精品解析：2025年江苏省盐城市盐都区部分校中考第一次检测数学试题

2025年春学期第一次学情调研 九年级数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的加减、同底数幂的乘法和除法、积的乘方逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选C 【点睛】此题考查了整式的加减、同底数幂的乘法和除法、积的乘方，熟记各运算法则是解题关键． 3. 如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A. 9 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握，利用全等三角形的性质“全等三角形对应边相等”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较． 【详解】∵ ∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小， 根据A，B，C点横坐标，可知点A，B在第三象限，C在第一象限， ， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 5. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算出，再根据三角函数的定义，即可得解． 【详解】解：根据勾股定理可得， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数，牢固掌握相关知识是解题关键． 6. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 7. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°． ∵∠A=50°， ∴∠C=180°-50°=130°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论： ①； ② 若，则点P坐标为； ③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的定义计算即可判断①；由可得点在轴上，由可得，据此求出点的坐标即可判断②；根据可得，即可判断③；由题意得出，然后计算出满足条件的点的全体组成的图形面积即可判断④． 【详解】解：点坐标为和点坐标为， ，， ，故①正确； ， 点在轴上，设点的坐标为， ， ， ， 或， 点的坐标为或，故②错误； 设点的坐标为， 若，则， ，即：， 解得：或， 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上，故③正确； ， ， ， 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 在同一坐标系中画出它们的图象如图： 满足条件的点的全体组成的图形面积为，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的位置关系，坐标系中三角形的面积问题，一次函数的应用以及新定义“关联值”的理解与应用．解题的关键是读懂“关联值”的定义，数形结合解决问题． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 9. 分解因式：_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 10. 人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法表示方法，进行解答． 【详解】解：142亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 11. 如图，在中，，剪去成四边形，则的度数为_______． 【答案】##230度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及多边形内角和，根据在中，，得出，结合四边形内角和是，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由四边形内角和是，则， 故答案为：． 12. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， ， 解得：， 当时 （）， 故答案为：． 13. 如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点是网格线的交点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交格点于，连接，在网格中求出相关线段长度，再根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，且，由等腰直角三角形性质求出，由邻补角求解即可得到答案． 【详解】解：延长交格点于，连接，如图所示： ，， 则， 即是等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查求角度，涉及勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、邻补角等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根的定义，解题关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，得出，代入整式方程求解即可． 【详解】解：将分式方程化为整式方程为， 分式方程有增根， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加迷你马拉松比赛，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．他跑步的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是______________．（填写序号） ① 第所用的时间最长； ② 前的平均速度大于最后的平均速度； ③ 第和第的平均速度相同； ④ 第的平均速度最大． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故①说法正确； 平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，第配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故④说法正确； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选③说法正确； 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故②说法错误； 综上所述：说法正确的是①③④． 故答案为①③④． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点，点分别是正方形的边上的动点，且，过原点作，垂足为，连接，则面积的最大值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作于点，如图所示，先证明，再证点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大，由相似三角形的性质可求，的长，由三角形的面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作于点，如图所示： 直线分别与轴、 轴相交于点、， 点，点， , ， ， 四边形是正方形， ， ，， 又， ， ， 点是的中点，即点是的中点， ， ， ， 点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大， 点是的中点， ， ，， ， 则， ， ， 又， ， ， 则 ，解得，， ， ，， ， ，即， ， ， 点到的最大距离为， 面积的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，涉及正方形的性质、勾股定理、一次函数图象与性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、动点最值-辅助圆问题等知识，求出的长是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先由二次根式性质化简、计算负整数指数幂及特殊角的三角函数值，最后由二次根式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数混合运算，涉及二次根式性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数以及二次根式减法运算等知识，熟练掌握二次根式性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数以及二次根式减法运算法则是解决问题的关键． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握其解法是解本题的关键． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以这个不等式组的解集为． 19. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先运算除法，再运算减法，化简得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶 标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．慕梓睿在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是 ； （2）若慕梓睿将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的有2种， ∴两种样本溶液恰好都变红色的概率为． 21. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）实数的值是______； （2）在数轴上还有两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的值； （3）在数轴上还有点表示实数，且，化简： 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，算术平方根的化简，非负数的性质，熟练的化简绝对值与理解非负数的性质是解本题的关键； （1）由“蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点”即可求解； （2）利用算术平方根和绝对值的非负性即可求解． （3）先判定，，再化简即可． 【小问1详解】 解：∵点表示，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点 ∴实数的值是： 【小问2详解】 ∵与互为相反数，所以． ∴，， ∴，， ∴． 【小问3详解】 ∵，， ∴，， ∴ ； 22. 如图1，在一个深的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度随时间的变化图象． （1）放入的长方体的高度为 ； （2）求所在直线的函数表达式； （3）求该容器注满水所用的时间． 【答案】（1）20 （2） （3）容器注满水所用的时间为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解图象的意义是解题的关键． （1）分析函数图象即可求解； （2）利用待定系数法求一次函数解析式； （3）将代入，即可求解容器注满水所用的时间． 【小问1详解】 解：由函数图象得，当时，， 3分钟后图象发生变化，即水面超过小长方体， ∴放入的长方体的高度为， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：设所在直线的函数表达式为：， 则代入得：, 解得：， ∴所在直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，则， 解得：， ∴该容器注满水所用的时间为． 23. 2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期，某公司生产了一批机器人即将投入市场，为了解这批机器人的工作时长（充满电后能工作的时长），从这批机器人中随机抽取部分机器人进行测试，得到数据进行如下统计和分析． [数据收集]对所抽取机器人工作时长进行统计（单位：h）： 6.3 6.4 6.6 6.7 6.8 6.9 7.1 7.3 7.3 7.3 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.0 8.2 [数据整理]对所统计数据整理如下： 组别 工作时长（） 机器人数量（台） 组内工作总时长（） A 2 12.7 B 27.0 C 6 43.7 D 5 E 3 24.2 [数据分析及问题解决]请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填写表格中所缺数据，_______，_______； （2）所抽取机器人工作时长的中位数是______，平均数是______； （3）若这批机器人共有2000台，请估计这批机器人工作时长不小于的有多少台？ 【答案】（1）4 ，38.4 （2）7.3 ，7.3 （3）800台 【解析】 【分析】（1）由题中[数据收集]对所抽取机器人工作时长进行统计中的数据进行分析求解即可得到答案； （2）由题中[数据收集]对所抽取机器人工作时长进行统计中的数据，根据中位数及平均数的求法代值求解即可得到答案； （3）由样本中的数据估算总体中的情况即可得到答案． 【小问1详解】 解：由[数据收集]可知，工作时长在的机器人呢数量是4台，则； 由[数据收集]可知，工作时长在的5台机器人的工作时长为7.5 7.6 7.6 7.8 7.9，则； 故答案为：4，38.4； 【小问2详解】 解：由由[数据收集]可知，排在中间的两个数是7.3 7.3，则所抽取机器人工作时长的中位数是7.3； 由由[数据收集]可知，所抽取机器人工作时长的平均数是； 故答案为：7.3 ，7.3； 【小问3详解】 解：样本中，这批机器人工作时长不小于的有台， 则2000台机器人中，工作时长不小于的有台， 答：若这批机器人共有2000台，估计这批机器人工作时长不小于的有800台． 【点睛】本题考查统计综合，涉及频数统计表、求中位数、平均数、由样本估计总体等知识，熟记相关统计量的定义及求法是解决问题的关键． 24. 桑梯—登以探桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是． （1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度． （2）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，精确到米） 【答案】（1）2.2米 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知易得是等边三角形，从而可得，再根据线段中点的定义可得米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义列式求出的长，即可得到答案； （2）过点作，垂足为，然后分两种情况：当时；当时，分别运用三角函数列式求出的长，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，如图所示： 米，， 是等边三角形， ， 点是的中点， 米， 米， 在中，， 答：此人离地面（）的高度约为米； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，如图所示： 当 时， 米， ， 米， 米， 在中，； 当时， 米， ， 米， 米， 在中，； 在安全使用范围下，桑梯顶端到地面的距离范围是． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及等边三角形的判定与性质、中点定义、正弦定义、解直角三角形、三角形内角和定理、等腰三角形性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线，构造直角三角形运用三角函数求解是解题的关键． 25. 如图，中，， （1）尺规作图：请在图1的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则直径、弦围成的封闭图形的面积为_______．（直接写出答案，可用备用图分析） 【答案】（1）解：如图所示点即为所求；： （2） 【解析】 【分析】（1）先作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心， 的长为半径画圆，再作的平分线，交于点，则点即为所求； （2）连接，过点作于点 ，由题意可得，，，由（1）知，为的平分线，则，，进而可得，则可得直径、弦、围成的封闭图形的面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点作于点，如图所示： ，， ， ， 由（1）知，为的平分线， ， ， ， 直径、弦围成的封闭图形的面积：， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图一复杂作图、角平分线的性质、勾股定理、圆周角定理、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26. 如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F， （1）若，求线段的长； （2）在（1）的条件下，连接交于点N，求的值； （3）在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2） （3）4或 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，进而即可求得线段EF的长； （2）过点N作于点M，证明得出再证明得出，设则，代入比例式得出，进而即可求解； （3）当P在B点的左侧时，过点P作于点Q；当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，分别解直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解： 又 解得； 【小问2详解】 如图，过点N作于点M， 即， 又 设，则 解得 ； 【小问3详解】 如图所示，当P在B点的左侧时，过点P作于点Q， 设，则， 又 即 解得 在中，， ； 如图所示，当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T， 设，则 即 解得 ， 综上所述：的长度为4或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键 27. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ）构成．已知，点分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边 上设置一排间距为的定位坐标（为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用含的代数式表示： 区块Ⅰ的面积 、 区块Ⅱ的面积 、 区块Ⅲ的面积 ． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的点为最佳定位点，请直接写出所有的最佳定位点E的坐标． 【答案】（1）任务1：；；；任务2：或；任务3：有2个最佳定位点，分别为， 【解析】 【分析】任务1：由题中数据，结合正方形性质及三角形面积公式代值求解即可得到答案； 任务2：由题意，分两种情况，作出图形，结合正方形性质及三角形面积公式代值求解即可得到答案； 任务3：由区域乙的面积为，结合任务2中所求区域乙的面积函数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：任务1，如图所示： 正方形中，，， 区块Ⅰ的面积； ， ，，则区块Ⅱ的面积； 区块Ⅲ的面积; 故答案为：；；； 任务2，如图所示： 在正方形中，，， ， ， ， ， ； 当为中点时，是等腰三角形，且，此时； 综上所述，或； 任务3，由任务2可知或， 区域乙的面积为， ，且满足， ，则， ，即， 解得，或， 则或， ， ， 的结果为整数， 必须是偶数，则可取， 即有2个最佳定位点，分别为，． 【点睛】本题考查二次函数解应用题，涉及正方形性质、三角形面积、全等三角形的判定与性质、等腰三角形判定与性质、不规则图形面积的求法、配方法、解不等式等知识，读懂题意，数形结合表示出区域面积是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期第一次学情调研 九年级数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A. 9 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 8. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论： ①； ② 若，则点P坐标为； ③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 9. 分解因式：_________________ ． 10. 人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为___________． 11. 如图，在中，，剪去成四边形，则的度数为_______． 12. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是_______． 13. 如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点是网格线的交点，则_______． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 15. 2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加迷你马拉松比赛，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．他跑步的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是______________．（填写序号） ① 第所用的时间最长； ② 前的平均速度大于最后的平均速度； ③ 第和第的平均速度相同； ④ 第的平均速度最大． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点，点分别是正方形的边上的动点，且，过原点作，垂足为，连接，则面积的最大值为_____________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简再求值：，其中． 20. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶 标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．慕梓睿在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是 ； （2）若慕梓睿将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 21. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）实数的值是______； （2）在数轴上还有两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的值； （3）在数轴上还有点表示实数，且，化简： 22. 如图1，在一个深的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度随时间的变化图象． （1）放入的长方体的高度为 ； （2）求所在直线的函数表达式； （3）求该容器注满水所用的时间． 23. 2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期，某公司生产了一批机器人即将投入市场，为了解这批机器人的工作时长（充满电后能工作的时长），从这批机器人中随机抽取部分机器人进行测试，得到数据进行如下统计和分析． [数据收集]对所抽取机器人工作时长进行统计（单位：h）： 6.3 6.4 6.6 6.7 6.8 6.9 7.1 7.3 7.3 7.3 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.0 8.2 [数据整理]对所统计数据整理如下： 组别 工作时长（） 机器人数量（台） 组内工作总时长（） A 2 12.7 B 27.0 C 6 43.7 D 5 E 3 24.2 [数据分析及问题解决]请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填写表格中所缺数据，_______，_______； （2）所抽取机器人工作时长的中位数是______，平均数是______； （3）若这批机器人共有2000台，请估计这批机器人工作时长不小于的有多少台？ 24. 桑梯—登以探桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是． （1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度． （2）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，精确到米） 25. 如图，中，， （1）尺规作图：请在图1的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则直径、弦围成的封闭图形的面积为_______．（直接写出答案，可用备用图分析） 26. 如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F， （1）若，求线段的长； （2）在（1）的条件下，连接交于点N，求的值； （3）在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度． 27. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ）构成．已知，点分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边 上设置一排间距为的定位坐标（为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用含的代数式表示： 区块Ⅰ的面积 、 区块Ⅱ的面积 、 区块Ⅲ的面积 ． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的点为最佳定位点，请直接写出所有的最佳定位点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $