21.3.3 正方形 小节习题2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3《 正方形》小节习题 一、单选题 1．如图，在中，添加下列条件，不能使成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 2．如下图，在的方格纸上，记，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 4．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 5．在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 7．如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是________． 8．如图，在中，，点P在边上以的速度从点A出发在上往返运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（点P同时也停止运动），设运动时间为秒，若四边形是平行四边形，则t的值是________．      9．图（1）是一张矩形纸片，将其依次按图（2）、图（3）的方式折叠，AE与AD恰好重合． （1）如图（3），折痕AM与EF交于点G，则∠AGD＝______． （2）若DFG的面积为S，则矩形ABCD的面积为______． 10．如图，以∆ABC的三边为边在上方分别作等边、、∆BCF．且点A在∆BCF内部．给出以下结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当时，四边形是菱形； ④当，且时，四边形是正方形． 其中正确结论有__________（填上所有正确结论的序号）． 三、解答题 11．如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 12．如图，在正方形中，以为边向上作等腰直角三角形，，，请仅用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画出边的中点； (2)在图2中，画出边的中点． 13．在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形成为矩形？ (2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 14．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 15．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 16.矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            17.在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 18.小红在学习了图形的旋转后，用它来探究直角在正方形中的旋转问题．如图1，有和一个边长为a的正方形ABCD，点O是正方形的中心． (1)如图2，当顶点P是正方形边上任意一点时，的两边分别与正方形的边BC，AD交于E，F两点，连接EF．若绕P点旋转，在旋转过程中EF长的最小值为______． (2)如图3，当点P与正方形的中心O重合时，的两边分别与正方形的边BC和AB交于E，F两点，连接EF．若绕O点旋转，在旋转过程中． ①求EF长的最小值； ②四边形EOFB的面积是否会发生变化，请说明理由． 参考答案 一、单选题 1．B 解：A、中，若，则是矩形，再由，可得是正方形，故此选项不符合题意； B、中，若，则是菱形，再由，可得是矩形，但不一定是正方形，故此选项符合题意 C、中，若，则是菱形，再由，可得是正方形，故此选项不符合题意； D、中，若，则是矩形，再由，可得是正方形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．C 解：如图： 由正方形的性质可知，和分别为的正方形的对角线， 则，即， 由图可知，和分别为的正方形的对角线， ， ， ， 同理可得：， ， ， ． 3．B 解：连接，，如图， 在中，， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 四边形是边长为9的正方形，， ，，， ， 解得． 故选：B． 4．A 解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 5．A ①如图，两个三角板斜边重合，此时，是邻等对补四边形； ②当等腰直角三角板的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ③当等䃌直角三角坂的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ④当直角边和斜边重合时，不满足至少有一组邻边相等，也不满足对角互补． 综上，只有1个． 故选：A． 二、填空题 6．（答案不唯一） 解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 7． 解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 8．4或8或12． 解：设经过秒，四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， 分为以下情况：①点P的运动路线是，方程为， 解得：； ②点P的运动路线是，方程为， 解得：； ③点P的运动路线是，方程为， 解得：； ④点的运动路线是，方程为， 解得：（舍去）； 或8或12． 故答案为：4或8或12． 9． 112.5° () 解：（1）由题意可知四边形ABEF是正方形， ∴∠EAF=∠AEF=45°， ∴∠ADG=∠AEG=45°. 根据折叠的性质知AM平分∠DAE， ∴∠DAG=22.5°， ∴∠AGD=180°-∠DAG-∠ADG=112.5°； 故答案为：112.5°； （2）由（1）知∠ADG=45°，∠DFG=90°，可知△DFG是等腰直角三角形， 设DF=FG=a，则S=a2，EG=DG=a， ∴a2=2S，AB=EF=(1+)a， ∴AD=AE= (1+)a=(+2)a， ∴= AB AD =(1+)a・(+2)a =(3+4)a2 =2(3+4)S =(6+8)S． 故答案为：(6+8)S． 10．①②③④ 解析：①、∆CBF是等边三角形， ，，， ， ， ∴EF=AC=AD， 同理由，得， 由，即可得出四边形是平行四边形，故结论①正确； ②当时， ， 由①知四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故结论②正确； ③由①知，，四边形是平行四边形， 当时，， 平行四边形是菱形，故结论③正确； ④综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形， 四边形是正方形，故结论④正确． 故答案为：①②③④． 三、解答题 11．解：如图，连接，． ，分别为，的中点， ∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点， ∴，． 当四边形为矩形时，， ∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，， ∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 12．（1）解：如图1，点即为所作； ； （2）解：如图2，点即为所作； ． 13．（1）∵，， ∴当时，四边形成为矩形， 由运动知，，， ∴， ∴， 解得． ∴当时，四边形成为矩形； （2）①当时，， 此时，四边形是平行四边形； ②当时，， 此时，四边形是平行四边形时； ③当时，， 此时，四边形为平行四 边形； 综上所述，当或或时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形不能成为菱形．理由如下： ∵， ∴当时，四边形能成为菱形． 由，得， 解得：， 当时，，，． 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴四边形不能成为菱形； 如果Q点的速度改变为时，能够使四边形在时刻为菱形， 由题意得， 解得：． 故点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形． 14．（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②在矩形中，， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴四边形的周长； （2）①∵， ∴． ∵． ∴． ∴四边形是矩形． 要使四边形是正方形，必须． ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20． 15．解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 16.（1）证明：连接，   由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，，    ∴， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 17.（1）证明：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 18.（1）解：过点E作EH⊥AB于H，则当EF=EH时，EF的长最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠AHE=90°， ∴四边形AHEB是矩形， ∴EH=AB=a， 故答案为：a； （2）①如图，连接AC、BD交于点O， ∵∠EOF=∠BOC=90°， ∴∠BOF=∠COE， ∵OB=OC，∠OBF=∠OCE=45°， ∴△OBF≌△OCE（ASA）， ∴OF=OE， ∵∠EOF=90°， ∴， ∴当OE⊥BC时，OE与OF最小，即EF最小， 此时OE=OF=BC=a， ∴； ②四边形EOFB的面积不会变化，理由如下： ∵△OBF≌△OCE（AAS）， ∴， ∴四边形EOFB的面积=， ∴四边形EOFB的面积不会变化． 学科网（北京）股份有限公司 $