2026年中考数学难题专练：方程与不等式

**基本信息** 以“问题情境-模型构建-变式拓展”为核心，融合代数推理与几何直观，强化数学建模、运算能力及创新意识的专项突破训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用|1,20|不等式比较/方程建模|从购物优惠到收纳盒制作，构建“实际问题→数学模型→求解验证”逻辑链| |代数变形|3,5,6|换元法/根与系数关系|分式方程→一元二次方程根的判别式，形成“概念理解→性质应用→综合迁移”递进结构| |几何综合|4,13,14|方程思想解决动态问题|长方形砖块围合→射灯旋转运动，体现“几何直观→等量关系→代数表达”转化过程| |新定义问题|7,17,19|概念迁移/分类讨论|幸运点→友好函数，培养“抽象概念→符号表达→逻辑推理”的数学思维|

2026年中考数学难题专练：方程与不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 2．已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．或2 4．如图，把50张形状、大小完全相同的小长方形砖块（长是宽的3倍），既不重叠又无空隙地围成一个长方形花坛，花坛的长与宽之比为．则花坛内部长方形种植区域的长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 5．已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 7．在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（    ） ①“幸运点”不可能在第二象限； ②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”； ④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 8．已知整式：，其中，，，，为正整数，，且，，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式之和为； ②当，时，关于的方程无实数根； ③当时，满足条件的所有二次三项式共有16个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 9．已知实数，，满足，且，则的值为_____． 10．若实数a，b同时满足，，则______． 11．关于x的不等式组． （1）若，则不等式组的整数解是______． （2）若不等式组有解且每一个x的值均不在的范围中，则a的取值范围是______． 12．若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 13．如图，已知线段AB，CD相交于点E，，，点P以1个单位长度/秒的速度由不间断来回运动，同时点Q以相同的速度由不间断来回运动，则点P第二次到点E所需的时间为______秒；点P与点Q它们第3次相遇所需的时间为______秒． 14．某江两岸的主道路、上安装了两座可旋转射灯、，如图所示．已知，灯发出的光束从开始按顺时针旋转至便立即回转，灯发出的光束从开始按顺时针旋转至便立即回转，已知灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度．如果灯发出的光束先转动20秒，灯发出的光束才开始转动，在灯发出的光束到达之前，当两灯发出的光束互相平行时，灯转动的时间是______秒． 15．一个四位自然数（其中均为整数，且），若满足，则称为“亲和数”，如：四位数是“亲和数”： （1）已知某个“亲和数”的个位数字等于十位数字的2倍，百位数字比千位数字大4，则这个“亲和数”为_____． （2）一个“亲和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记，被11整除，被13除余2，则满足条件的的值为_____． 三、解答题 16．在如图1所示的数表中，记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是9． (1)________； (2)若，则________，________； (3)用图2所示的T字形框去框出数表中的4个数，这4个数由小到大依次记为a，b，c，d． ①d所表示的数为________（用含a的代数式表示）； ②T字形框中的四个数之和能否等于226？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 17．定义：若点满足，则称这个点为“完美点”．例如，，故点是“完美点”． (1)点，，中，不是“完美点”的是________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，求出的值． 18．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 19．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”． (1)判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是_____（填序号）； (2)若直线的解析式为：，此函数的“友好函数”与抛物线交于，两点，当，满足时，直线总经过一个定点，试求该定点的坐标； (3)若，，三个不同的点均在二次函数为常数，且的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数，使得恒成立，求的取值范围． 20．项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学难题专练：方程与不等式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D A D D B 1．C 【分析】分别表示出两种优惠方案的总费用，根据方案(2)更省钱列出不等式，求解得到的最小整数值即可. 【详解】解：∵顾客需购买4只茶壶，只（）茶杯， ∴优惠方法(1)的总费用为 ， 优惠方法(2)的总费用为 ， ∵方法(2)比方法(1)更省钱， ∴，化简得 ， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为 2．D 【分析】由可得，代入不等式组，即可解答． 【详解】解：由可得， ， ， 解得，故B正确； ，即，故A正确； ，， ，故C正确； ，， ，故D错误． 3．A 【分析】设，，得到，即，分情况讨论后检验解的合理性，得到所求式子的值． 【详解】解：设，， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， 分两种情况讨论： 当，即时，满足，此时； 当，即时，联立两式得，，其中，， 两边平方整理得， 解得：或； 当时，，舍去； 当时，，矛盾，舍去； ∴不能为2； ∴的值为． 4．D 【分析】设在长方形花坛的长上放了x张小长方形砖块，在宽上放了y张小长方形砖块，根据四边共放了50张小长方形砖块且长与宽的比为，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入． 【详解】解：设在长方形花坛的长上放了x张小长方形砖块，在宽上放了y张小长方形砖块，设小长方形砖块的宽为，则长为，则，即， 依题意，得：， 解得：， ∴花坛内部长方形种植区域的长与宽的比为． 5．A 【分析】先把变形为，则、可看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，，由于，所以可先化为，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ，且， 、可看作方程的两根， ，， ， ， ． 6．D 【分析】①通过判别式判断有两个不相等的实根；②由条件推导，判断无实数根；③代入根后得出或，结论不一定成立；④代入根后验证等式成立即可． 【详解】解：①， ， ， 方程一定有两个不相等的实数根，故①正确； ②， ． ， ，， ， 方程没有实数根，故②正确； ③是方程的一个根， ， ， 或， 不一定成立，故③错误； ④是方程的一个根， ， 两边除以得，． 当时，， 是方程的一个根，故④正确． 综上，正确的是①②④． 故选：D． 7．D 【详解】解：结论①：一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，即幸运点满足．若“幸运点”在第二象限，则应满足，即，此不等式组无解，因此“幸运点”不可能在第二象限，故结论①符合题意； 结论②，若“幸运点”在坐标轴上，则当在轴上时，，即，解得．当在轴上时，，此时，因此或，故结论②不符合题意； 结论③，对于方程组由①+②，得 ，整理得，因此以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”，故结论③符合题意； 结论④，，当时，，，此时点为“幸运点”，故结论④符合题意． 综上可知，正确的结论是． 8．B 【分析】本题根据题目给定的整式系数条件，通过分类枚举逐个判断三个说法，即可得出正确结论． 【详解】由题意，对n次整式，满足，所有均为正整数，，，逐个判断如下： ① 当时： 时，满足，，得 ，对应整式为 ； 时，满足，，得 ，对应整式为； 时，最小乘积为 ，无满足条件的整式； 所有整式和为，故①错误; ② 当，时： 满足 ，，仅 ， 方程即 ， 判别式 ， 方程无实根，故②正确。 ③ 当 ，求二次三项式个数： 二次三项式即， ，满足， 枚举得： 时，共个； 时，共个； 时最小和为 ，无满足条件的组合； 总个数为，故③正确。 综上，正确的说法共2个， 故选：B． 9． 【分析】根据绝对值的性质，分情况讨论的正负性，然后通过联立方程组求出、、的值，最后代入式子计算即可． 【详解】解：当时，得 ， 得：，解得：， 得：，解得：， ∴； 当时，得 ， 得：， ∴， ∵， ∴不成立， 综上可得：的值为． 10． 【分析】本题考查绝对值的性质以及分类讨论思想，结合两个等式求出，的值，再代入计算结果． 【详解】解：当，时，，， 原方程变为， 方程相矛盾，这种情况无解； 当，，， 原方程变为， 解得， 当，，， 原方程变为， 解得， 与矛盾，这种情况无解； 当，，， 原方程变为， 得，方程相矛盾，这种情况无解． 11． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，根据不等式组的解的范围求参数的取值范围， （1）先求出不等式组的解集为 ，再代入求解整数解， （2）结合题意列出关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为 ， （1）当时，解集为 ，即， 所以不等式组的整数解为； （2）不等式组有解， ， 解得 ， 不等式组的所有均不在的范围中， ∴解集 与无公共部分，分两种情况讨论 当时， 解得， ∵， ∴； 当 时， 解得， ∵， 此时无公共解 综上，的取值范围为； 故答案为：，． 12． 【分析】先解一元一次不等式组，根据“只有 3个偶数解”确定参数的取值范围；解分式方程，结合“有整数解”且“分母不为 0”的条件，筛选符合要求的整数a；对筛选出的整数求和，需同时满足不等式组和分式方程的双重限制． 【详解】解：不等式组的解集为， 不等式组有且只有三个偶数解， 不等式组的偶数解为0，2，4， ， ， 为整数， 的取值为，，，，，， 解分式方程得， 由题意可知， ，即， ， 分式方程有整数解 ，y为整数， 是3的倍数， 在上述取值中只能取，， 经检验，时，；时，， 符合条件的整数解为，， 符合条件的所有整数的和为． 【点睛】在解决含有参数的不等式组的参数问题时，一定要根据已知条件确定边界的取值，可数形结合借助数轴解决，在解含参数的分式方程时要注意分母不为０． 13． 9 75 【分析】求出点P第m次到点E需要秒，同理可得，点Q第n次到点E需要秒，当点P，点Q相遇时，，其中均为正整数，求出方程的第3组整数解即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，点P第1次到点E需要3秒， 第2次到点E需要秒， 第3次到点E需要秒， …… ∴点P第m次到点E需要秒， 同理可得，点Q第n次到点E需要秒， 点P，点Q相遇时，，其中均为正整数， ∴， 当时，P，Q第1次相遇， 当时，P，Q第2次相遇， 当时，P，Q第3次相遇， 此时， ∴它们第3次相遇所需的时间为75秒． 14．10 或 85 【分析】设灯A转动秒时，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，，，，再根据平行线的性质建立方程并求解即可． 【详解】解：设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行， 当A光束与重合时：秒， 当A光束返回与重合时：秒， 当B光束与重合时：秒， 当时，灯A射线转动至，灯B射线转动至， 则，，， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，灯A射线转动至立即回转并转至，灯B射线转动至， 则，，， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，灯A射线转动至立即回转并转至，灯B射线转动至， 则，，， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意， 综上所述，灯A转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 15． 5948 4769 【分析】（1）设“亲和数”，根据题意得到，，结合“亲和数”定义，列方程求解各数位数字即可得到结果； （2）先用数位表示法写出和调换后的，计算得到，代入 ，根据被整除的条件得到，再结合“亲和数”定义得到，，代入，根据被除余的条件得到为整数，结合的取值范围分情况讨论，求出符合条件的各数位数字即可得到． 【详解】解：（1）设“亲和数”， 根据题意，得，， 为“亲和数”， ， 代入得， 解得，， ∴，， 这个“亲和数”为． （2），调换千位数字与个位数字得到新数， ，， ， ，即， ， 被整除，是的倍数， 被整除，整理得 ，是的倍数，因此被整除， ，，且为整数， ，即 ， ，， ，， ， 被除余， 被整除， 整理得，因此为整数， 结合且为整数，分类讨论： 当时，解得，不符合题意，舍去； 当时，解得，符合题意，此时，，，得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 当时，解得，不符合题意，舍去； 综上，满足条件的的值为． 16．(1)23 (2)10，1 (3)①；②不能，理由见解析 【分析】（1）根据表示第m行第n个数，即可解答； （2）根据规律可得是第行第个数，可得到m、n的值； （3）①根据规律可得每一行，从左到右依次增加，每一列，从上到下依次增加，即可解答；②由①得，然后求解即可说明理由． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：由表格可得发现规律：每一行6个数，每一行，从左到右依次增加， ∵， ∴是第行第个数， ∴，； （3）解：①由表格可得每一行，从左到右依次增加，每一列，从上到下依次增加， 则， ∴； ②不能，理由如下： 由①得， 则， 解得， ∵，则是第行第个数，则第行最后一个数， ∴T字形框中的四个数之和不能等于226． 17．(1) (2) (3)2026或2028 【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）根据点是“完美点”，得出，即，当时，当时，分别求解即可； （3）根据点是“完美点”，得出，即，分当时，当时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，故点是“完美点”； ∵，故点是“完美点”； ∵，故点不是“完美点”； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴， 当时，则，解得或（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴． （3）解：∵点是“完美点”， ∴，即， ∴， 当时，恒成立，则； 当时，，则， ∴， ∴ ． 综上，原式的值为2026或2028． 18．(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 则； 由得： 则：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：由题意可知，的“船山方程”为：， 联立方程组得， 得：，即， ∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，代入①得：， 解得：， ∴． （3）解：∵， ， ∵与其“船山方程”所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得， 即，， ∴ ． 19．(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好函数”的定义，利用中点坐标公式，然后逐个函数进行判断即可； （2）先得出的友好函数，根据题意，联立方程组，得，故，又因为，整理得，即，此时，对于任意m恒成立，令，解得，即可作答． （3）先整理得出函数的“友好函数”为，从而有，，由可得，根据点M，P的纵坐标相等，可得，所以，设，可得，根据恒成立得出，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴图象上的点和图象上的点关于成中心对称， ∴①是“友好函数”； ∵，， ∴， 故②不是“友好函数”； ∵，， ∴， ∴图象上的点和图象上的点关于成中心对称， 故③是“友好函数”； （2）解：设直线的友好函数为， 故， 即， ∴， 依题意，， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， ∵， ∴， ∴， 把代入直线， 得， 依题意，对于任意m恒成立，则令， 解得， 此时， 故直线总经过定点． （3）解：依题意，设函数的友好函数为， 则， ∴， ∵，在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则， 由解得， 由解得， 即， 即， ∵点M，P的纵坐标相等， ∴， 即， ∴， ∴， 设， ∴， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 20．(1) (2)不能；理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，求出收纳盒的高长宽高，从而即可判断玩具车能否完全放入． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 收纳盒的长为，收纳盒的宽为， ∵（玩具车长小于收纳盒长），（玩具车高小于收纳盒高），但（玩具车宽大于收纳盒宽）， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $