精品解析：江苏省盐城市盐都区2025-2026学年度第一次学情调研 九年级数学试卷

2025-2026学年度第一次学情调研 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题纸上相应位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 在平面直角坐标系中,点关于y轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 4. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形的周长是对角线与交于点是中点，的周长比的周长多，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，点、在同一象限，则 D. 若，点、在不同象限，则 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）． 9. 地球距月球大约为38.4万千米的，将38.4万用科学记数法表示为_______． 10. 因式分解：=_____． 11. 如图，点D在射线上，直线，，那么的度数为______． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_________. 13. 已知是锐角，且，则__________． 14. 若一次函数的图像向上平移两个单位后经过点，则代数式的值为____． 15. 如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______． 16. 已知中，，延长到点D，使，过点A、D分别作、的平行线交于点E，连接，则线段的取值范围为______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 解分式方程：． 20. 某电影院为了全面了解观众对《飞驰人生3》的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的观众共有______人； （2）扇形统计图中，扇形C的圆心角是______； （3）请补全条形统计图； （4）春节期间，该电影院来观看《飞驰人生3》的观众约4000人，请估计观众中对该电影满意的人数．（A、B、C类视为满意） 21. 26年春晚的吉祥物是一组名为：“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”和“骋骋”（分别记作A，B，C，D）的四匹骏马，小明在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．现将这四张卡片背面朝上洗匀后，玩如下游戏： （1）小明从中随机抽取一张卡片，恰好抽到“骐骐”的概率为 ； （2）小明从中一次随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片正好是“骐骐”和“骥骥”的概率． 22. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ （1）的度数 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 23. 团扇又称宫扇、纨扇，是一种圆形有柄的扇子，它代表着团圆友善、吉祥如意，是中国汉族传统工艺品及艺术品．如图1是一柄团扇示意图，它由一个手柄和一个扇面组成，手柄所在直线经过扇面圆心，将其插入扇架中间并垂直于底座，为方便取用，扇架两端的支架高度要不大于手柄长度的一半，如图2，已知该团扇的半径为，过扇柄一端P的直线与扇面相切于点A，． （1）求扇架支架的的最大高度； （2）为了美观，要在如图2所示的阴影部分做装饰，求做装饰部分的面积． 24. 端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m千米的速度匀速行驶，途中休息了一段时间后，仍按照每小时m千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程，与时间之间的函数关系的图象请根据图象提供的信息，解决下列问题： 图中E点的坐标是______，题中______，甲在途中休息______h； 求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围； 两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？ 25. 已知抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于点，，且． （1）当，，且时． ①求抛物线的表达式； ②当时，求此函数的最大值与最小值的和； （2）若，，求证：． 26. 阅读材料，解决问题． 课题 图形翻折变换中圆的有关问题探究 素材 如图1，在中，，，，点E、F分别是边、上的动点，连接，，在同一平面内，将沿着翻折得，M为的中点，过点M作的垂线交于点O，以长为半径作． 变换1 如图2，点E为的中点，且点P恰好落在边上，与交于点H，连接． 变换2 如图3，平分，且． （1）问题1：根据素材和变换1： ①请说明； ②与相切吗？请说明理由． （2）问题2：根据素材和变换2： ①直接写出的半径的长为______． ②取图3中的四边形，请用无刻度的直尺与圆规在四边形中作出一个最大的半圆．（保留作图痕迹，不写作图过程，不需证明） 27. 数学活动课上，张老师带领同学们探索菱形的位置变换，研究发现，在某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． 【问题情境】 如图1，将两张形状相同的透明菱形纸片、叠放在一起，点与点重合，点、分别在边、上，点落在对角线上．已知，，，点为的中点． 【操作探究】 （1）如图2，将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点． ①试判断四边形是哪一种特殊四边形？并说明理由； ②求四边形的面积． 【拓展提升】 （2）在（1）的条件下，将菱形纸片绕点逆时针旋转，直线和直线分别与直线交于点、． ①当点落在直线上时，求的长； ②当菱形纸片旋转至时，请直接写出的长； ③如图3，当点落在线段的延长线上时，设，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一次学情调研 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题纸上相应位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数， ∴. 2. 在平面直角坐标系中,点关于y轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律计算得到对称点坐标，即可选出正确选项． 【详解】解：∵ 平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数． 又∵ 点的坐标为， ∴ 对称点的横坐标为，纵坐标仍为， 即点关于y轴对称点Q 的坐标为． 3. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 【答案】C 【解析】 【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比． 【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图． 故选C． 【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键． 4. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，平行四边形的周长是对角线与交于点是中点，的周长比的周长多，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到，由的周长比的周长多，则，求出AD的长度，即可求出AE的长度． 【详解】解：∵平行四边形的周长是， ∴， ∵BD是平行四边形的对角线，则BO=DO， ∵的周长比的周长多， ∴， ∴，， ∴， ∵，点E是中点， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题． 6. 小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两段跑步的总时间等于总用时建立方程. 【详解】解：∵设小明以米/秒的速度跑了米，总路程为米， ∴剩下的路程为米， ∴以米/秒跑米的时间为秒，以米/秒跑剩下路程的时间为秒， ∵总用时为分钟，需统一单位为秒，即总时间为秒， ∴根据总时间的等量关系可列方程. 7. 若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：B． 8. 已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，点、在同一象限，则 D. 若，点、在不同象限，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断和，该反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解； 【详解】解：A．若，则随的增大而减小，不知道的值在哪个象限，无法判断，故 A 错误，不符合题意； B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则可能小于 0 也可能大于 0 ，故 B 错误，不符合题意； C．若，点在同一象限，则随的增大而减小，所以，故 C 正确，符合题意； D．若，点在不同象限，则，故D错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）． 9. 地球距月球大约为38.4万千米的，将38.4万用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，． 【详解】解：38.4万， 故答案为：． 10. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 11. 如图，点D在射线上，直线，，那么的度数为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_________. 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，根据一元二次方程的根与的关系列出不等式即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 13. 已知是锐角，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据cosA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值． 【详解】解：由cosA=知， 如果设b=5x，则c=13x，结合a2+b2=c2得a=12x； ∴ ． 故， 【点睛】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 14. 若一次函数的图像向上平移两个单位后经过点，则代数式的值为____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移规律，点与函数图象的关系以及代数式求值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先根据平移规律得到平移后的一次函数解析式，再代入点坐标得到与的等量关系，最后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后，所得函数解析式为 ， 由于平移后的图象经过点， 则， 即， 因此，． 15. 如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______． 【答案】 【解析】 【分析】由切线的性质得，则，由折叠得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵与所在的圆相切于点B， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 已知中，，延长到点D，使，过点A、D分别作、的平行线交于点E，连接，则线段的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证得四边形是平行四边形，再确定点A的轨迹是在以为弦的圆弧上，求出弦所对的圆心角，设B为坐标原点，直线为x轴，建立坐标系，再确定点E的轨迹，及圆心坐标，求出，即可解答． 【详解】解：∵，延长到点D，使， ∴，， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵中，， ∴点A在以为弦的圆弧上，弦所对的圆心角为， 设这个圆的圆心为，半径为R， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点A在这个圆上运动（不含B、C两点）， 作，于点F， ∴， 设B为坐标原点，直线为x轴，则：，，， 设点，则由（即平行于x轴），， ∵，， 点E的轨迹，就是点A的轨迹圆向右平移6个单位得到的圆，半径仍为2， ∴，，， ， 点E在圆，因此的取值范围为： ，即． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 18. 解不等式组：． 【答案】. 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】 解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解答此题的关键． 19. 解分式方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【详解】解：两边同时乘以得：， 解得：， 检验：将代入， 是方程的增根，原方程无解． 20. 某电影院为了全面了解观众对《飞驰人生3》的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的观众共有______人； （2）扇形统计图中，扇形C的圆心角是______； （3）请补全条形统计图； （4）春节期间，该电影院来观看《飞驰人生3》的观众约4000人，请估计观众中对该电影满意的人数．（A、B、C类视为满意） 【答案】（1）100 （2）54 （3）补全条形图如图： （4）3800人 【解析】 【分析】（1）用A类别的人数除以所占的比例，进行求解即可； （2）用360度乘以C类别的人数，进行求解即可； （3）根据C类别的人数补全条形图即可； （4）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【小问1详解】 解：（人）； 【小问2详解】 解：C类别的人数为：， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（人）； 答：估计观众中对该电影满意的人数为3800人． 21. 26年春晚的吉祥物是一组名为：“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”和“骋骋”（分别记作A，B，C，D）的四匹骏马，小明在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．现将这四张卡片背面朝上洗匀后，玩如下游戏： （1）小明从中随机抽取一张卡片，恰好抽到“骐骐”的概率为 ； （2）小明从中一次随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片正好是“骐骐”和“骥骥”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“骐骐”的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片正好是“骐骐”和“骥骥”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“骐骐”的结果有1种， ∴恰好抽到“骐骐”的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正好是“骐骐”和“骥骥”的结果有：，，共2种， ∴抽取的两张卡片正好是“骐骐”和“骥骥”的概率为． 22. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ （1）的度数 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）过点P作交延长线于T，证明，解求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解；如图所示，过点P作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：点P距离地面的高度约为． 23. 团扇又称宫扇、纨扇，是一种圆形有柄的扇子，它代表着团圆友善、吉祥如意，是中国汉族传统工艺品及艺术品．如图1是一柄团扇示意图，它由一个手柄和一个扇面组成，手柄所在直线经过扇面圆心，将其插入扇架中间并垂直于底座，为方便取用，扇架两端的支架高度要不大于手柄长度的一半，如图2，已知该团扇的半径为，过扇柄一端P的直线与扇面相切于点A，． （1）求扇架支架的的最大高度； （2）为了美观，要在如图2所示的阴影部分做装饰，求做装饰部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，过点作于点，依题意得：，，，在同一条直线上，，，，在中，由勾股定理得，进而得，由此可得扇架两端支架的取值范围； （2）先在中，利用锐角三角函数求出，进而再分别求出，，进而即可得出阴影部分面积． 【小问1详解】 解：连接，，如图所示： 依题意得：，，，在同一条直线上， ∵扇面的半径为， ∴， ∵直线与扇面相切于点，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴（cm）， ∴扇架两端支架的取值范围为：； ∴的最大高度为； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图所示： 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ， ∴装饰部分的面积为：． 24. 端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m千米的速度匀速行驶，途中休息了一段时间后，仍按照每小时m千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程，与时间之间的函数关系的图象请根据图象提供的信息，解决下列问题： 图中E点的坐标是______，题中______，甲在途中休息______h； 求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围； 两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？ 【答案】，100，1；直线CD的解析式为：；两人第二次相遇后，又经过时或时两人相距 【解析】 【分析】(1)根据速度和时间列方程：60×1+m=160，可得m=100，根据D的坐标可计算直线OD的解析式，从图中知E的横坐标为2，可得E的坐标，根据点E到D的时间差及速度可得休息的时间； (2)利用待定系数法求直线CD的解析式； (3)先计算第二次相遇的时间：y=360时代入y=80x可得x的值，再计算x=5时直线OD的路程，可得路程差为40km，所以存在两种情况：两人相距20km，列方程可得结论． 【详解】由图形得， 设OD的解析式为：， 把代入得：，， ：， 当时，， ， 由题意得：，， ， 故答案为，100，1； ，， 直线AE：， 当时，， ， ， ， 设CD的解析式为：， 把，代入得：，解得：， 直线CD的解析式为：； 的解析式为：， 当时，， ， 出发5h时两个相距40km， 把代入得：， 出发时两人第二次相遇， 当时，， ，， 当时，， ，， 答：两人第二次相遇后，又经过时或时两人相距 【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，理解横、纵坐标表示的含义，熟练掌握一次函数的相关知识、利用数形结合思想是解题的关键． 25. 已知抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于点，，且． （1）当，，且时． ①求抛物线的表达式； ②当时，求此函数的最大值与最小值的和； （2）若，，求证：． 【答案】（1）①；② （2） 证明：，且， ， ， 由题意，、是一元二次方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据二次函数的增减性求出最大值和最小值即可； （2）根据题意，得到、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系，求出，将其代入一元二次方程，求出，进而得到，即可. 【小问1详解】 解：①当，，则抛物线经过点，， 且，则，解得：， 则抛物线的表达式为． ②∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，y取最小值为， 当时，y取最大值为12， 则． 【小问2详解】 略 26. 阅读材料，解决问题． 课题 图形翻折变换中圆的有关问题探究 素材 如图1，在中，，，，点E、F分别是边、上的动点，连接，，在同一平面内，将沿着翻折得，M为的中点，过点M作的垂线交于点O，以长为半径作． 变换1 如图2，点E为的中点，且点P恰好落在边上，与交于点H，连接． 变换2 如图3，平分，且． （1）问题1：根据素材和变换1： ①请说明； ②与相切吗？请说明理由． （2）问题2：根据素材和变换2： ①直接写出的半径的长为______． ②取图3中的四边形，请用无刻度的直尺与圆规在四边形中作出一个最大的半圆．（保留作图痕迹，不写作图过程，不需证明） 【答案】（1） ①证明： ∵在 中，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵沿着翻折得， ∴， ∴， ∴在 中，， ∴； ②解：与相切，理由如下： ∵在 中，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵在 中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴，． ∴， 在和中，，，即， 又∵， ∴， ∴，即 ， 又为的半径， ∴与相切； （2）①； ②如图： 【解析】 【分析】(1)①根据已知条件证得是等边三角形，得，再由沿着翻折得，得，得，最后，得 ，即； ②首先，证得是等边三角形， 得，得， 再由垂直平分， 得，，可得，，再证得， 得，即可证得结论； (2)①首先，由沿着翻折得， 得，得，，再由平分，，证得是正方形的内切圆，然后，再设，则，由，得，，最后，由，列方程，解方程即可； ②根据作图步骤作出一个最大的半圆即可． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 ①解：∵沿着翻折得， ∴， ∴，， ∵平分，， ∴，点落在线段上， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵M为的中点，过点M作的垂线交于点O， ∴是的切线，， ∴是正方形的内切圆． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即，解得， ∴； ②解：如图，连接，以P为圆心，长为半径作弧与交于一点，再以F点为圆心，F到对角线与弧线的交点的长为半径作弧与交于一点Q，过点Q作的垂线与对角线交于点，最后，以为圆心，长为半径的半圆就是所求作的图形． 【点睛】证得是等边三角形，由沿着翻折得， 得，证得，得 ，即 ，证得是正方形的内切圆，设，再得，即，同时，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形性质的运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形是解决问题的关键． 27. 数学活动课上，张老师带领同学们探索菱形的位置变换，研究发现，在某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． 【问题情境】 如图1，将两张形状相同的透明菱形纸片、叠放在一起，点与点重合，点、分别在边、上，点落在对角线上．已知，，，点为的中点． 【操作探究】 （1）如图2，将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点． ①试判断四边形是哪一种特殊四边形？并说明理由； ②求四边形的面积． 【拓展提升】 （2）在（1）的条件下，将菱形纸片绕点逆时针旋转，直线和直线分别与直线交于点、． ①当点落在直线上时，求的长； ②当菱形纸片旋转至时，请直接写出的长； ③如图3，当点落在线段的延长线上时，设，，直接写出的值． 【答案】（1）①解：四边形 是菱形． 理由如下， 如图 2： 由平移得 ，， 菱形纸片 中，，，， ，，即 ，， 四边形 是平行四边形． ， ， ， ， ， 即， ， 平行四边形 是菱形． ② （2）①或；②；③ 【解析】 【分析】（1）①根据平移的性质，先证明四边形 是平行四边形，进而证明，即可得证； ②连接 ，，设交于点，则经过 点，，由题意知，勾股定理求得，证明得出，进而根据菱形的性质，即可求解． （2）①如图3，当点落在直线上时，连接，证明，解直角三角形，得出，进而根据；当重合时，； ②当菱形纸片旋转至时，解直角三角形，求得，根据，即可求解； ③过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则，依题意，菱形与菱形相似，求得，根据得出，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：①略 ②连接 ，，设交于点 ∵点为的中点 ∴经过 点， 由题意知 ∵， ∴ ∵四边形 是菱形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴菱形的面积为； 【小问2详解】 解： ①如图3，当点落在直线上时，连接， 由（1）可得， ∴在以为圆心，为半径的圆上，且为直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴当重合时，如图所示， 此时， 综上所述，的长为或； ②当菱形纸片旋转至时，如图所示， ∵， ∴，即 ∵ ∴ ∴； ③如图3，当点落在线段的延长线上时，设，， 过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则， ∵是上的点，平分 ∴， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 由①可得 ∴， ∴， 依题意，菱形与菱形相似， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 即， 设，则， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $