21.3.3正方形 培优练习题2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3正方形培优练习题 一、单选题 1.小丽家有一个菱形的小院子，院里有四棵小树E,F,G,H刚好在其院子ABCD各边 的中点上，若在四边形EFGH内种上小草，则这块草地的形状是() A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 2.如图，将正方形ABCD沿AE(点E在边CD上)所在直线折叠后，点D的对应点为点 D,∠BAD比∠EAD大20°，若设∠BAD'=x°，∠EAD=y°，则下列方程组正确 的是() D E D X-y=20 B x+y=20 C. x-y=20 A. D.X+y=20 x+2y=90 x+2y=90 2x+y=90 2x+y=90 3.如图，用四根相同长度的木条制作成正方形ABCD,测得对角线AC长为5只2，如果将 此正方形变形为菱形，且∠DAB=60°，那么菱形对角线AC长为() D B A.10 B.5V6 c.53 D.52 4.如图，在正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，连接AF并延长交CD于点E,若 EF=EC,则∠ECF的度数为() A.36° B.32° C.30° D.28° 5.如图，已知点P6,6,若∠APB是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A,B两点， 则OA+OB等于() y B A.12 B.10 C.8 D.6 6.如图，在正方形ABCD和正方形GCEF中，点D在CG上，点B、C、E在同一条直线 上，BC=2,CE=4,H是AF的中点，连接CH,则CH的长是()， F H E A.6 B.2V10 C.10 D.10 7.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E在CD边上，且DE=2CE,点P是对角线 AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是() A.22 B.V10 C.3 D.32 二、填空题 8.如图，P是正方形ABCD内的一点，连接PA,PB,PC,PD.若△PAB是等边三角 形，则∠DPA的度数是 A B 9.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上，将正方形ABCD沿EF折叠， 使点B落在AD边上的三等分点M处，点C的对应点为点N,若AB=5 则线段AE的 长为 A M B 10.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，BE=2,AF=4,如果 AE‖CF,那么△ABE的周长是 F D B E 11.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点，连接EC, FD,点G,H分别是EC,FD的中点，连接GH,则GH的长度为 D H G B 12.如图，点B在线段CD上，四边形ABDE、ACFG均为正方形，且它们的面积分别为4 和7，连接EC、EG、GC,则△ECG的面积为 G 三、解答题 13.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OB,OC上， ∠OAE=LOBF. (I)求证：△AOE2△BOF: (2)请判断AE与BF的位置关系，并说明理由. 14.如图，在正方形ABCD中，点E,F(不在正方形的顶点上)分别在AB,BC上， AE=CF,连接DE,DF D C (I)求证：△ADE≌△CDF (2)已知AG,CH分别是△ADE的高线和△CDF的中线，若∠DAG=58°，求∠DCH 的度数， 15.如图，在正方形ABCD中，点E,点F分别在边AD,CD.上且满足AE=CF,点O是 对角线BD的中点，连接EO, A D (1)求证：△ABE≌△CBF. (2)若EO⊥BF ①求证：∠BEO=2∠ABE. ②求证：SAABE=SAODE: 16.如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C、D重合），垂直于BE的一 条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N,正方形ABCD的边长为6. C(M)B 图1 图2 (I)如图1，当点M和点C重合时，若AN=4,求△CDN的面积为-； (2)在(1)的条件下求线段PM的长度； (3)如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由. 《21.3.3正方形同步训练2025-2026学年人教版数学八年级下册》参考答案 1.A 【分析】连接菱形ABCD的对角线AC和BD,先利用三角形中位线定理证明四边形 EFGH是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，推出平行四边形有一个内角是 直角，即可判定形状. 【详解】解：如图，连接AC,BD, G ,E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点， ∴由三角形中位线定理得EHBD,EH=BD,FGBD,FG=BD,EFIAC, EF=AC, 2 ∴.EHI‖FG,EH=FG, ∴.四边形EFGH是平行四边形， 四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD, EHI‖BD,EF‖AC, .EH⊥EF,即∠HEF=90°， ∴.平行四边形EFGH是矩形. 2.A 【分析】本题考查折叠的性质和正方形的性质， 由折叠的性质可得∠DAE=∠EAD',再根据正方形的性质即可列方程组. 【详解】解：由折叠可知∠DAE=∠EAD=y, ,四边形ABCD为正方形， ∴.∠BAD=90°， ,∴.∠BAD+∠DAE+∠EAD=X+2y=90, 由∠BAD比∠EAD大20°得X-y=20, .可列方程组为 x-y=20 x+2y=90 故选：A. 3.C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得AB=BC=5cm,如图，连接BD交AC于点 O,根据菱形的性质结合∠DAB=60可得OB= 2 cm,再利用勾股定理得到 0A=AB2-0B=53 m,进而求解即可. 2 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，对角线AC长为5V2, .AB=BC,∠B=90° ..AB2+BC2=AC2,2AB2=522 .AB=BC=5cm 如图，连接BD交AC于点O, D B ,将正方形变形为菱形， ∴AB=AD,AC⊥BD,BO=D0,OA=OC=1AC, .∠DAB=60° ∴.△ABC为等边三角形， :.AD=AB=BD=5cm,OB=OD=BD=5cm, ·0A=AB2-OB=53 cm ∴.AC=2OA=53cm. 4.C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，利 用正方形的性质可证△ADF≌△CDF SAS,得到∠DAF=∠ECF,再根据等腰三角 形及三角形外角性质可得∠AED=∠ECF+∠EFC=2∠ECF,进而得到 3∠ECF=90°，即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键， 【详解】解：四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴.∠ADE=90°，AD=CD,∠ADF=∠CDF=45°， .DF=DF, .△ADF≌△CDFSAS, .∠DAF=∠DCF, 即∠DAF=∠ECF, EF=EC, ∴.∠ECF=∠EFC, ∴.∠AED=∠ECF+∠EFC=2∠ECF, ∠DAF+∠AED=90°， ∴.3∠ECF=90°， ∴.∠ECF=30°， 故选：C 5.A 【分析】过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,根据点P6,6,判定四边形 OMPN是正方形，再证明△PNB≌△PMA ASA,解答即可. 本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定 和性质，正方形的判定和性质是解题的关键。 【详解】解：如图所示，过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N, 则四边形OMPN是矩形， y不 C B ○ MA衣 点P6,6, ∴.PN=PM=6, .四边形OMPN是正方形， ∴.ON=OM=PN=PM=6, ∴.∠NPM=90° .∠BPA=90°， ∴.∠NPB=90°-∠APN=∠MPA, |∠NPB=LMPA PN=PM ∠PNB=∠PMA ∴.△PNB≌△PMA ASA, .BN=AM, ..OA=OM+AM=6+AM,OB=ON-BN=6-AM, ..OA+OB=6+AM+6-AM=12, 故选：A. 6.C 【分析】连接AC、CF,延长AD交EF于M,则∠ACG=45°=∠GCF,四边形 ABEM是矩形，∠ACF=90°，AM=BC+CE=6,ME=AB=BC=2,FM=2,由勾 股定理得，AF=AM+FM2=2V10,由H是AF的中点，∠ACF=90°，可得 三)AE,计算求解亚 此题考查了运用矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求 线段长、斜边的中线等于斜边的一半， 【详解】解：如图，连接AC、CF,延长AD交EF于M, G H .正方形ABCD和正方形GCEF, ∴.∠DAB=∠B=∠BCD=∠GCE=∠E=90°， ∴.∠ACG=45°=∠GCF,四边形ABEM是矩形， .∠ACF=90°，AM=BC+CE=6,ME=AB=BC=2, .FM=EF-ME=CE-ME=2, 由勾股定理得， AF=7AM2+FM2=210 ,H是AF的中点，∠ACF=90°， :CH=1AF=10, 故选：C. 7.B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握正 方形的性质是解题的关键.利用正方形对角线的对称性，将PD转化为PB,将PE+PD的 最小值转化成BE即可得到答案。 【详解】解：连接BE,设BE与AC交于点P', .正方形ABCD, .点B与点D关于AC对称， .PD=PB, .'P'D+PE=P B+P E=BE: 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度， 'Rt△CBE中，∠BCE=90°，BC=3,CE=1CD=1, 3 ∴.BE=3+1=10: 故选B 8.75/75度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质.根据正 方形的性质，等边三角形的性质可得∠DAP=30°，AP=DA,即可求解. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAB=∠CBA=90°， :△PAB是等边三角形，