子填入空白位置有种，则空白位置填句子，且全部填错有种，共有种， ②，第一步，句子，一句填入空白位置，一句填入空白位置，共有种， 第二步，（假设句子6填入空白位置2，句子7填入空白位置4）空白位置填句子，且全部填错， 若句子2填入空白位置5，则空白位置填句子，且全部填错，共有1种， 若句子2填入空白位置中的一个有2种，（假设填入空白位置1）空白位置填句子有1种，共有种， ③，第一步，句子填入空白位置，共有种， 第二步，（假设句子填入空白位置）空白位置填句子，且全部填错，共有种， 综上，此时共有种； 所以，此人最终得0分有种， 法二：若有个正确句子在其对应的位置上，有种情况，剩下个位置从余下的个句子中选择，有种情况， 所以要使最终得分为0，只需对应空白位置的编号与该位置对应句子的编号不相等即可， 由容斥原理，全错的事件数为 种情况， 所求概率；​ 【小问3详解】 设答对题数为，令，则， 对任意第题，答对概率 ，则分， 而最终得分，故 分. 19. 设点是平面内的动点，，且 （1）求点的轨迹方程； （2）过点作两条不重合的直线，与的轨迹分别交于四点. ①若四点共圆，求证：； ②设的轨迹的左右顶点分别为，，直线分别与x轴交于P、Q，求证：. 【答案】（1） （2） ①设，，且， 由四点共圆，且弦交于，根据相交弦定理得， 联立与，即，则， 所以，， 而 ，同理可得， 所以，又在上单调递增， 由且，即为偶函数， 而，则，即； AI    ②椭圆左右顶点为，，，因此，， 要证， 即证， 由①，且，， 直线，令，得， 整理得，变形得，同理， 通分化简后可得 ， 两边取绝对值，即，得证. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义写出椭圆方程即可； （2）①设，，且，结合圆的性质有，联立直线与椭圆，应用韦达定理、两点距离公式化简整理，即可证；②问题化为证明，结合①的分析即可证. 【小问1详解】 由平面内到两个定点距离之和为定值（大于两定点间距）的点的轨迹为椭圆， 而，因此的轨迹为椭圆， 其中，，，因此轨迹方程为； 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级四月月考 数 学 命题人：谢秉轩、胡松涛、邹荣杰 审题人：罗钟灵、何睿杰、林伟豪、陈永福、陈宇扬、叶隽豪、萧佳倍 本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题总共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形. 设点 P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 4. 下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（ ） A. 2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B. 2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C. 2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D. 2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 5. 已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列选项中错误的是（ ） A. 为的周期 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于点对称 D. 是奇函数 7. 已知抛物线的焦点为F，为该抛物线上的动点，A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题总共3小题，每小题6分，共18分.每小题有2~3个正确选项.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与互斥. D. 对于随机事件与，若，，则事件与独立. 10. 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 11. 已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 三、填空题：本大题总共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有______种. 13. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则______. 14. 在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 四、解答题：本大题总共5小题，总共77分.解答题应写清解答、证明步骤. 15. 已知在中，满足恒成立，设函数. （1）求A的取值构成的集合； （2）设D是边的中点，求的最大值. 16. 设函数，. （1）当时，求在点的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点. （1）本小问，请考生从下面的两个命题中自己选择一个证明.若多选，则按照书写的第一个证明计分. ①三线共点 ②若平面，证明：共线 （2）若三棱柱的所有棱长都相等，求平面和平面所成角的余弦值. 18. 在目前的高考英语中，有一道名为“阅读理解七选五”的试题，其题目规则如下：题目会给出一篇缺少5个句子的短文，配套7个完整的备选句子；考生需结合文章结构、主旨大意、上下文逻辑与语义衔接，为5个空白处匹配唯一正确的句子，剩余2个为干扰项，不可重复使用选项；每选对一题得2.5分，总分12.5分.已知某人在作答“七选五”时选择选项完全随机，且没有重复使用选项.据此回答下列问题： （1）求此人作答“七选五”时恰好选出一个干扰项的概率； （2）求此人最终得0分的概率； （3）求此人最终得分的数学期望. 19. 设点是平面内的动点，，且 （1）求点的轨迹方程； （2）过点作两条不重合的直线，与的轨迹分别交于四点. ①若四点共圆，求证：； ②设的轨迹的左右顶点分别为，，直线分别与x轴交于P、Q，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $