一次函数中三角形存在性问题 2025-2026学年 人教版 八年级数学下册

一次函数中三角形存在性问题 一次函数中三角形存在性问题 1 【知识梳理：等腰三角形】 1 【题型演练】 2 【知识梳理：直角三角形】 15 【题型演练】 16 【知识梳理：等腰直角三角形】 30 【题型演练】 30 1 学科网（北京）股份有限公司 一次函数中三角形存在性问题 【知识梳理：等腰三角形】 等腰三角形的分类标准：等腰三角形的分类方法一般可以利用顶角进行分类，这样就颇具顺序性，可以保证既不会重复也不会遗漏。如若△ABC为等腰三角形，则可以分为以下三类： ① 若∠A为顶角，则AB=AC ② 若∠B为顶角，则BA=BC ③ 若∠C为顶角，则CA=CB 等腰三角形存在性问题的处理方法： （1） 几何法，“两圆一线法”：已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形 1 已知AB=AC，以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上的任意一点都可以与点A,B组成以AB为腰的等腰三角形，如图（1）所示； 2 已知BA=BC，以B点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上的任意一点都可以与点A,B组成以AB为腰的等腰三角形，如图（2）所示； 3 若CA=CB，作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上的任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图（3）所示； 归纳：我们将以上三个图形合并成一个图形，如图（4）所示 （2） 代数法，“两点间距离公式计算”法 1. 先假设点C存在，分别表示出点A、B、C的坐标，再用两点间的距离公式表示出三边长 2. 由①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB分别列方程求解，若方程无解，则对应的点P不存在，若方程有解，则满足条件的点P存在。 【题型演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，点为轴上一个动点． (1)求直线的解析式； (2)当最小时，直接写出点的坐标：__________； (3)若以点，，为顶点的三角形为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)点E的坐标为、或 【分析】本题属于一次函数综合题，结合几何与函数是解题的关键． （1）结合直线，先求出点的坐标，再结合点，利用待定系数法求解直线的解析式； （2）路径最短问题，利用轴对称将折线转化为线段，作出关于轴的对称点，解出直线的函数表达式，求该表达式与轴的交点即可； （3）等腰三角形存在问题，分类讨论，利用两点之间的长度公式进行解题，列出对应方程并求解． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴当时，，即，解得， 故点的坐标为， 将点、代入直线：， 得，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：作点关于轴的对称点， 则点的坐标为， 连接，与轴相交于点，此时最小， 假设直线的函数表达式为， 将点、代入， 得，解得， 直线的解析式为 当时，，解得， ∴与轴的交点为， 故点的坐标为 ． （3）解： 以为腰时，， ∵，故，点在轴上，故不存在， 当时，假设点的坐标为， 则， 化简该方程得，解得、， 以为底时，即=，结合点 得， 故可得方程，解得， 综上，点E的坐标为、或 2．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． (1)求A点坐标； (2)在直线上是否存在点Q，使的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如果在y轴上存在一点P，使得为等腰三角形，求P点的坐标． 【答案】(1)(2,3) (2)存在，Q点坐标为：、 (3)存在，P点坐标为：、、、 【分析】（1）联立两直线的解析式，解二元一次方程组即可求解； （2）先求出B、C两点的坐标，进而求出，，分类讨论：当Q点在射线AB上时，有：，根据，可得，此时Q点坐标可求；当Q点在射线AC上时，有：，根据，可得，此时Q点坐标可求； （3）利用勾股定理求出OA，在分类讨论：当OA=OP时，可得，即此时P点坐标可求；当AO=AP时， ，根据A点坐标为：(2,3)，可得，进而可得，即此时P点坐标可求；当AP=OP时，即有，根据勾股定理可得，，则有，即此时P点坐标可求． 【详解】（1）联立，解得：， 即A点坐标为：(2,3)； （2）存在， ∵直线与坐标轴的交点C、B， ∴当x=0时，y=7，即B点坐标为(0,7)， 当y=0时，x=，即C点坐标为(,0)， ∴OB=7，OC=， ∵A点坐标为：(2,3)， ∴，， 当Q点在射线AB上时，如图， 有： ∵，， ∴，解得， ∴根据Q点在直线，可得， 即此时Q点坐标为：， 当Q点在射线AC上时，如图， 有：， ∵，， ∴，解得， ∴根据Q点在直线，可得， 即此时Q点坐标为：， 综上：Q点坐标为：、； （3）存在， ∵A点坐标为：(2,3)， ∴， 分类讨论： 当OA=OP时，△OAP是等腰三角形， 即， ∵P点在y轴上， ∴， ∴， 即此时P点坐标为：、； 当AO=AP时，△OAP是等腰三角形， 即， ∵A点坐标为：(2,3)， ∴， ∵P点在y轴上， ∴， ∴解得：，（舍去）， 即此时P点坐标为：； 当AP=OP时，△OAP是等腰三角形， ∵AP=OP， ∴， ∵P点在y轴上， ∴，， ∴， 解得：， 此时P点坐标为：． 综上所述：P点坐标为：、、、． 【点睛】本题考查了求解两直线交点坐标、已知坐标系中三角形面积求点坐标、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出坐标系两点之间的距离是解答本题的关键．解答本题要注重分类讨论的思想． 3．如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C；直线与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线交于点D．    (1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)直线的表达式为_____________． (3)在直线上是否存在点F，使？若存在，则求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或 (4)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）分别将代入，即可求得、两点的坐标； （2）根据一次函数图象的平移特点求解即可； （3）先求出的面积，然后根据三角形的面积关系即可求得点的纵坐标，再代入，即可求得点的横坐标； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵将直线向下平移3个单位长度得到直线， ∴的解析式为， 故答案为：； （3）解：存在； 把代入得， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， 将代入，得， ∴点F的坐标为或； （4）解：存在； ∵，， ∴， 设点，则： ， ， 当时，， 即， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当时，， 即， 解得：或， 此时点P的坐标为或； 当时，， 即， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，一次函数图象上点的坐标特点，等腰三角形的定义，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)直接写出点B、C的坐标： (2)点是直线图象上一点，设的面积为S，请求出S关于x的函数关系式；并探究当点M运动到什么位置时（求出M点坐标即可），的面积为10，并说明理由． (3)线段CD上是否存在点P，使为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)；或； (3)存在，或，． 【分析】（1）在，中，分别令，即可求点、的坐标； （2）由，可求；再令，即可求点的坐标； （3）设，则，，，分三种情况讨论：①当时，；②当时，，；③当时，，． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， 在中，令，则， ； （2）解：点是直线图象上一点， ， ； 当时，， 解得或， 或； （3）解：存在点，使为等腰三角形，理由如下： 设， ，根据两点距离公式可得：，， ①当时，， 解得或（舍）， ； ②当时，， 解得（舍）或（舍）； ③当时，， 解得， ，； 综上所述：点坐标为或，． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为，直线与直线，相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交，于点M，N，当时，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点E，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点D的坐标为或 (3)存在，点E的坐标为或或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质等知识，解题的关键是： （1）先求出C的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）设，则，，求出，根据，列出关于m的方程，然后求解即可； （3）过点作轴于点，则，利用勾股定理可得，设，则，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出点的坐标即可； 【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点C，点C的横坐标为1， ∴， 设直线的解析式为，把、代入，得： ， 解得：， ∴直线l1的解析式为； （2）解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：存在．理由如下： 如图1，过点作轴于点，则， ，， 在中，， 设，则， 当时，， 解得：或， 或； 当时， 轴，即， ，即， ； 当时， 解得： ∴ 综上所述，点的坐标为或或或 【知识梳理：直角三角形】 直角三角形的分类标准：如果一个三角形是直角三角形，则它的三个角都有可能是直角，故以直角作为分类讨论的标准，如若△ABC为直角三角形，分为三种情况： 1 ∠A=90° 2 ∠B=90° 3 ∠C=90° 直角三角形存在性问题的处理方法： （1） 几何法，“两线一圆”法（适用于两个定点和一个动点） 已知线段AB和直线l，在直线l上找点P，使△ABP为直角三角形 ①若∠PAB=90°，则过点A作线段AB的垂线，交直线l于点P1，则△ABP1为直角三角形 ②若∠PBA=90°，则过点B作线段AB的垂线，交直线l于点P2，则△ABP2为直角三角形 ③若∠APB=90°，以线段AB为直径作圆，交直线l于点P3、P4，利用直径所对的圆周角为90°，得∠AP3B=90°，∠AP4B=90°，则△ABP3、△ABP4为直角三角形 （2）代数法，勾股法 1. 先假设点P存在，分别表示出点A、B、P的坐标，再利用两点间的距离公式表示出三条线段的长度 2. 由①∠APB=90°，AB2=AP2+BP2；②∠PBA=90°，AP2=AB2+BP2；③∠PAB=90°，BP2=AB2+AP2；分别列出对应的方程，若方程无解，则点P不存在，若方程有解，则求出满足点P的坐标即可 【题型演练】 6．如图，直线：交y轴交于点，交x轴于点B；直线：过点，且交x轴于点C，x轴有一动点，过P点作x轴垂线交直线于点N，交直线于点M． (1)求直线：解析式及B、C点坐标； (2)是否存在P点，使得？若存在，求出P点坐标．若不存在，请说明理由． (3)当时，直接写出P点坐标是______； (4)已知平面内有一点，当为直角三角形，直接写出Q点坐标是______． 【答案】(1)直线：，，； (2)P点坐标为或； (3)或 (4)或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得直线与x轴的交点坐标； （2）由题意得，，则，，由，列式计算即可求解； （3）由（2）得，，根据，得到，据此列式计算即可求解； （4）先求得，，，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：过点和， ∴， 解得， ∴直线：， 令，则， 解得， ∴， 同理； （2）解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴P点坐标为或； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴， ∴， 同理，解得或； ∴P点坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵，，， ∴，，， 分情况讨论， 当时，则， ∴， 解得或， ∴Q点坐标是或； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 综上，Q点坐标是或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 7．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、． (1)求一次函数的表达式 (2)求四边形的面积； (3)在x轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)四边形的面积为 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）首先根据在直线上求解得到点D的坐标，进而将点B，D的坐标代入一次函数中即可求解一次函数的表达式； （2）将四边形的面积分为，进而构造高线，求解即可； （3）首先发现以点，，为顶点的三角形是直角三角形有两种情况，进而分为和进行计算，设出，表示出，，，即可解方程得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴，即， 将，代入一次函数中，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴于点E， ∵与y轴交于点A， ∴，即， ∵与x轴交于点C， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，，， ①：当时，， ∴，解得：， ∴； ②：当时，， ∴，解得：， ∴； ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题、梯形的面积计算、直角三角形的判定和勾股定理，分类讨论直角三角形的存在情况是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．    (1)填空： ， ； (2)x满足什么条件时，； (3)点P在线段AD上，连接CP，若是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)3，6 (2) (3)或 【分析】（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）根据（1）中所求的解析式，求出点A、C、D三点的坐标，再数形结合即可作答； （3）由是直角三角形、是锐角，分和两种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵是一次函数与的图象的交点， ∴，解得，即， ∴将代入可得：， 解得，即， 故答案为：3，6； （2）当时，即有， 解得：，即， 当时，即有， 解得：，即， ∵，，， ∴，， 结合图象可知：； （3）点P在线段上，是锐角，若是直角三角形，则或，    设点，且， ∵，， ∴，，， 当时，轴， ∴点C与点P的横坐标相等，即， ∴， ∴点P坐标为； 当时，，    ∴， 解得， ∴点P坐标为； 综上所述，所有符合条件的点P坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）首先利用待定系数法解得直线的关系式；求得点坐标，设点， 当，易得，利用面积公式求解即可； （2）然后设点，分为斜边、为斜边、为斜边三种情况分别进行分析计算，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入直线的关系式为， 可得，解得， ∴直线的关系式为， 令，可得， ∴， 令，可得， 解得，即， ∴，，，， 如下图，设点，    根据题意，， 则有，即点在之间， ∴， 解得， 此时， ∴； （2）由（1）可知，，设点， 如下图，      ∵为直角三角形， ∴①当为斜边时，即有， ∴； ②当为斜边时， ，， 此时可有， 解得； ∴； ③∵， ∴不可能为斜边． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析并解决问题． 10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点C，点C的横坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)如图1，点M为线段上一点，若，求点M的坐标； (3)如图2，点N为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D），交x轴于点E．若为直角三角形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标或． 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据（1）中所求，先求得点B的坐标，设点M的坐标为，再求得，进而得到，然后根据，用m表示出，即可解答； （3）分两种情况①当时，过点C作轴于点H，过点D作的延长线于点F，连接，根据折叠的性质，证明和，从而得到，进而求得即可；②当时，设点，先根据勾股定理求得，用n表示出和，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2，正比例函数经过点C， ∴把代入，得， ∴ 把，代入， 得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， ∴， ∴， 依题意，设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴； （3）解：①当时， 如图，过点C作轴于点H，过点D作的延长线于点F，连接， 则 ∵， ∴，， ∵将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D）， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴此时点的坐标为； ②当时，如图， ∵，即轴，， ∴，, ∴， 依题意，设点，则，， ∴， ∵将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D）， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点N的坐标或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形面积的计算等，解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 【知识梳理：等腰直角三角形】 等腰直角三角形存在性问题的解题策略： 1. 分类讨论思想：动点构成的等腰直角三角形问题，要分三个角分别可能为直角（或三条边分别可能为斜边）进行分类； 2. 数形结合思想：画出适合题意的图形，通常以直角顶点作坐标轴平行线，进而构造一线三垂直的全等（如图所示），写出三个点的坐标，表达出两个全等直角三角形的两条直角边，运用图形全等带来的对应边相等，建立等量关系，进而进行方程求解即可。 【题型演练】 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求、的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒），的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，的值为或 【分析】（1）先求直线与坐标轴交点得、，再由算出的坐标； （2）先求出关于的代数式，然后分在的左边和右边两种情况讨论即可； （3）以为直角边的等腰直角三角形，分两种情况：①，=，构造全等三角形，求出的坐标，再把它代入解析式，可求出，②，=,同理构造全等，可求出． 【详解】（1）解： 把代入， ， ， 把代入， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， 动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， ， ， ， ，且， 当时，， 当时，， 即； （3）解： 存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 解得； 如图2，当时，过点作轴交于点，同理可得， ， ， ， ， 解得 ； 综上所述： 的值为 或 5． 12．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， 点C为x轴负半轴上一点， (1)求的度数． (2)如图1，若点C的坐标为，，求点D的坐标(结果用含a的式子表示)． (3)如图2，在（2）的条件下， 若，过点D作轴于点E，轴于点F，点M为线段上一点，若第一象限内存在点使 为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的N点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或，． 【分析】（1）如图1中，设与轴交于点．根据四边形内角和定理，只要证明即可解决问题． （2）如图1中，求出直线、的解析式，再求出直线、的解析式，利用方程组求交点坐标． （3）分四种情形，利用全等三角形的性质，列出方程分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，设与轴交于点． ， ， ，， ， ， ， ． （2）解：如图1中， ，， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， ，， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 由解得， 点的坐标为． （3）解：①如图2中，作于，的延长线交于． 是等腰直角三角形， ，， 由，得， ，， ， ， ， ． ②如图3中，作于，于． 由，得， ， ， ，此时点不在线段上，不符合题意舍去． ③如图4中，作于，的延长线交于． 由得， ， ， ，． ④如图5中，作于，于． 由得， ， ， ， ，． 综上所述，满足条件的点的坐标为或，或，． 【点睛】本题考查三角形综合题、四边形内角和定理、一次函数的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组解决交点问题，学会解题常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 13．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于，两点． (1)求直线的函数解析式； (2)是直线上一动点，且的面积是的面积的2倍，求点P坐标； (3)如图2，在直线l：上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得直线的函数解析式为； （2）设，当P在第一象限时，求出，，故，可得；当P在第四象限时，，，故，可得； （3）设，求出，，，①当时，，解得或，再根据勾股定理得符合条件，此时；②当时，，解得或，由勾股定理知符合条件，此时，，③当时，，解得，此时，故不是等腰直角三角形，这种情况舍去． 本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】（1）（1）设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的函数解析式为； （2）设， 当P在第一象限时，如图： ，， ， 解得， ； 当P在第四象限时，如图： ，， ， 解得， ； 综上所述，P的坐标为或； （3）设， ，， ，，， ①当时，， 解得或， 若，则，， ，是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 若，则，， ，是等腰直角三角形，此时； ②当时，， 解得或， 当时，，， ，是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 当时，，， ，是等腰直角三角形，此时； ③当时，， 解得， ， 而， ， 不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 综上所述，Q的坐标为或 14．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝－x＋3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C． （1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积； （2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标； （3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A、B的坐标分别为（6，0），（0，3），点C（2，2）；△COB的面积＝3；（2）P（4，1）；（3）点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，） 【分析】（1）点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式y＝x，y＝﹣x+3得：点C（2，2）；△COB的面积＝，即可求解； （2）设点P（m，﹣m+3），S△COP＝S△COB，则BC＝PC，则（m﹣2）2+（﹣m+3﹣2）2＝22+12＝5，即可求解； （3）分∠MQN＝90°、∠QNM＝90°、∠NMQ＝90°三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线l2的解析式为y＝－x＋3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3）， 联立式y＝x，y＝－x＋3并解得：x＝2，故点C（2，2）； △COB的面积＝＝×3×2＝3； （2）设点P（m，－m＋3）， S△COP＝S△COB，则BC＝PC， 则（m－2）2＋（－m＋3－2）2＝22＋12＝5， 解得：m＝4或0（舍去0）， 故点P（4，1）； （3）设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3－m）、（0，n）， ①当∠MQN＝90°时， ∵∠GNQ＋∠GQN＝90°，∠GQN＋∠HQM＝90°， ∴∠MQH＝∠GNQ，∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN， ∴△NGQ≌△QHM（AAS）， ∴GN＝QH，GQ＝HM， 即：m＝3－m－n，n－m＝m， 解得：m＝，n＝； ②当∠QNM＝90°时， 则MN＝QN，即：3－m－m＝m，解得：m＝， n＝＝3－； ③当∠NMQ＝90°时， 同理可得：n＝； 综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，，，直线交直线于点C．    (1)求直线的解析式及C点的坐标； (2)如图1，P为直线上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且，当时，求最小值； (3)如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，直线上是否存在N点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，或，或， 【分析】（1）先求出点和点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，联立直线和的解析式，即可求得点的坐标； （2）先求出的面积，证明点在点的上方，设点的坐标为，其中，由，求得，得到点的坐标，作四边形是平行四边形，则，证得的最小值为，由勾股定理求出答案即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰直角三角形的性质分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 点的坐标是， ， ， 点的坐标为，， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入可得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得， 解得， 点的坐标是，； （2），， ， ， ，， 直线交直线于点． ， ， ， 点在点的上方， 为直线上一动点且在第一象限内， 设点的坐标为，其中， 点到轴的距离为， ， ， 解得， ， 点的坐标是，， 如图，过点向左作轴，且， 则的坐标为，，再作点关于轴的对称点， 则的坐标为，， 则连接交轴于点，在轴上截取，连接，    由作图过程知四边形是平行四边形，则， 的最小值为， 作于点，则的坐标为，，则，， 的最小值为． 即最小值为； （3）存在，理由如下： 将沿着射线方向平移，即将向左平移个单位，向下平移个单位， ，，， ①当时，如图，   直线的解析式为， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点坐标为，； ②当时，如图，   直线的解析式为， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点坐标为，； ③当时，如图，过点作于，   为等腰直角三角形， ，， ，，， 点的横坐标为， 直线的解析式为， ，， ， ， 点坐标为，； 综上所述，点坐标为，或，或，． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图形和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键． $ 一次函数中三角形存在性问题 一次函数中三角形存在性问题 1 【知识梳理：等腰三角形】 1 【题型演练】 2 【知识梳理：直角三角形】 15 【题型演练】 16 【知识梳理：等腰直角三角形】 30 【题型演练】 30 1 学科网（北京）股份有限公司 一次函数中三角形存在性问题 【知识梳理：等腰三角形】 等腰三角形的分类标准：等腰三角形的分类方法一般可以利用顶角进行分类，这样就颇具顺序性，可以保证既不会重复也不会遗漏。如若△ABC为等腰三角形，则可以分为以下三类： ① 若∠A为顶角，则AB=AC ② 若∠B为顶角，则BA=BC ③ 若∠C为顶角，则CA=CB 等腰三角形存在性问题的处理方法： （1） 几何法，“两圆一线法”：已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形 1 已知AB=AC，以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上的任意一点都可以与点A,B组成以AB为腰的等腰三角形，如图（1）所示； 2 已知BA=BC，以B点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上的任意一点都可以与点A,B组成以AB为腰的等腰三角形，如图（2）所示； 3 若CA=CB，作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上的任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图（3）所示； 归纳：我们将以上三个图形合并成一个图形，如图（4）所示 （2） 代数法，“两点间距离公式计算”法 1. 先假设点C存在，分别表示出点A、B、C的坐标，再用两点间的距离公式表示出三边长 2. 由①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB分别列方程求解，若方程无解，则对应的点P不存在，若方程有解，则满足条件的点P存在。 【题型演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，点为轴上一个动点． (1)求直线的解析式； (2)当最小时，直接写出点的坐标：__________； (3)若以点，，为顶点的三角形为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)点E的坐标为、或 【分析】本题属于一次函数综合题，结合几何与函数是解题的关键． （1）结合直线，先求出点的坐标，再结合点，利用待定系数法求解直线的解析式； （2）路径最短问题，利用轴对称将折线转化为线段，作出关于轴的对称点，解出直线的函数表达式，求该表达式与轴的交点即可； （3）等腰三角形存在问题，分类讨论，利用两点之间的长度公式进行解题，列出对应方程并求解． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴当时，，即，解得， 故点的坐标为， 将点、代入直线：， 得，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：作点关于轴的对称点， 则点的坐标为， 连接，与轴相交于点，此时最小， 假设直线的函数表达式为， 将点、代入， 得，解得， 直线的解析式为 当时，，解得， ∴与轴的交点为， 故点的坐标为 ． （3）解： 以为腰时，， ∵，故，点在轴上，故不存在， 当时，假设点的坐标为， 则， 化简该方程得，解得、， 以为底时，即=，结合点 得， 故可得方程，解得， 综上，点E的坐标为、或 2．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． (1)求A点坐标； (2)在直线上是否存在点Q，使的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如果在y轴上存在一点P，使得为等腰三角形，求P点的坐标． 【答案】(1)(2,3) (2)存在，Q点坐标为：、 (3)存在，P点坐标为：、、、 【分析】（1）联立两直线的解析式，解二元一次方程组即可求解； （2）先求出B、C两点的坐标，进而求出，，分类讨论：当Q点在射线AB上时，有：，根据，可得，此时Q点坐标可求；当Q点在射线AC上时，有：，根据，可得，此时Q点坐标可求； （3）利用勾股定理求出OA，在分类讨论：当OA=OP时，可得，即此时P点坐标可求；当AO=AP时， ，根据A点坐标为：(2,3)，可得，进而可得，即此时P点坐标可求；当AP=OP时，即有，根据勾股定理可得，，则有，即此时P点坐标可求． 【详解】（1）联立，解得：， 即A点坐标为：(2,3)； （2）存在， ∵直线与坐标轴的交点C、B， ∴当x=0时，y=7，即B点坐标为(0,7)， 当y=0时，x=，即C点坐标为(,0)， ∴OB=7，OC=， ∵A点坐标为：(2,3)， ∴，， 当Q点在射线AB上时，如图， 有： ∵，， ∴，解得， ∴根据Q点在直线，可得， 即此时Q点坐标为：， 当Q点在射线AC上时，如图， 有：， ∵，， ∴，解得， ∴根据Q点在直线，可得， 即此时Q点坐标为：， 综上：Q点坐标为：、； （3）存在， ∵A点坐标为：(2,3)， ∴， 分类讨论： 当OA=OP时，△OAP是等腰三角形， 即， ∵P点在y轴上， ∴， ∴， 即此时P点坐标为：、； 当AO=AP时，△OAP是等腰三角形， 即， ∵A点坐标为：(2,3)， ∴， ∵P点在y轴上， ∴， ∴解得：，（舍去）， 即此时P点坐标为：； 当AP=OP时，△OAP是等腰三角形， ∵AP=OP， ∴， ∵P点在y轴上， ∴，， ∴， 解得：， 此时P点坐标为：． 综上所述：P点坐标为：、、、． 【点睛】本题考查了求解两直线交点坐标、已知坐标系中三角形面积求点坐标、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出坐标系两点之间的距离是解答本题的关键．解答本题要注重分类讨论的思想． 3．如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C；直线与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线交于点D．    (1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)直线的表达式为_____________． (3)在直线上是否存在点F，使？若存在，则求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或 (4)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）分别将代入，即可求得、两点的坐标； （2）根据一次函数图象的平移特点求解即可； （3）先求出的面积，然后根据三角形的面积关系即可求得点的纵坐标，再代入，即可求得点的横坐标； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵将直线向下平移3个单位长度得到直线， ∴的解析式为， 故答案为：； （3）解：存在； 把代入得， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， 将代入，得， ∴点F的坐标为或； （4）解：存在； ∵，， ∴， 设点，则： ， ， 当时，， 即， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当时，， 即， 解得：或， 此时点P的坐标为或； 当时，， 即， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，一次函数图象上点的坐标特点，等腰三角形的定义，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)直接写出点B、C的坐标： (2)点是直线图象上一点，设的面积为S，请求出S关于x的函数关系式；并探究当点M运动到什么位置时（求出M点坐标即可），的面积为10，并说明理由． (3)线段CD上是否存在点P，使为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)；或； (3)存在，或，． 【分析】（1）在，中，分别令，即可求点、的坐标； （2）由，可求；再令，即可求点的坐标； （3）设，则，，，分三种情况讨论：①当时，；②当时，，；③当时，，． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， 在中，令，则， ； （2）解：点是直线图象上一点， ， ； 当时，， 解得或， 或； （3）解：存在点，使为等腰三角形，理由如下： 设， ，根据两点距离公式可得：，， ①当时，， 解得或（舍）， ； ②当时，， 解得（舍）或（舍）； ③当时，， 解得， ，； 综上所述：点坐标为或，． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为，直线与直线，相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交，于点M，N，当时，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点E，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点D的坐标为或 (3)存在，点E的坐标为或或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质等知识，解题的关键是： （1）先求出C的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）设，则，，求出，根据，列出关于m的方程，然后求解即可； （3）过点作轴于点，则，利用勾股定理可得，设，则，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出点的坐标即可； 【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点C，点C的横坐标为1， ∴， 设直线的解析式为，把、代入，得： ， 解得：， ∴直线l1的解析式为； （2）解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：存在．理由如下： 如图1，过点作轴于点，则， ，， 在中，， 设，则， 当时，， 解得：或， 或； 当时， 轴，即， ，即， ； 当时， 解得： ∴ 综上所述，点的坐标为或或或 【知识梳理：直角三角形】 直角三角形的分类标准：如果一个三角形是直角三角形，则它的三个角都有可能是直角，故以直角作为分类讨论的标准，如若△ABC为直角三角形，分为三种情况： 1 ∠A=90° 2 ∠B=90° 3 ∠C=90° 直角三角形存在性问题的处理方法： （1） 几何法，“两线一圆”法（适用于两个定点和一个动点） 已知线段AB和直线l，在直线l上找点P，使△ABP为直角三角形 ①若∠PAB=90°，则过点A作线段AB的垂线，交直线l于点P1，则△ABP1为直角三角形 ②若∠PBA=90°，则过点B作线段AB的垂线，交直线l于点P2，则△ABP2为直角三角形 ③若∠APB=90°，以线段AB为直径作圆，交直线l于点P3、P4，利用直径所对的圆周角为90°，得∠AP3B=90°，∠AP4B=90°，则△ABP3、△ABP4为直角三角形 （2）代数法，勾股法 1. 先假设点P存在，分别表示出点A、B、P的坐标，再利用两点间的距离公式表示出三条线段的长度 2. 由①∠APB=90°，AB2=AP2+BP2；②∠PBA=90°，AP2=AB2+BP2；③∠PAB=90°，BP2=AB2+AP2；分别列出对应的方程，若方程无解，则点P不存在，若方程有解，则求出满足点P的坐标即可 【题型演练】 6．如图，直线：交y轴交于点，交x轴于点B；直线：过点，且交x轴于点C，x轴有一动点，过P点作x轴垂线交直线于点N，交直线于点M． (1)求直线：解析式及B、C点坐标； (2)是否存在P点，使得？若存在，求出P点坐标．若不存在，请说明理由． (3)当时，直接写出P点坐标是______； (4)已知平面内有一点，当为直角三角形，直接写出Q点坐标是______． 【答案】(1)直线：，，； (2)P点坐标为或； (3)或 (4)或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得直线与x轴的交点坐标； （2）由题意得，，则，，由，列式计算即可求解； （3）由（2）得，，根据，得到，据此列式计算即可求解； （4）先求得，，，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：过点和， ∴， 解得， ∴直线：， 令，则， 解得， ∴， 同理； （2）解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴P点坐标为或； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴， ∴， 同理，解得或； ∴P点坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵，，， ∴，，， 分情况讨论， 当时，则， ∴， 解得或， ∴Q点坐标是或； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 综上，Q点坐标是或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 7．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、． (1)求一次函数的表达式 (2)求四边形的面积； (3)在x轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)四边形的面积为 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）首先根据在直线上求解得到点D的坐标，进而将点B，D的坐标代入一次函数中即可求解一次函数的表达式； （2）将四边形的面积分为，进而构造高线，求解即可； （3）首先发现以点，，为顶点的三角形是直角三角形有两种情况，进而分为和进行计算，设出，表示出，，，即可解方程得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴，即， 将，代入一次函数中，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴于点E， ∵与y轴交于点A， ∴，即， ∵与x轴交于点C， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，，， ①：当时，， ∴，解得：， ∴； ②：当时，， ∴，解得：， ∴； ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题、梯形的面积计算、直角三角形的判定和勾股定理，分类讨论直角三角形的存在情况是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．    (1)填空： ， ； (2)x满足什么条件时，； (3)点P在线段AD上，连接CP，若是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)3，6 (2) (3)或 【分析】（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）根据（1）中所求的解析式，求出点A、C、D三点的坐标，再数形结合即可作答； （3）由是直角三角形、是锐角，分和两种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵是一次函数与的图象的交点， ∴，解得，即， ∴将代入可得：， 解得，即， 故答案为：3，6； （2）当时，即有， 解得：，即， 当时，即有， 解得：，即， ∵，，， ∴，， 结合图象可知：； （3）点P在线段上，是锐角，若是直角三角形，则或，    设点，且， ∵，， ∴，，， 当时，轴， ∴点C与点P的横坐标相等，即， ∴， ∴点P坐标为； 当时，，    ∴， 解得， ∴点P坐标为； 综上所述，所有符合条件的点P坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）首先利用待定系数法解得直线的关系式；求得点坐标，设点， 当，易得，利用面积公式求解即可； （2）然后设点，分为斜边、为斜边、为斜边三种情况分别进行分析计算，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入直线的关系式为， 可得，解得， ∴直线的关系式为， 令，可得， ∴， 令，可得， 解得，即， ∴，，，， 如下图，设点，    根据题意，， 则有，即点在之间， ∴， 解得， 此时， ∴； （2）由（1）可知，，设点， 如下图，      ∵为直角三角形， ∴①当为斜边时，即有， ∴； ②当为斜边时， ，， 此时可有， 解得； ∴； ③∵， ∴不可能为斜边． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析并解决问题． 10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点C，点C的横坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)如图1，点M为线段上一点，若，求点M的坐标； (3)如图2，点N为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D），交x轴于点E．若为直角三角形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标或． 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据（1）中所求，先求得点B的坐标，设点M的坐标为，再求得，进而得到，然后根据，用m表示出，即可解答； （3）分两种情况①当时，过点C作轴于点H，过点D作的延长线于点F，连接，根据折叠的性质，证明和，从而得到，进而求得即可；②当时，设点，先根据勾股定理求得，用n表示出和，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2，正比例函数经过点C， ∴把代入，得， ∴ 把，代入， 得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， ∴， ∴， 依题意，设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴； （3）解：①当时， 如图，过点C作轴于点H，过点D作的延长线于点F，连接， 则 ∵， ∴，， ∵将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D）， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴此时点的坐标为； ②当时，如图， ∵，即轴，， ∴，, ∴， 依题意，设点，则，， ∴， ∵将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D）， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点N的坐标或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形面积的计算等，解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 【知识梳理：等腰直角三角形】 等腰直角三角形存在性问题的解题策略： 1. 分类讨论思想：动点构成的等腰直角三角形问题，要分三个角分别可能为直角（或三条边分别可能为斜边）进行分类； 2. 数形结合思想：画出适合题意的图形，通常以直角顶点作坐标轴平行线，进而构造一线三垂直的全等（如图所示），写出三个点的坐标，表达出两个全等直角三角形的两条直角边，运用图形全等带来的对应边相等，建立等量关系，进而进行方程求解即可。 【题型演练】 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求、的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒），的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，的值为或 【分析】（1）先求直线与坐标轴交点得、，再由算出的坐标； （2）先求出关于的代数式，然后分在的左边和右边两种情况讨论即可； （3）以为直角边的等腰直角三角形，分两种情况：①，=，构造全等三角形，求出的坐标，再把它代入解析式，可求出，②，=,同理构造全等，可求出． 【详解】（1）解： 把代入， ， ， 把代入， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， 动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， ， ， ， ，且， 当时，， 当时，， 即； （3）解： 存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 解得； 如图2，当时，过点作轴交于点，同理可得， ， ， ， ， 解得 ； 综上所述： 的值为 或 5． 12．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， 点C为x轴负半轴上一点， (1)求的度数． (2)如图1，若点C的坐标为，，求点D的坐标(结果用含a的式子表示)． (3)如图2，在（2）的条件下， 若，过点D作轴于点E，轴于点F，点M为线段上一点，若第一象限内存在点使 为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的N点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或，． 【分析】（1）如图1中，设与轴交于点．根据四边形内角和定理，只要证明即可解决问题． （2）如图1中，求出直线、的解析式，再求出直线、的解析式，利用方程组求交点坐标． （3）分四种情形，利用全等三角形的性质，列出方程分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，设与轴交于点． ， ， ，， ， ， ， ． （2）解：如图1中， ，， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， ，， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 由解得， 点的坐标为． （3）解：①如图2中，作于，的延长线交于． 是等腰直角三角形， ，， 由，得， ，， ， ， ， ． ②如图3中，作于，于． 由，得， ， ， ，此时点不在线段上，不符合题意舍去． ③如图4中，作于，的延长线交于． 由得， ， ， ，． ④如图5中，作于，于． 由得， ， ， ， ，． 综上所述，满足条件的点的坐标为或，或，． 【点睛】本题考查三角形综合题、四边形内角和定理、一次函数的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组解决交点问题，学会解题常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 13．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于，两点． (1)求直线的函数解析式； (2)是直线上一动点，且的面积是的面积的2倍，求点P坐标； (3)如图2，在直线l：上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得直线的函数解析式为； （2）设，当P在第一象限时，求出，，故，可得；当P在第四象限时，，，故，可得； （3）设，求出，，，①当时，，解得或，再根据勾股定理得符合条件，此时；②当时，，解得或，由勾股定理知符合条件，此时，，③当时，，解得，此时，故不是等腰直角三角形，这种情况舍去． 本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】（1）（1）设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的函数解析式为； （2）设， 当P在第一象限时，如图： ，， ， 解得， ； 当P在第四象限时，如图： ，， ， 解得， ； 综上所述，P的坐标为或； （3）设， ，， ，，， ①当时，， 解得或， 若，则，， ，是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 若，则，， ，是等腰直角三角形，此时； ②当时，， 解得或， 当时，，， ，是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 当时，，， ，是等腰直角三角形，此时； ③当时，， 解得， ， 而， ， 不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 综上所述，Q的坐标为或 14．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝－x＋3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C． （1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积； （2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标； （3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A、B的坐标分别为（6，0），（0，3），点C（2，2）；△COB的面积＝3；（2）P（4，1）；（3）点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，） 【分析】（1）点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式y＝x，y＝﹣x+3得：点C（2，2）；△COB的面积＝，即可求解； （2）设点P（m，﹣m+3），S△COP＝S△COB，则BC＝PC，则（m﹣2）2+（﹣m+3﹣2）2＝22+12＝5，即可求解； （3）分∠MQN＝90°、∠QNM＝90°、∠NMQ＝90°三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线l2的解析式为y＝－x＋3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3）， 联立式y＝x，y＝－x＋3并解得：x＝2，故点C（2，2）； △COB的面积＝＝×3×2＝3； （2）设点P（m，－m＋3）， S△COP＝S△COB，则BC＝PC， 则（m－2）2＋（－m＋3－2）2＝22＋12＝5， 解得：m＝4或0（舍去0）， 故点P（4，1）； （3）设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3－m）、（0，n）， ①当∠MQN＝90°时， ∵∠GNQ＋∠GQN＝90°，∠GQN＋∠HQM＝90°， ∴∠MQH＝∠GNQ，∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN， ∴△NGQ≌△QHM（AAS）， ∴GN＝QH，GQ＝HM， 即：m＝3－m－n，n－m＝m， 解得：m＝，n＝； ②当∠QNM＝90°时， 则MN＝QN，即：3－m－m＝m，解得：m＝， n＝＝3－； ③当∠NMQ＝90°时， 同理可得：n＝； 综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，，，直线交直线于点C．    (1)求直线的解析式及C点的坐标； (2)如图1，P为直线上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且，当时，求最小值； (3)如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，直线上是否存在N点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，或，或， 【分析】（1）先求出点和点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，联立直线和的解析式，即可求得点的坐标； （2）先求出的面积，证明点在点的上方，设点的坐标为，其中，由，求得，得到点的坐标，作四边形是平行四边形，则，证得的最小值为，由勾股定理求出答案即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰直角三角形的性质分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 点的坐标是， ， ， 点的坐标为，， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入可得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得， 解得， 点的坐标是，； （2），， ， ， ，， 直线交直线于点． ， ， ， 点在点的上方， 为直线上一动点且在第一象限内， 设点的坐标为，其中， 点到轴的距离为， ， ， 解得， ， 点的坐标是，， 如图，过点向左作轴，且， 则的坐标为，，再作点关于轴的对称点， 则的坐标为，， 则连接交轴于点，在轴上截取，连接，    由作图过程知四边形是平行四边形，则， 的最小值为， 作于点，则的坐标为，，则，， 的最小值为． 即最小值为； （3）存在，理由如下： 将沿着射线方向平移，即将向左平移个单位，向下平移个单位， ，，， ①当时，如图，   直线的解析式为， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点坐标为，； ②当时，如图，   直线的解析式为， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点坐标为，； ③当时，如图，过点作于，   为等腰直角三角形， ，， ，，， 点的横坐标为， 直线的解析式为， ，， ， ， 点坐标为，； 综上所述，点坐标为，或，或，． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图形和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键． $