广东省东莞市东华高级中学2025届高三下学期四月月考数学试题

2025年东华高级中学高三年级四月月考 数学 本试卷总共19小题，试卷满分120分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题总共8小题，每小题5分，共40分。 1. 设集合，则的非空真子集的个数为 2. 若的最小值为 3. 设复数满足，则的最大值为 4. 定义在正整数集上，并且满足下面的两个条件： ①② 则 3578 3580 3571 3581 5. 芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是 （参考数据：，） 取得最大值时，的估计值为 6. 若存在一实数，使得对于任意实数和任意恒有 ，则的取值范围是 7. 直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为 8. 下列选项中正确的是 二、多项选择题：本大题总共3小题，每小题6分，共18分。每小题有2~3个正确选项。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9. 有6个红色球，3个蓝色球和3个黄色球.将这些球放在一条直线上按序排列，假设同色球没有区别.下列说法中正确的有 让同色球不相邻的放法有100种 考虑球的顺序，将12个球分为两组(两个组拥有的球的数量可以不同），要求每一组内红球与蓝球的个数和不同的分法有24种 10. 已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”.以下结论中正确的是（    ） 若，则为“回归数列” 若为等比数列，则为“回归数列” 设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则 对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得 11. 平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是 当都是整数时，称为格点，则上有2个格点 的最大值为 在第一象限对应的双曲线的离心率为 三、填空题：本大题总共3小题，每小题5分，共15分。 12. 空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 13. 类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧s+，在点处的倾角为+，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；K=.在数学上给出曲率的公式：. 根据定义，椭圆在点的曲率为_____________. 14. 设函数满足下列条件： ① ②方程 ③ ④； ⑤. 则. 四、解答题：本大题总共5小题，总共77分。解答题应写清解答、证明步骤。 15. (13分）如图，P为抛物线上在x轴下方的一点，直线与抛物线在第一象限的交点从左到右依次为A，B，C，与x轴正半轴分别相交于点M，N，Q，且，直线的方程为． （1）当时，设直线的斜率分别为，证明：；（5分） （2）记点A、C到直线的距离分别为，，求的取值范围．（8分） 16. （15分）甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为. (1)若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率.（4分）； (2)若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜.（5分）； (3)若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率.（6分） 17. （15分）已知等差数列的前项和为，且满足，公差． （1）若成等比数列，求数列的通项公式；（4分） （2）是否存在数列，使得对任意的，仍然是数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的公差；若不存在，说明理由；（5分） （3）设数列的每一项都是正整数，且，若数列是等比数列，求数列的通项公式．（6分） 18. （17分）已知函数． (1)当时，讨论的单调性；（4分） (2)当时，恒成立，求的取值范围；（5分） (3)人类在不断地探索宇宙的结构，中性氢21厘米谱线是射电天文观测到的第一条谱线，也是最重要的谱线之一．天文学家在研究星际中性氢原子分布时发现，单位体积内存在个中性氢原子，其辐射强度称为辐射强度达到了t级．已知某星系辐射强度满足，求证：该星系的辐射强度没有达到3级.（8分） 19. (17分）在空间直角坐标系O-xyz中三元方程可表示曲面.例如，方程表以为球心，1为半径的球面.已知曲面的方程为与坐标平面Oxy的交线为，平面过点，且法向量为. (1)求平面的方程;（4分） (2)若在曲线上，求|PQ|的最大值，并说明理由.（5分） (3)空间中是否存在定点M，使得上任意一点到的距离与到平面的距离之比为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由.（8分） 数学试题 第 1 页│共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 2025年东华高级中学高三年级四月月考 数 学 试 题 答 案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D D C A C B 二、多项选择题 9 10 11 BC ACD CD 三、填空题 12 13 14 2026 四、解答题 15.【详解】（1）由，解得或，由图象知. 易知，由可得，（，且）， 所以，， 所以，. 所以. （2）由（1）得，当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为，适合上式， 所以直线的方程为. 由消去得， 所以，解得，所以点的坐标为. 同理得，直线的方程为， 由消去得， 所以，解得，所以点的坐标为. 则点到直线的距离为 ， 点到直线的距离为 ， 所以. 设，由反比例函数性质知在上单调递减，所以， 所以的取值范围是. 16.【详解】（1）甲随机涂黑一个，在方格的四个角和中心处，显然乙可以不重复地一次性经过所有白色方格， 只有当甲涂黑，，，时，乙无法不重复地一次性经过所有白色方格， 故甲获胜的概率为. （2）我们为格子标号： 1 黑格 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 乙不妨从1出发，则乙的路线必定是1→2→1→2…， 若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1， 若最后是2，则说明1的数量和2的数量相同，若最后是1，则说明比2多一个， 由于m为奇数，则第3，5，7…列，1的数量比2的数量多1个， 这样的列数一共有个，也就是1比2的数量多， 同理，第2，4，6，…，2的数量比1的数量多一个（不考虑黑格），这样的列一共有列， 因此1的数量比2的数量多个， 但实际情况是第二列中1的数量和2的数量一样多，因此1的数量比2的数量多两个， 这说明乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，因此当m为奇数时，甲一定获胜. （3）受到（2）的启发，我们仍然为格子标号： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 乙的路线仍然是1→2→1→2→…,乙获胜只需要使1和2一样多，或1比2多一个， 我们考虑1比2多两个的情况： 若不考虑涂黑的格子，由（2）可知：1比2的数量多1个 当且仅当涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜， 第1，3，5…m列共有个2，第2，4，6…列共有个2，因此一共有个2， 又因为甲可以涂黑除了共个方格，因此甲获胜的概率. 17.【详解】（1）因为，解得：. 又成等比数列. 所以. 所以解得或. 又 所以. 所以； （2）由（1）知 所以， 所以， 令，则， 所以为8的正约数：1，2，4，8， 当时：，对任意的，仍然是数列中的一项，符合题意. 当时：，当时，，不符合题意. 当时：，当时，，不符合题意. 当时：，当时，，不符合题意. 综上满足条件的值为1. （3）由（2）知,， 等比数列的公比， 又， 所以：， 当时：化简得： 由>7，得，， 当时：，.不满足数列的每一项都是正整数. 当时，.满足题意. 当时，.满足题意. 18.【详解】（1）当时．．其定义域为， 所以， 令，所以． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，且，所以恒成立． 则在单调递减． （2）因为，，，， 若，则，求导可得， 当时，，则单调递增，，不合题意； 若，当时，，不合题意； 所以考虑． 当时，等价于，令， 所以， ①若，则当时，，故在区间单调递减，， 所以当时，，故． ②若，，， 可得在区间单调递增，而， 所以当时，，． 综上，的取值范围是． （3）由题意需证：，即， 令，，则，有， 两边同时取对数得， 只需证：（*） 令， 所以， 由（1）知，时，，则， 所以在内单调递减，且， 所以不等式（*）成立，即该星系得辐射强度没有达到级. 19.【详解】（1）由平面过点，且法向量为， 设在平面上，则，且， 所以，即， （2）因为坐标平面Oxy的方程为， 所以联立，得， 即为曲线的方程，又在曲线上， 所以根据椭圆性质可得|PQ|的最大值等于椭圆的长轴长， 即， （3）存在定点和为曲线C的两个焦点， 理由如下： 设椭圆上任一点为，A到M的距离为，A到直线的距离为， 平面与坐标平面Oxy的交线为，， 由平面的法向量可得平面与坐标平面Oxy的夹角为， 则A到平面的距离， 所以 ， 若要使该式是定值，则，即， 所以为定值. 数学试题答案 第 1 页│共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$