精品解析：河北沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 年初，某市因新冠疫情面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国各地志愿者纷纷驰援.现有名医生志愿者需要分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去人），则分配方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 年月日，在日本千叶县举办的年第届国际数学奥林匹克竞赛公布比赛结果，中国队连续年获得团体第一.奖牌榜显示，代表中国参赛的名队员全部获得金牌.名队员中有名来自浙江，名来自上海，名来自广东，名来自湖南.现在名队员中任意选调名队员介绍备战历程，则选调的名队员均来自浙江的概率为（ ） A. B. C. D. 3. (，且)的展开式中的系数为（ ） A. 150 B. 165 C. 120 D. 180 4. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 5. 随机变量的分布列为，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 根据如下两组数据，下列说法正确的是（ ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A. 和呈正相关，和呈正相关 B. 和呈负相关，和呈负相关 C. 和呈正相关，和呈负相关 D. 和呈负相关，和呈正相关 8. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为， ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示． 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y（亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9 根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下正确的是（ ） A. B. 相关系数 C. 第8年的利润预计大约为8.3亿元 D. 第6个样本点的实际值比预测值小0.1 10. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(，)，N(，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） 附:若随机变量X服从正态分布N(，)，则. A. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲 B. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 C. 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 D. 若，则乙同学成绩低于80分的概率约为0.3174 11. 下列结论正确的是（ ） A. B. 多项式展开式中的系数为52 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知变量的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，据此模型预测，当时的值为__________． 1 2 3 4 5 3 4.5 4.8 6.4 6.3 13. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 14. 已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了名男性消费者与名女性消费者，关注配料表的消费者共有人，其中女性人． （1）用列联表表示上述数据； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？ 附：，其中． 16. 2020年5月1日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对200种垃圾分类能否辨识进行了随机调查，经整理得到下表： 垃圾分类 厨余垃圾 可回收物 有害垃圾 其他垃圾 垃圾种类 70 60 30 40 辨识率 0.9 0.6 0.9 0.6 辨识率是指：一类垃圾中能辨识种类的数量与该类垃圾的种类总数的比值. （1）从社区调查的200种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾能辨识的概率； （2）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记为其中能辨识的垃圾种数，求的分布列和数学期望. 17. 某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，型血有人，A型血有人，型血有人，型血有人． （1）从中任选名学生去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的学生中各选名学生去献血，有多少种不同的选法？ （3）从中任选名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？ 18. 小明和小亮是两名篮球运动爱好者，根据统计数据，他们进行投篮练习时，小明投篮成功的概率为，小亮投篮成功的概率为，每次投篮成功与否相互独立. （1）小明单独进行投篮练习，一旦投篮成功便停止，求停止时，投篮次数不超过3次的概率； （2）小明和小亮两人同时进行投篮练习，规定每人都投篮2次，记他们总共投篮成功的次数之和为X，求X的分布列及数学期望. 19. （1）某大型电影院在春节期间推出了《哪吒2》等6部备受瞩目的大片，某天3个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？ （2）某市2025年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了2件，3件，3件机器人进行展览，工作人员需要把8台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法？ （3）树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序.抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”.请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 年初，某市因新冠疫情面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国各地志愿者纷纷驰援.现有名医生志愿者需要分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去人），则分配方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】设两家医院分别为甲医院与乙医院，对甲医院分配的人数进行讨论，结合分组计数原理可得结果. 【详解】设两家医院分别为甲医院与乙医院，则甲医院分配的人数可以为或或， 因此，不同的分配方法种数为种. 故选：B. 2. 年月日，在日本千叶县举办的年第届国际数学奥林匹克竞赛公布比赛结果，中国队连续年获得团体第一.奖牌榜显示，代表中国参赛的名队员全部获得金牌.名队员中有名来自浙江，名来自上海，名来自广东，名来自湖南.现在名队员中任意选调名队员介绍备战历程，则选调的名队员均来自浙江的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从名队员中任意选调名队员共有种不同的结果， 从名浙江队员中选名队员有， 因此选调的名队员均来自浙江的概率为. 3. (，且)的展开式中的系数为（ ） A. 150 B. 165 C. 120 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】首先写出含的系数，再利用组合数的性质，即可求解. 【详解】展开式中含的系数是 . 故选：B 4. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 5. 随机变量的分布列为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C. 6. 甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，对甲最终获胜的情况进行分类，进而即可得到答案. 【详解】由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜负胜，负胜胜， 故甲获胜的概率为：. 7. 根据如下两组数据，下列说法正确的是（ ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A. 和呈正相关，和呈正相关 B. 和呈负相关，和呈负相关 C. 和呈正相关，和呈负相关 D. 和呈负相关，和呈正相关 【答案】D 【解析】 【分析】由正、负相关的概念得解. 【详解】由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关. 故选：D 8. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为， ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本中心点求得，进而求得预测值. 【详解】，， 所以，所以， 当时，亿元. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示． 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y（亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9 根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下正确的是（ ） A. B. 相关系数 C. 第8年的利润预计大约为8.3亿元 D. 第6个样本点的实际值比预测值小0.1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线性回归方程，逐项分析即可. 【详解】由表可知， ， ， 根据回归直线的性质，样本中心点必须在直线上，  ， 解得m=4.8，故A正确； 由表可知，y是随着x的增加而增加的，即是正相关，故B正确； 将带入回归方程，得 ，故C错误； 将带入回归方程，得 ，由表可知，实际值为5.2， 故D正确； 故选：ABD. 10. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(，)，N(，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） 附:若随机变量X服从正态分布N(，)，则. A. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲 B. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 C. 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 D. 若，则乙同学成绩低于80分的概率约为0.3174 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称轴，以及正态曲线的性质，结合，即可判断选项. 【详解】A.甲同学的平均成绩是75，乙同学的平均成绩是85，，故A错误； B. 甲同学的图象“瘦高”，乙同学的图象“矮胖”，所以甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，故B正确； C.，故C正确； D.，故D错误. 故选：BC 11. 下列结论正确的是（ ） A. B. 多项式展开式中的系数为52 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A利用二项式定理可证明，对于B分4种情况分别求的系数后可得知答案，对于C，运用赋值法可求解，对于D，分成两类组合式可证明. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，的展开式的通项为，要求的系数，， 当时，有，其中的系数为； 当时，有，不存在； 当时，有，其中的系数为； 当时，有，不存在. 故多项式展开式中的系数为，故B不正确； 对于C，的展开式的通项为，可知，， 所以， 所以令，有， 因此. 故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知变量的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，据此模型预测，当时的值为__________． 1 2 3 4 5 3 4.5 4.8 6.4 6.3 【答案】10.95 【解析】 【分析】经验回归直线方程过样本点的中心，所以把代入求得的值，再代入求解即可. 【详解】由已知得，即样本点中心， 因为经验回归直线方程过样本点的中心， 所以，解得， 所以，当时，. 故答案为：10.95 13. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到，再利用正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 故答案为：. 14. 已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值______． 【答案】取6，8，9，10，11中任意一个值均可． 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】的展开式的通项为，，． 若系数为有理数，则，且． 当时，； 当时，； 时； 时； 时，6； 时； 时，8； 时，6； 时，10； 时，8， 时，6，12． 所以可取6，8，9，10，11中的任意一个值． 故答案为：取6，8，9，10，11中任意一个值均可． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了名男性消费者与名女性消费者，关注配料表的消费者共有人，其中女性人． （1）用列联表表示上述数据； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？ 附：，其中． 【答案】（1） 性别 配料表 合计 关注 不关注 男性 女性 合计 （2）认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关．【解析】 【分析】（1）直接由题中所给的数据可得列联表； （2）直接由独立性检验计算可得. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 单位：人 性别 配料表 合计 关注 不关注 男性 女性 合计 【小问2详解】零假设为：消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，因此可以认为不成立， 所以认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关． 16. 2020年5月1日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对200种垃圾分类能否辨识进行了随机调查，经整理得到下表： 垃圾分类 厨余垃圾 可回收物 有害垃圾 其他垃圾 垃圾种类 70 60 30 40 辨识率 0.9 0.6 0.9 0.6 辨识率是指：一类垃圾中能辨识种类的数量与该类垃圾的种类总数的比值. （1）从社区调查的200种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾能辨识的概率； （2）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记为其中能辨识的垃圾种数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）0.75；（2）分布列见解析，1.8. 【解析】 【分析】（1）先计算出200种垃圾中能辨识的垃圾种数，即可求出概率； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，且服从二项分布，计算出概率，即可列出分布列，求出数学期望. 【详解】（1）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种， 能辨识的垃圾种数是：. 所求概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3， 依题意可知，, ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216 . 【点睛】本题考查二项分布的分布列即数学期望的求法，属于基础题. 17. 某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，型血有人，A型血有人，型血有人，型血有人． （1）从中任选名学生去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的学生中各选名学生去献血，有多少种不同的选法？ （3）从中任选名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）29 （2）2310 （3）305 【解析】 【分析】（1）根据分类加法原理即可求得答案； （2）根据分步计数原理即可求得答案； （3）根据分类加法原理即可求得答案； 【小问1详解】 由题意得任选名学生去献血，有种不同的选法； 【小问2详解】 从四种血型的学生中各选名学生去献血，有种不同的选法； 【小问3详解】 任选名具有不同血型的学生去献血， 有种不同的选法. 18. 小明和小亮是两名篮球运动爱好者，根据统计数据，他们进行投篮练习时，小明投篮成功的概率为，小亮投篮成功的概率为，每次投篮成功与否相互独立. （1）小明单独进行投篮练习，一旦投篮成功便停止，求停止时，投篮次数不超过3次的概率； （2）小明和小亮两人同时进行投篮练习，规定每人都投篮2次，记他们总共投篮成功的次数之和为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意由互斥事件的概率公式求解即可， （2）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后求对应的概率，从而可求得X的分布列及数学期望 【小问1详解】 记“投篮次数不超过3次”为事件A，由题知 ∴小明停止时，投篮次数不超过3次的概率为. 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2，3，4 X的分布列如下表所示 X 0 1 2 3 4 P 19. （1）某大型电影院在春节期间推出了《哪吒2》等6部备受瞩目的大片，某天3个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？ （2）某市2025年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了2件，3件，3件机器人进行展览，工作人员需要把8台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法？ （3）树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序.抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”.请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数. 【答案】（1）216；（2）2880；（3）28 【解析】 【分析】（1）由分步乘法计数原理即可求解； （2）先将家公司的产品捆绑，再与公司的3件产品全排列，最后由插空法即可求解； （3）分甲所在班级第5个出场和甲所在班级不是第5个出场两种情况讨论即可. 【详解】（1）3个家庭依次选择，均有6种方法， 根据分步计数原理，所有不同的方法数为. （2）由题意知，先可以使用“捆绑法”将家公司的产品排在一起， 再与公司的3件产品一起组成4个不同的元素的全排列， 最后让公司产品插空.所以符合条件的排法数为. （3）若甲所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场， 乙、丁、戊所在班级可以在其他场次出场，符合条件的出场顺序数为， 若甲所在班级不是第5个出场，则丁或戊所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场， 甲在剩余的中间2场中选择一场，符合条件的出场顺序数为， 所以所有可能的出场顺序数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $