21.3.1 矩形 小节习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.1《矩形》小节习题 一、单选题 1.下列条件中，能够判定口ABCD为矩形的是() A.AB=BCB.AC⊥BD C.AD=BC D.AC=BD 2.如图，△ABC中，E,F分别是AB,AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N, BD⊥AN，,AB=6,BC=8,则DF=() A.2 B.2 C.1 D. 3.如图，将一张长方形纸条翻折，EF是折痕.若∠BFE=34°，则∠CGF的度数为() A.34° B.48° C.560 D.68° 4.证明：矩形的对角线相等. 已知：如图，在矩形ABCD中，连接AC,BD,求证：AC=BD. D 证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD, 又BC=CB,∴ABC≌△DCB,，AC=BD. 则“”在处应该补充的证明过程是() A.∠ACB=∠CBD B.AB∥CD C.∠ABC=∠DCB=90° D.∠BAC=∠CDB 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,P为BC边上一动点.过点P分别作 PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点，连接AM,则EF的最小值为() A.4.8 B.4 C.3 D.2.4 二、填空题 6.如图，四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H.若AD∥BC,AB∥DC,则四 边形EFGH是 形 刀 7.如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF,若 BC=3,则BE的长度为 8.如图，在矩形ABCD中，AB6,AD3,矩形内部有一动点P满足S△PAB3S矩形ABCD,则点 P到A、B两点的距离之和PA什PB的最小值为 9.如图，在△ABC中，CE1AB于点E,BF L AC于点F,M为BC的中点，EF=14,BC=20,则 △EFM的周长为 E B M 10.中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边 的直线，则所容两长方形面积相等（如图①中Sw=Sec）”,间题解决：如图②， ABCD 的对角线1C上一点，过点M作BF∥8C分别交B,CD于点，F.连接8M, 、AB,CDE,F 点M是矩形 若CF=4,EM=3DF=2,则MF=· M D 、M E C 图① 图② 三、解答题 11.如图，在矩形ABCD中，点E是AB边的中点，点F是CD边上一点，将四边形纸片ABCD 沿EF折叠，使点A落在边CD上的点A处，连接AB.若∠AEF=60°，求证：△AD'F≌△BCA'. E B D 12.如图，M是口ABCD的边AD的中点，现有以下三个选项：①∠I=∠2；②BM=CM;③ ∠2=∠4.从中选择一个合适的选项作为已知条件，使口ABCD为矩形. M D 3 4 C (1)你添加的条件是 (填序号). (2)添加条件后，请证明口ABCD为矩形. 13.如图的网格中，每个小正方形的边长均为1.仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按 下列要求画图（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画的最后结果中的线用实线表 示). D A B B 图1 图2 (1)请在图1中画出线段AB的中点C. (2)请把图2中的四边形ABCD改成一个以AB为底边，面积不变的梯形. 14.情景： 现有一张锐角三角形ABC纸片（如图1所示），Sc-24cm,BC=8cm.嘉嘉经过一刀栽剪， 拼成了一个无缝隙、无重叠的平行四边形BCFD(如图2所示). D F B B 图1 图2 图3 发现： 如图2，DE= cm S四边形BCFD cm2 操作： 将图1的三角形ABC纸片经过两刀裁剪，拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形DEFG,且使矩 形的一条边落到BC上（可以与BC重合）· 探究： 通过计算确定矩形DEFG的周长. 15.问题探究 (1)请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； (2)如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分 成面积相等的两部分， 问题解决 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图， 其中DC∥0B,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P(4,2) 处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直 线1将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线1是否存在？若存在求出直线1的 表达式；若不存在，请说明理由 D C C D ●M B A B B x 1 ③ 参考答案 一、单选题 1.D 解：在平行四边形ABCD中， 当AB=BC,则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故A错误； 当AC⊥BD,则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故B错误； 当AD=BC,这是平行四边形固有的性质，不能作为判定矩形的额外依据，故C错误 当AC=BD,根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故D正确. 故选：D. 2.C 解：：E,F分别是AB,AC的中点，BC=8, 1 ∴.EF=二BC=4 BD⊥AN,AB=6, :DE=AE=BE=1AB=3 2 .DF=EF-DE=4-3=1. 3.D 解：如图所示： EF是折痕， ∴.∠1=∠2，∠CEC=∠1+∠2=2∠1 :AC'∥BD', ∴.∠3=∠C'EC,∠1=∠EFB 又.∠EFB=34°， ∠1=34°， ∠3=68°， 又.∠CGF=∠3， .∠CGF=68°， 4.C 证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°， 又，BC=CB, ∴.△ABC≌aDCB(SAS), ∴.AC=BD. 则在“”处应该补充的证明过程是∠ABC=∠DCB=90°， 故选：C. 5.D 解：∠BAC=90°，PE⊥AB,PF⊥AC, ∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°， ∴.四边形AFPE为矩形. :M为矩形对角线EF的中点， “延长AM应过点P,如图所示， :AP=EF. 由勾股定理，得BC=V32+4=5 当AP为Rt△ABC斜边上的高，即AP⊥BC时，AP有最小值，则EF也有最小值. 此时Sc4B4C=8c4P, 2 AP=B4C-3x4=2.4, BC .EF的最小值是2.4. 故选：D. 二、填空题 6.矩 :AD∥BC,AB∥DC ∠DAB+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°， ∠ADC+∠DAB=180° “四边形 ABCD E,F,G,H 各角的平分线分别相交于点 ∠DAE=∠HB-=DAB,∠ADE=∠CDF=ADc,∠ABH-ABc,∠DcF=∠BCD, ∴，∠DAE+∠ADE=90°，∠CDF+∠DCF=90° ∠HAB+∠ABH=90° .∠DEA=∠HEF=90°，∠F=90°，∠H=90°， .四边形EFGH是矩形. 7.32-3 解：根据题意，得BE=BF,BF+EF=BC 设BE=BF=x,则EF=√BE+BF=V2x, BC=3, :.x+V2x=3 解得x=3V2-3 故BE=32-3 8.2g 解：设△ABP中AB边上的高是h. :S△PAB3S矩形ABCD, 1 2AB.h=3 AB.AD, 2 .'.h=3 AD-2, ∴.动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上， 如图，作A关于直线I的对称点E,连接AE,BE,则BE的长就是所求的最短距离. E 在Rt△ABE中，.AB6,AE2+2=4, 8服6+4=2N13 即PA+PB的最小值为2 故答案为：2E 9.34 解：CE⊥AB,BF⊥AC,M为BC的中点， EM=FM=1BC ·EF=14,BC=20, ∴.EM=FM=10 ∴.△EFM的周长=EF+EM+FM=14+10+10=34. 故答案为：34。 10.6 解：过点M作HG‖AB,交AD、BC于点H、G,如图： H D M B 图② ,四边形ABCD是矩形，EF∥BC,HG‖AB, ∴.四边形EBGM、DHMF是矩形， ∴.EB=CF=4, .点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，EF∥BC,HG‖AB, 、S矩形EBGM二S矩形DHMB ∴.EB·EM=MF.DF,即4×3=MF×2, .MF=6, 故答案为：6. 三、解答题 11.证明：在矩形ABCD中，AD=BC,∠D=∠C=90°，AB∥CD, 根据折叠，可得∠D=∠D,AD=AD,AE=AE,∠AEF=∠AEF, :∠D=∠C=90°.AD=BC 点E是AB边的中点， .'AE=BE, ∴.A'E=BE, .∠AEF=60°， ∴.∠A'EF=60°， ∴.∠A'EB=180°-60°-60°=60°， ∴.△A'EB是等边三角形， .'AB=AE, .AB∥CD, .∠A'FE=∠AEF=60°， ∴.∠FA'E=180°-60°-60°=60°， .△A'EF是等边三角形， .'A'F=A'E, ∴AF=AB, 在Rt△A'D'F和RtABCA'中， A'D'=BC AF=AB, .∴△A'D'F≌aBCA'(HL). 12.（1)解：①或②（选一项即可)； (2)选择①：证明：如图，过点M作AB的平行线，交BC于点N,过点N作BM,CM的垂线 段交于点E,F, M D E 23 、, 49 C 四边形ABCD是平行四边形， AB∥DC, .AB∥MN∥DC, ∴.∠I=∠BMN=∠CMN=∠2， :NE⊥BM,NF⊥MC :EN FN, AD∥BC, “四边形 AMNB,MNCD 为平行四边形， :M是口ABCD的边AD的中点， ∴.AM=BN=MD=NC, 在RtAEBN和Rt△FCN中， 「BN=CN NE =NF ∴.Rt△EBN≌Rt△FCN(HL) .∠3=∠4， .∠1+∠3=∠2+∠4，即∠ABC=∠DCB, :∠ABN+∠DCB=180° ∴.∠ABN=∠DCB=90°， :口ABCD为矩形； 选择②：证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,AB=DC, .∠A+∠D=180° M是ABCD的边AD的中点， ∴.MA=MD 在△ABM和△DCM中， AB=DC AM=DM BM=CM' ∴.△ABM≌DCM(SSS ∴∠A=∠D, :∠A=∠D=90°， ABCD为矩形. 13.(1)解：如图所示，点C即为所求； A人 M 图1 (2)解：如图所示，四边形ABCD即为所求. D B 图2 14.解：发现：四边形DEFG为平行四边形， ∴.AB∥CF,DC=BC=&cT, ∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F, 点A与点C,点D与点F,点E与点E是对应顶点， 日正-r-比m, S四边形CPD=S国边形BCED+S,cEr=S边形BCED+S.4DE=S.MBe=24cm2 故答案为：4；24 操作：如图所示 方案一：先取AB,AC边的中点D,Q,沿DQ的方向剪，然后再点D沿垂直BC的方向剪，然后 拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形DEFG; 方案二：先取 服，4C边的中点RQ,沿”的方向剪，然后再△吧的中线”的方向剪，然 后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形DEFG; 方案三：分别在AB,AC边的中点P,Q,沿垂直BC的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重 叠的矩形DEFG, A 4 G ① ② ① .-,G Er- -D ① 1(1 B② ①1 E M (F) C(G) ② B D ME 方案一 方案二 方案三 如图，方案一：过点A作M1C于点以交DG于点，设 C.DG 交于点P, ..S.4wc=24cm2 BC=8cm ∴.SBc=)BC×AM=)×8×AM=24cm2, 2 2 ∴.AM=6cm, 由发现得：四边形BCGD是平行四边形，S.am=Se=24ci,DG=BC=8cm, .DG∥BC, ∴.MN⊥DG, .S.m M x BC =S.eE x BC A3 ,四边形DEFG是矩形， .E⊥BC,FG⊥BC, .'.DE FG M 3cm, 此时方案一：矩形DEFG的周长为8+8+3+3=22cm; 同理方案二：矩形BCDE的周长为8+8+3+3=22cm; 方案三：由操作方法得：AG=BD4F=E, .FG=AG+A=BD+正， ,四边形DEFG为矩形， FG-Ec-cn, 过点A作AM⊥BC于点M,则DG=EF=AG=6cm, ∴.矩形EFGD的周长=4+4+6+6=20cm. 综上所述，矩形EFGD的周长为22cm或20cm. 15.解：(1)如图① (2)如图②连结AC、BC交与P则P为矩形对称中心.作直线MP,直线MP即为所求. (3)如图③存在直线1 过点D的直线只要作DA⊥OB与点A 则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心， ∴.过点P的直线只要平分△DOA的面积即可. 易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分. 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积 即直线PH为所求直线1 设直线PH的表达式为y=kx+b且点P(4,2), ∴.2=4k+b即b=2-4k ∴.y=kx+2-4k .直线0D的表达式为y=2x x-2 2-k .「y=+2-4k,解得 4-8k [y=2x y= 2-k 2-4k4-8k “点H的坐标为(2-k2-k ) .PH与线段AD的交点F(2,2-2k) ∴.0<2-2k<4 ∴.-1<k<1 5Am4-2+22-25）x3 2-2×2×2x4 解之得3 k=3-3 2.( 2舍去) b=82f 3-3x+8-23 .直线1的表达式为y=2 D y↑D 人8 HE P B A B x 3