2026年中考数学难题专练：数与式

**基本信息** 聚焦数与式综合难题，以新定义、几何代数融合为载体，系统提炼转化、建模、归纳等解题方法，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义运算|3题（如取整函数、倒立数对）|定义转化、范围分析|从具体实例抽象数学关系，建立方程求解| |几何代数综合|4题（如矩形动点、正方形叠合）|对称化归、面积法|几何直观与代数运算结合，体现模型观念| |代数式变形|5题（如二次根式配方、分式化简）|配方、分母有理化|从整式到分式再到根式，形成运算逻辑链| |规律探究|3题（如数字规律、图形序列）|归纳推理、递推建模|从特殊到一般，培养创新意识与数据观念|

2026年中考数学难题专练：数与式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．定义表示不超过的最大整数，如，，设，若，则的值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．55 2．如图，在矩形 中，，，动点 满足 则点 到， 两点距离之和 的最小值为（    ） A． B． C． D．6 3．小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 6．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．已知整式，其中为正整数，，，，，均为自然数，令，下列说法正确的有（     ） A．当，时，若为完整四项式（即各次项系数均不为），则满足条件的整式共有个 B．若，则所有满足条件的整式的和为 C．当，时，若有，则所有满足条件的整式中最高次项系数为或或 D．以上说法均不正确 8．已知正整数、、、满足，且，关于这个四元二次方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个奇数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有10组解； ④若，则该四元方程有504组解． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．若实数同时满足，则的值为_____． 10．方程的解是______． 11．观察以下等式： 根据你所发现的规律，计算：________． 12．在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上（如图），将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和． 卡片组合 B，D C，E D，A E，B A，C 两数的和 75 70 65 59 77 则这五张卡片上数字最大的是_____________（填A，B，C，D，E） 13．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，，，，直线过点O，连接，交于点，连，的周长等于6，①；②；③；④．以上说法正确的为______（填序号）． 14．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，在轴上，已知正方形的边长为，，，则正方形的边长是_____． 15．对于一个五位自然数，如果它满足万位数字与个位数字之和等于百位数字，且千位数字与十位数字之和等于百位数字的2倍，则称这个五位数为“对称数”．例如：59631，∵，，∴59631是对称数．则最小的“对称数”是________．若是一个“对称数”，记，．若是一个完全平方数且与之差能够被7整除，则的最小值是________． 三、解答题 16．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 17．我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 18．如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即可得到，由此推导出一个重要的结论，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． (1)根据这个结论，若，，则______． (2)如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． (3)观察图3，分解因式______；若x、y、z为实数，，，利用上述结论求的值． 19．【阅读理解】我们将与称为一对“有理化因子”，因为，所以构造“有理化因子”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 【问题解决】根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)有理化因子与之间的关系是___________； A．互为相反数    B．绝对值相等    C．互为倒数 (2)已知，求的值； (3)计算：的值． 20．如图1，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： (1)如图2，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式________． A．    B． C．    D． (2)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在上，连接，若它们边长之和为10，面积之和为52，求阴影部分面积． (3)如图4，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学难题专练：数与式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C A B D A 1．B 【分析】根据的定义，推导 时的取值范围，计算相同对应的项数和部分和，逐步累加得到总和为时的． 【详解】根据定义，若 ，则 ，即 ，满足条件的共有 个，每个项的值为，这部分的和为 ． 逐步累加计算： 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为 ，对应最大； ，还差 ，下一项时， ，累加后总和为 ，符合要求， ． 故选：B. 2．C 【分析】根据，得出动点在与平行且与的距离是的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值． 【详解】解：设中边上的高是． ， ， ， 动点在与平行且与的距离是的直线上， 如图，作关于直线的对称点，连接，，则的长就是的最小值．    在中，，， ， 即的最小值为． 3．D 【分析】根据题意可得三个正方形上的数字之和为48，而到这个数字之和为36，据此可得，由，，可得，即可解决问题． 【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16， ∴三个正方形顶点上的数字之和为， 到这个数字之和为， ∵、、都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， 而， ∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴． 4．C 【分析】先利用已知等式推导得到和，再对给定分式等式变形，代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，且， 等式两边同除以得， 两边平方得，展开得，整理得， 对等式，分子分母同除以得， 整理得， 将，代入得， 去分母得，解得，即． 5．A 【分析】根据题意和函数图象，分析点和点的运动过程，由时，求出点的速度和的长；由到达点的时间确定的值；根据矩形面积公式判断②；根据当时，点到达点，计算此时的面积判断③；分段讨论时的值判断④．　 【详解】解：由题意可知，点的速度为，，则点运动到点的时间为； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点，此时，即 ， 此时， ∴， 解得， ∴点的速度为，故①正确； ∴矩形的面积为，故②错误； 当时，点到达点，此时， 此时点运动路程为， ∵， ∴点在边上，且距离点， 即此时的底边，高为， ∴，即，故③正确； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点， ∴， 当点到达点时，此时， ∴当时，分情况讨论： 当点在上时（），，，，解得（负值舍去）； 当点在上时（），的最小值为时的，最大值为，故不可能为； 当点在上时（），点已停在点，， 点走过的总路程为，则， ， 令，解得， 综上所述，或，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 6．B 【分析】由是“的倒立数对”，得到，推出，根据，，得到，，推出，则，再化简所求式子得到，即可求解． 【详解】解：是“的倒立数对”， 如果，那的值可以是，吗？ ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， 即的整数值有，，共个， 故选：B． 7．D 【分析】根据题干给出的整式系数的性质，结合正整数与自然数的限定，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：A、当，时，即， ∵为完整四项式， ∴，，，都不为，四个系数均为不小于的正整数， 满足题意的有： ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； 共组，即满足条件的整式共个，故A错误． B、∵，为多项式的次数，为自然数，为正整数，， ∴的可能取值为，，，， 当时，，此时整式， 当时，，满足条件的所有整式为，，，和为； 当时，，满足条件的所有整式为，，，和为； 当时，，满足条件的整式只有； ∴所有整式相加得，故B错误； C、当，时， 设，， 则， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 验证当时，，即， 又， ∴， 又，是自然数， ∴不符合题意，舍去，故C错误； D、综上，A、B、C说法均不正确，故选项D正确． 8．A 【分析】①将，，，代入方程进行判断即可；②取特殊值，，，，，代入方程进行判断即可；③将方程化为，根据正整数、、、满足，得到当时，恒成立，再根据，得到当时，有10组解，再根据也是方程的一组解，判断③；根据当，，推出，进而推出总共有502组解，结合也是方程的一组解，判断④即可． 【详解】解：当，，，时， 方程左边， 方程右边， 方程左右两边相等，故，，，是该四元方程的一组解；故①正确； 当，，，时， 方程左边， 方程右边， 方程左右两边不相等，故，，，不是该四元方程的一组解，即四个连续的奇数不一定是该四元方程的一组解；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正整数、、、满足， ∴，， ∴， 又∵， ∴当，即时，恒成立，满足题意， ∵， ∴当时，或或或，共4组解； 当时， 或或，共3组解； 当时，或，共2组解； 当时，，共1组解； 此时共有组解； 又∵当时，此时， 方程左边等于右边，故也是方程的一组解，故③错误； 由③可知：当时， ∵， ∴， ∴， ∵是正整数，且， ∴当时，； 当时，， 当时，； 总共有502组解； 又∵不满足已知条件，故④错误； 综上，正确的只有①． 9．1 【分析】根据已知等式推出 ，可得，由此化简第二个等式得到，代入第一个等式后分和讨论，求出与的值，再代入计算结果． 【详解】解： 实数，同时满足 ， ， ， ， 解得， ，，即，整理得， 将代入 ，得 ， 整理得 ， 当时， ，舍去该情况， 当时， ，解得， 将代入，得 ， ． 10． 【分析】先将原方程化为，则，然后换元，分类讨论求解即可． 【详解】解： ， ， 令， 则， 当时，，解得，不满足，舍去； 当时，，即恒成立，此时的符合题意； 当时，，解得，不满足，舍去； ∵， ∴ ， 解得， ∴方程的解是． 11． 【详解】解：根据已知等式可得规律：， 令，， 代入得：， 可得： 将其代入原式计算：． 12．C 【分析】设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为，由题意得到关于的方程组，求出，然后作差表示出即可得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为， 则， 由①②③④⑤得， 则， ， ， ， ， ， ， 这五张卡片上数字最大的是C． 13．①②③④ 【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交于，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵的周长等于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； 过点作于M，交于， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 过点作于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过点作的延长线于点，则， AI ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴说法正确的有①②③④． 14． 【分析】利用正方形的性质及平角定义求出的度数，通过含角直角三角形的性质求出的长，根据图形特征得出，再利用平行线的性质结合勾股定理求出第二个正方形的边长，总结规律即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 在中，， 由图可知， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得，，即， ，即正方形的边长为， 同理可得，， ， ，即正方形的边长为， ， 正方形的边长是， 当时，正方形的边长是． 15． 【分析】若“对称数”最小，则万位数取最小数1，千位数取最小数0，再根据“对称数”定义求解即可；根据“对称数”定义可得，，根据是一个完全平方数，推出的可能取值为，根据能够被7整除，得到或或或，再逐一求解比较即可． 【详解】解：若“对称数”最小，则万位数取最小数1，千位数取最小数0， 万位数字与个位数字之和等于百位数字， 要使百位数最小，则个位数最小取0，此时百位数为， 千位数字与十位数字之和等于百位数字的2倍， 十位数为， 最小的“对称数”是； 是一个“对称数”， ，， ， 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，且为整数， 的可能取值为， 记，，则，， ， 与之差能够被7整除， 是7的倍数， 或或或， 或或或，或或或， ①当时，则， 若，则， 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 若，则， 当时，此时，， ； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； ②当时，则， 若，时，则， 当时，，； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 若，时，则， 当时，不符合题意； 当时，，； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 若，时，则， 当时，，不符合题意； 当时，，； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ， 的最小值是． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）将7转化为，进行求解即可； （2）将其转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，，结合a，b，m，n均为正整数，m，n满足，求出a，b的值即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 17．(1)①③ (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义结合二次根式的性质进行化简即可； （3）①根据新定义推出，进而推出或或，进而得到当的值最小时，有最小值，即可得出结果；②将转化为，根据是整数，得到，得到，再进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； 故满足要求的是①③； （2）解：原式 ； （3）解：① 是“完全平方根式”， ， 又，且为正整数 或或， 当的值最小时，有最小值， ， ， ②， 为正整数，是整数， ，即， ， ， ， ， 当时，，原式； 当时，，原式． 18．(1) (2)见解析 (3)， 【分析】（1）代入求解即可； （2）连接，利用等积法，根据求解即可； （3）根据面积法可进行因式分解，然后根据因式分解后所得的等式，把的两边平方即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵ ，， ； （3）解：由图形根据面积法可知， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 19．(1)C (2) (3)2025 【分析】（1）将与进行相乘判断关系即可； （2）先化简x和y的值，再根据提取公因式化简求解即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴有理化因子与互为倒数． 故选：C； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 20．(1)C (2)12 (3)64 【分析】（1）结合图2表示出拼接前后阴影部分面积，即可得出答案； （2）由题意得，，结合，即可得到阴影部分面积； （3）连接，由阴影部分面积，结合完全平方公式的变形，得到的值，再利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：由图2可得，拼接前阴影部分面积，拼接后阴影部分面积， ∵拼接前后，阴影部分面积相等， ∴， 故选：C； （2）解：， ，即， ， ， ； （3）解：如图，连接， ∵两个正方形、的边长分别是、，阴影部分面积为60， ∴， ， ，， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $