21.3.2 菱形 小节习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过折叠操作、动态动点及尺规作图问题，融合几何直观与推理能力，适配新授课巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|5|菱形性质（如第1题对角线垂直）、判定（如第2题条件选择）、与矩形综合（第3题）|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|5|菱形特殊化条件（第6题）、折叠面积（第7题）、角度计算（第8题）、操作探究（第10题）|渗透空间观念，设置分层探究（如第10题多问）| |解答题|7|性质证明（第11题）、面积计算（第12题）、尺规作图与证明（第13、15题）、动态问题（第16、17题）|综合应用推理能力，结合动手操作与动态模型，体现创新意识|

21.3.2《菱形》小节习题 一、单选题 1.如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD于点E.下列结论正确的是() E A.∠B=2LCAE B.∠B+∠CAE=90° C.LB+2∠CAE=180 D.2∠B+∠CAE=180 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件，不 能判定四边形ABCD是菱形的是() A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠AB0=LCBO 3.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,CE∥BD.下列推断错误的 是() A.BD=2DE B.OE=AC C.∠ODC=∠EDC D.OE⊥DC 4.如图，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=AD,连接AE,若LC=100°，则 ∠DAE的度数是() A.30° B.40 C.50° D.70° 5.如图，已知AB=6,分别以点A、B为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于M、N两 点，则以A、B、M、N四点为项点的四边形的面积是() 、、M--- A.12 B.24 C.30 D.48 二、填空题 6.已知，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O.若增加一个条件，将它边的 数量关系特殊化，可使AC⊥BD,则增加的一个条件可以是 .(写出一个即可) 7.将一个长为15cm,宽为12cm的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的 矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形ABCD的面积为 8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E在边CD上，且BD=BE,若 ∠EBC=12°，则∠BDC的度数为· B 9.如图，在ABCD中，AB=BC=13,连接AC,AC=24,延长CB至E,BF平分∠ABE,点P 是BF上一点，连接AP、CP,则△ACP的面积为 D 10.如图，在口ABCD中，AD=1,AB=x(x>1),作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线. D M 【第一次操作】 作∠DAB的平分线交DC于点M,过点M作MN∥AD,交AB于点N,则四边形ADMN为菱形， 且另一个四边形MWBC为平行四边形. 【第二次操作】 作【第一次操作】所得的▣MNBC某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形. 【第三次操作】 作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形 …重复上述操作， (1)若四边形MNBC是菱形，则x的最小正整数值为； (2)若对口ABCD进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有个不同的取值. 三、解答题 11.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC,CE∥DB.求证：四边形OBEC是 矩形. D 12.如图，已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E,求AE的 长 A O B E 13.如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠D=2LB. A D B (1)用无刻度的直尺和圆规在线段BC上求作一点E,使得AE=BE,连接AE(保留作图痕迹， 不写作法). (2)若∠CAD=LACB,点E是BC的中点，求证：四边形AECD是菱形. 14.如图，4C为如48CD的对角线，分别以点A,C为圆心，大于24C的长为半径画弧，两弧 分别交于点M、N,连接MN分别交AD、BC、AC于点E、F、O,连接，AF、CE, E D (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若CD∥EF,平行四边形ABCD的周长为12，AC=2√5，求菱形AECF的面积. 15.在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相 交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形.他的证明思路如下，请根据他的思 路完成以下作图与填空： B 0 第一步：尺规作图.请用圆规和直尺，在所给图中作∠AB0的角平分线交对角线AC于点E;作 LCDO的角平分线交对角线AC于点F;连接BE、DF(不写作法，保留作图痕迹). 第二步：证明猜想如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O.BE平分∠ABO,DF 平分LCDO.求证：四边形BEDF是菱形. 证明：在菱形ABCD中，AC⊥BD,OB=OD,AB∥CD, LAB0=∠CD0(两直线平行，内错角相等)， :BE平分∠ABO,DF平分∠CDO, .2∠EB0=∠AB0,2∠FD0=∠CD0, .① :BE∥DF(内错角相等，两直线平行)， ∠EBO=∠FDO 在△BOE和aDOF中， ② ∠BOE=∠DOF .△BOE≌△DOF(ASA), .③ 又：BE∥DF, :四边形BEDF是平行四边形， :AC⊥BD,且E、F均在AC上， .EF⊥BD, 即BD⊥EF, ·四边形BEDF是菱形（④ 16.将两个全等的直角三角形如图摆放，其中LACD=∠CAB=90°，AB=CD=3,AC=4,动点P 从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，同时点Q从点C出发以每秒？个单位长 度的速度沿CB向终点B运动，点Q到达终点B后点P也停止运动，设点Q运动时间为t(秒)： O ←PA C0→ B (1)当t=2时，求PD的长； (2)是否存在t的值，使得以P,Q,B,A为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值，若不 存在，请说明理由； (3)是否存在t的值，使得PQ与CD互相平分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理 由. 17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，D,E是斜边AB上的两个动点（不与点A,B 重合)，过E作EF⊥BC于点F,设BD=m,EF=n,且m=I2-4n,连结DF, A A 0 E F B B 备用图 (1)当m=8时， ①求DE长； ②求△BDF的面积. (2)是否存在点P,使得以D,E,F,P四点为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出n的值， 若不存在，请说明理由. 参考答案 一、单选题 1.A 解：：四边形ABCD是菱形， :AB∥CD, ·∠BCD=180°-∠B, :AC是菱形ABCD的对角线， ∠4CD=∠ACB=BCD=90-∠B, .'AEL CD, ∠AEC=90°， ∠CAE=90-∠ACD=2∠B， ∠B=2LCAE,A选项正确； 若∠B+LCAE=90°，则3LCAE=90°，即LCAE=30°，∠B=60°，题目中没有说明，无法推出，B 选项错误； 若LB+2LCAE=180°，则2LB=180°，即LB=90°，题目中没有说明，无法推出，C选项错误； 若2∠B+∠CAE=180°，则5∠CAE=180°，即∠CAE=36°，LB=72°，题目中没有说明，无法推出，D 选项错误； 故选：A. 2.B 解：AO=CO,BO=DO, .四边形ABCD是平行四边形， 当AB=AD或AC L BD时，均可判定四边形ABCD是菱形； 当∠AB0=∠CBO时， 由AD∥BC知∠CBO=∠AD0, ∴.∠AB0=∠AD0, .AB=AD .四边形ABCD是菱形； 当AC=BD时，可判定四边形ABCD是矩形； 故选：B. 3.B 解：DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCDE是平行四边形 ,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, :AC=BD,OC=IAC.OD=1BD .∴.0C=0D ∴.四边形OCDE是菱形， ∴.BD=20D=2DE,故A正确， ∴.∠ODC=∠EDC,OE⊥DC,故C,D正确， 没有条件得出B选项. 故选：B. 4.A 解：，四边形ABCD是菱形， ∴.BC=AB=CD=AD,∠BAD=∠C=100°，AB∥CD, .∴.∠ABC=180°-∠C=80°， ∴在菱形ABCD中，LABE=∠ABC=40°， .∴.∠BAE+∠BEA=180°-∠ABE=140°， .BE AD ∴.AB=BE, ∴.∠BAE=∠BEA=70°， ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=100°-70°=30° 故选：A. 5.B 解：根据题意可得，AM=MB=BN=AN=5, 四边形ANBM是菱形， ∴.设AB和MN交于点O, 、M,-- AB⊥MN,A0=B0=AB=3, ∴.M0=N0=VAM2-A02=V52-32=4 .∴.MN=20M=8 1 ·四边形ANBM的面积三)ABMN=,×6×8=24. 故选：B, 二、填空题 6.AB=BC(答案不唯一) 解：四边形ABCD为平行四边形， ∴.当AB=BC时，口ABCD为菱形， 此时AC⊥BD. ∴.增加的一个条件可以是AB=BC. 故答案为：AB=BC(答案不唯一). .m 解：如图： D外 E 由题意得：0E=15x}=15 cm,0D=12×}=3cm, 44 4 由折叠得：AD=CD=BC=AB=DE, ·四边形ABCD是菱形， .S-AC-DD 115 ×2x3×2 =24* 45 cm 2 8.64° 解：：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ·∠BDC=LDBC, BD=BE, :LBDC=∠BED, 设LDBE=x, .BD=BE,LEBC=I2°， ∠BDC=∠BED=x+12°， :∠DBE+∠BDC+∠DEB=180°， .x+x+12+x+12=180°， x=52°， .∠BDC=52°+12°=64°. 9.60 解：口ABCD中，AB=BC=13, .口ABCD是菱形，AB∥CD, .AC平分∠BCD, 延长CB至E,则LABE=∠BCD, ,BF平分∠ABE, ∴.∠EBF=LECA, ∴.AC∥BF, 连接BD交AC于点G,则AC⊥BD,且BD平分AC, D G E AB=BC=13,AC=24, ∴.AG=CG=12, ..BG=AB2-AG2=5, AC∥BF, ∴.△ACP的高为h=5, 1 D=,·AC·h=×24×5= 故答案为60， 10. 2 4 解：(1)，第一次操作后四边形ADMN为菱形，四边形MNBC为平行四边形， ∴.AN=MN=AD,BN=MC, ,四边形MNBC是菱形，AD=1, ∴.MN=BN, ∴.AN=MN=BN=AD=1, ∴.AB=BN+AN=2, 则x的最小正整数值为2； (2)根据题意：对口ABCD进行第三次操作后，得到四个菱形，共有四种可能结果如图所示： ① 则x=1+1+1+1=4; ② .14 则x=1+ 33 ③ 则11+ ④ ，1,15 则x=1+3 综上，x有4个不同的取值. 三、解答题 11.证明：：BE∥AC,CE∥DB, :四边形OBEC是平行四边形， 又：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, :AC⊥BD, :∠B0C=90°， 四边形OBEC是矩形， 12.解：，四边形ABCD是菱形， .0B=-BD=4cm,OC=AC=3cm,AC L BD, :BC=OB2+0C2 =5cm :AE⊥BC, ·S装形HBcD=BC·AE= 4c0,即5E=号6x8, 解得E兰m. 13.(1)解：如图，点E为所作； D (2)证明：：AE=BE, ∠B=LBAE, ∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B, :∠D=2∠B, :∠D=LAEC. .'∠CAD=∠ACB, AD∥BC, .∠D+LDCB=180°， ∠AEC+∠DCB=180°， AE∥DC, ∴.四边形AECD是平行四边形. ,点E是BC的中点， :BE EC. BE=AE, :AE EC ∴四边形AECD是菱形. 14.(1)证明：由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线， .∠C0F=90°，OA=OC,AE=CE,AF=CF. :四边形ABCD为平行四边形， AD∥BC, :ZOCF=Z0AE ZOFC =Z0EA, :△AOE≌△COF(AAS), :.AE=CF :AE=CE=AF=CF :四边形AECF为菱形； (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,AB∥CD, CD∥EF, ∴.AB∥EF, ,AC⊥EF, ∴.∠BAC=LF0C=90°， .FA=FC, ∴.LFAC=∠FCA, ∴90°-∠FAC=90°-∠FCA, ∴.∠BAF=∠ABF, ∴FA=FB, ∴.FB=FC, .平行四边形ABCD的周长为12， .∴.2AB+BC=12, ∴.AB+BC=6, 设FB=FC=x,则AB=6-2x, ∴.在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+AC2=BC2, ∴(6-2x)2+25=(2x2, 解得：x=2, 设平行四边形ABCD的BC边上的高为h ∴.S。ABcD=AB×AC=2×2V3=4V5=BC×h, :S菱形rcE=CF×h,BC=2FC, .S菱形cE=2V5. 15.解：如图所示，就是所求作的图形； B D 证明：在菱形ABCD中，AC⊥BD,OB=OD,AB∥CD, :LAB0=LCD0(两直线平行，内错角相等)， :BE平分∠ABO,DF平分∠CDO, :2∠EB0=∠AB0,2∠FD0=∠CD0, .∠EBO=∠FDO, :BE∥DF(内错角相等，两直线平行)， I∠EBO=∠FDO 在△B0E和△DOF中， OB=OD ∠BOE=∠DOF .△BOE≌△DOF(ASA), :BE =DF, 又：BE∥DF, :四边形BEDF是平行四边形， :AC⊥BD,且E、F均在AC上， EF⊥BD, 即BD⊥EF, ·四边形BEDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 故答案为：①LEBO=∠FDO;②OB=OD;③BE=DF;④对角线互相垂直的平行四边形是菱 形 16.(1)解：在Rt△ACD中 CD=3,AC=4, ∴.由勾股定理得：AD=VCD2+AC2=5, ∴.BC=5, :点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，点Q从点C出发以每秒？个单位 3 长度的速度沿CB向终点B运动， 0s1货当1=2,4P=2 PD=5-2=3. (2)解：存在；理由： 依题意，若以P,Q,B,A为顶点的四边形是菱形，则满足AP=BQ,且AP=AB 即=5， 解得t=3, 当t=3时，AP=AB=3, ∴.当t=3时，以P,Q,B,A为顶点的四边形是菱形； (3)解：不存在；理由： 若O与CD互相平分，则P在D的左侧，且四边形PDQC为平行四边形， Pp=C0,即1-5=名， 3 解得t=15, 15 由(1)知0≤t≤ 2 ∴.不存在t的值，使得P四与CD互相平分. 17.(1)解：①当m=8时，BD=12-4n=8, n=1, ,∠EFB=90°，∠B=30°，EF=1, ∴.BE=2EF=2, ∴.DE=BD-EB=8-2=6; ②如图1中，过点D作DF⊥BC于F点. A D E C P B 图1 ∠EFB=90°，∠B=30,EF=1, ∴.BF=V3EF=V5, ,∠DFB=90°， DP-号BD=4 ..wDxx2 (2)解：存在，当D在点E的左侧时， ,∠DEF=120°， ∴.当四边形DEFP是菱形时，只有一种情形如图2中， A D E P F B 图2 此时DE=EF,由(1)得，DE=12-6m, ∴.12-6n=n, 当点D在点E的右侧时， ∠DEF=60°， 分两种情形， 当四边形DFER或四边形DEFP都是菱形时，如图3中， A E D 口 B P 图3 均可得到aDEF是等边三角形， ∴.DE=EF, 此时DE=BE-BD=2n-12-4n=6n-12, ∴.6n-12=n, n=2 5’ 综上所述，满足条件的n的值为号或号