精品解析：北京市回民学校2025—2026学年度第二学期期中检测（4月）高二数学

北京市回民学校 2025-2026学年度第二学期期中检测（4月） 高二数学 第一部分（选择题共48分） 一、选择题：共12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设3个红球为A,B,C,2个黑球为,分别列出试验的样本空间和所求事件含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】设3个红球为A,B,C,2个黑球为. 因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”， 故试验的样本空间为：， 记“两次取到的球颜色相同”,则， 由古典概型概率公式，可得. 故选：B. 2. 已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可. 【详解】根据分布列概率和为1，可得, . 故选：B. 3. 若三个数成等差数列，则 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得解出即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：D. 4. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 7 B. 8 C. 或8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理得到，再根据等比数列性质可以求出. 【详解】等比数列中，是方程的两个根，则， 再根据等比数列性质可以求出. 故选：D. 5. 已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项分布均值公式求得可判断A，由方差公式可判断B，由二项分布的概率公式可判断C，由均值性质可判断D. 【详解】对于A，，解得，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C符合题意； 对于D，由均值的性质可知，，故D不符合题意. 故选：C. 6. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（   ） A. 6或7 B. 7 C. 8 D. 7或8 【答案】D 【解析】 【详解】已知等差数列，，， 由等差数列前项和公式可得， ，解得， ， ，是开口向上的二次函数， 对称轴为， 由于是正整数，离对称轴最近的整数为7和8， 当取最小值时，7或8． 7. 小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.54 【答案】D 【解析】 【分析】应用全概率公式计算即可. 【详解】根据全概率公式可得小张一家去游乐园的概率为． 故选：D. 8. 记数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分组求和计算得到答案. 【详解】因为， 所以. 9. 已知是等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 的最大值为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 10. 《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ） A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，蒲生长长度与莞生长长度都构成了等比数列，利用等比数列的求和公式得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 11. 已知等比数列的公比为，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合等比数列的单调性及充分条件和必要条件定义判断充分性及必要性可得结论． 【详解】当，时，，不是递增数列，充分性不成立； 当，时，是递增数列，但不成立，必要性不成立． 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 12. 正整数数列满足，使得的不同个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据递推公式依次计算即可. 【详解】由题意知，，则或， （1）当时，，则或， 若，则；若，则； 若，则或； 若，则或； （2）当时，，得，则或； 若，得； 若，得. 综上，的值共有6个. 故选：C 第二部分（非选择题共102分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 已知等比数列中，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列下标和的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】由等比数列的性质可得，即，解得. 故答案为： 14. 数列的前项和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消求和即可. 【详解】由题意，， 则 故答案为： 15. 在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为__________，第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为_________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】记事件表示“第1次抽到选择题”，事件表示“第2次抽到选择题”，分别求出，，根据条件概率公式即可求出结果. 【详解】记事件表示“第1次抽到填空题”，事件表示“第2次抽到选择题”， 则，， 所以在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率， 第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为. 故答案为：； 16. 设为数列的前项和，且，则_________；数列的通项公式_________. 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】由与关系结合题设可得答案. 【详解】因，， 则，， 又注意到，则. 17. 为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用组合应用问题，结合排除法求出试验及所求概率的事件的基本事件数，再利用古典概率公式计算即得. 【详解】从这7项项目中随机抽取3项的情况有种， 抽取的3项属同一类的情况有种，抽取的3项包含三类的情况有种， 则符合条件的情况有种， 所以所求概率为. 故答案为： 18. 踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住、记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则所有正确结论的序号是___________. ①；②；③；④ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由题可得与关系，据此可判断①③④正误；由题可得时，的值可能为或1，据此可判断②正误. 【详解】由题可得， 设第次传给乙为事件，当时， 即，设， 则，得，从而， 即是以为首项，公比为的等比数列， 则，故①错误，③④正确； 当时，的值可能为或1， 则， ， 则， ，故②正确. 三、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 已知等比数列中，，. （1）求数列的前5项及前项和； （2）若等差数列满足，，求的前项和，的最值及取得最值时的取值. 【答案】（1），，，，， （2）；当时，取得最小值，无最大值 【解析】 【分析】（1）求出通项公式，写出通项，结合等比数列的前项和求解即可； （2）先求出的通项公式及前项和，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 等比数列中，，所以公比. 又，所以，所以. 前5项分别为，，，，， . 【小问2详解】 由（1）知，，，所以，. 设等差数列的公差为，则， 由，得. 所以等差数列的通项公式为. 则. 为开口向上的二次函数，对称轴为， 因为为正整数，所以当时，取得最小值，. 该数列无最大值. 故；当时，取得最小值，无最大值. 20. 某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． （1）求该项技术量化得分不低于8分的概率； （2）记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）设相应事件，可知该项技术量化得分不低于8分为，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）可知的所有可能取值为0，1，2，3，根据独立事件概率乘法公式求分布列，进而可得期望. 【小问1详解】 设该项人工智能新技术的三项不同指标独立通过检测合格分别为事件， 则， 可知该项技术量化得分不低于8分为， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3. 则， ， ， ， 所以随机变量的分布列 0 1 2 3 随机变量的期望． 21. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 【答案】（1） （2）分布列： X 0 1 2 3 P （3）最可能有6名或7名 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出关系式，求解即可得出答案； （2）根据频率分布直方图求出周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，进而得出每组的人数.根据超几何分布分别求出X分别取0，1，2，3时的概率，列出分布列，即可求出期望； （3）先求出周平均阅读时间在内的概率.进而求出，由解出的范围，即可得出答案. 【小问1详解】 由可得． 【小问2详解】 由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为， ∴10人中，周平均阅读时间在的人数为人，在的人数为人，在的人数为人. 则X所有可能的取值为0，1，2，3， ∴，， ，. ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望． 【小问3详解】 用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率， 设周平均阅读时间在内的学生有名，则 ， 所以． 令，解得， 所以当或，最大． 所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名． 22. 某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 a b 12 4 2 （1）在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； （2）从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； （3）试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列： X 0 1 2 3 4 P （3） 【解析】 【分析】（1）先确定成绩在80分及以上的男、女生人数，再利用组合数计算从这些学生中随机抽取2人，恰好男、女生各1人且分数段不同的概率，用到古典概型的概率公式；  （2）先求出从男生中随机抽取1人成绩在80分及以上的概率，判断随机变量X服从二项分布，然后根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望； （3）根据方差的性质，数据越集中方差越小，确定a，b的值. 【小问1详解】 确定成绩在80分及以上的学生人数，男生中成绩在的有8人，在的有2人，共人；女生中成绩在的有4人，在的有2人，共人.所以成绩在80分及以上的学生共有人.  从这16人中随机抽取2人的总组合数为种.  要满足恰好男、女生各1人且分数段不同，分两种情况： 男生从选，女生从选，有种选法.  男生从选，女生从选，有种选法.   所以满足条件的选法共有种.  根据古典概型概率公式所求概率. 【小问2详解】 从男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为.  从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X， 因为每次抽取是相互独立的，且概率相同，所以X服从参数为，的二项分布，即.  根据二项分布的概率公式，可得： .  .  .  .  .   所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 根据二项分布的数学期望公式，可得. 【小问3详解】 因为抽取的女生共30人，所以，即. 当数据越集中时方差越小，所以当时，抽取的女生成绩方差最小. 23. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）时，有，将它与已知式子相比可得，检验是否满足该式子即可得解； （2）先通过分组求和、等比数列求和公式得，然后对分离参数得不等式对恒成立，从而只需求出的最大值即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以时，， 所以当时，， 又满足上式， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 所以， 即不等式对恒成立， 令，， 令，可得， 当时，，此时，即此时有， 数列的最大项为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市回民学校 2025-2026学年度第二学期期中检测（4月） 高二数学 第一部分（选择题共48分） 一、选择题：共12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 3. 若三个数成等差数列，则 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 7 B. 8 C. 或8 D. 5. 已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（   ） A. 6或7 B. 7 C. 8 D. 7或8 7. 小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.54 8. 记数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. C. 10 D. 9. 已知是等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 的最大值为 D. 10. 《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ） A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天 11. 已知等比数列的公比为，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 正整数数列满足，使得的不同个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 第二部分（非选择题共102分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 已知等比数列中，，则_______． 14. 数列的前项和，若，则______. 15. 在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为__________，第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为_________. 16. 设为数列的前项和，且，则_________；数列的通项公式_________. 17. 为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________. 18. 踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住、记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则所有正确结论的序号是___________. ①；②；③；④ 三、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 已知等比数列中，，. （1）求数列的前5项及前项和； （2）若等差数列满足，，求的前项和，的最值及取得最值时的取值. 20. 某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． （1）求该项技术量化得分不低于8分的概率； （2）记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 21. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 22. 某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 a b 12 4 2 （1）在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； （2）从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； （3）试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明） 23. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $