21.2.3 三角形的中位线同步练习2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.2.3《三角形的中位线》 一、单选题 1.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别为BC、CD上的点，E、F分别为AP、RP的中点.当 点P在CD上从点C向点D移动，同时点R在BC上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终 点，那么下列结论成立的是() D A A.线段EF的长先变大再变小 B.线段EF的长先变小再变大 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 2.如图所示，任意四边形ABCD,点E,F,G,H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若四 边形ABCD的面积为m,那么四边形EFGH的面积是() A E B 1 A. B.n c 3.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD将△ABC分割成两个等腰三角形aACD和 △ADB,E和F分别是AB和DB的中点，则∠FEB的度数为() D A.22.5° B.25 C.30° D.45° 4.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD是AB边上的中线.求证：CD=AB. D D 图1 图2 方法1：如图1，延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE, 方法2：如图2，取BC边的中点E,连接DE. 下列说法正确的是() A.只有方法1可以证明该定理，运用了平行四边形的对角线互相平分 B.只有方法2可以证明该定理 C.方法2不可以证明该定理 D.方法1、方法2都可以证明该定理 5.数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则 正确的方案是() 甲：先将矩形ABCD分别沿EG,FH进行对折再展 乙：先将矩形ABCD沿MN进行折叠，使点 开，得到两组对边中点，再连接EF, A与点C重合，再展开，连接AM,CN, FG,GH,EH,则四边形EFGH是菱形. 则四边形AMCN是菱形， A N D B B M A.甲、乙都是B.甲、乙都不是C.只有甲才是 D.只有乙才是 二、填空题 6.如图，在菱形ABCD中，AB=4V5,对角线AC的长为16. (I)对角线BD的长为 (IⅡ)E是DC的中点，F是AC上一点.若AF=3,则线段EF的长为 7.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,E,F,G分别是AB,DC,AC的中点， F D G B E (1)若BC=6cm,则FG= cm; (2)若∠ACB=64°，∠DAC=22°，则∠EFG的度数为 8.如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形（图②），再连接 图②中间小三角形三边的中点得到第3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第n(n>) 个图形中有 个平行四边形， ① ② ③ 9.如图，点A,B为定点，定直线I∥AB,P是直线1上一动点，点M,N分别为PA,PB的中点，对 下列各值：①线段MN的长： ②△PAB的周长； ③∠APB的大小；④四边形的ABNM面 积； ⑤直线MN,AB之间的距离，其中不会随点P的移动而变化的是 (用序号 填入) = M B 10.如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H,点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，且点D与点H 不重合，则下列结论正确的为 ①图中有4个平行四边形； ②△DEF与△HFE全等； ③∠BFH-∠CEH=2LDFH; ④当LB=45°时，四边形DHEF的面积为！AB E B D H 三、解答题 11.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点， 连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°· B C (1)求∠C的度数； (2)求四边形ADEF的周长. I2.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=I35°，E,F分别是AB,AD的中点，连接EF,BD,且 ∠AFE=45°. D E (1)求LBDC的度数； (2)若CD=5,BC比BD长1，求EF的长. 13.(1)如图1，直线1∥12，点AB在直线Z上，点C,D在直线4上，直接写出△ABC和△ABD的 面积关系 (2)把图2的四边形ABCD改成一个以AB为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形， 保留作图痕迹. (3)如图3，在△ABC中，E、F分别是AC、BC上任意一点，连接AF、BE,M、N分别是AF、 BE的中点，求证：S,cMw=S因边形EwNF· E M B B 图 图2 图3 14.【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务. 如图①，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中 点，顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形，此结论可借助 图②证明如下： D G D H H B E E 图① 图② 证明：如图②，连接AC,BD, :点H,G分别为AD,CD的中点，HG∥AC. ,点E,F分别为AB,BC的中点，EF∥AC. ∴.HG∥EF.同理：HE∥GF. ∴.四边形EFGH是平行四边形 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形. 瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你 的结论； (2)已知四边形ABCD的对角线AC与BD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，若四边形ABCD的 对角线AC与BD的夹角为35°，请直接写出瓦里尼翁平行四边形EFGH中∠HEF的度数. 15.已知：△ABC和△DEC均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE,AC=BC,DC=EC,连接BD,取 DE,BD,AB的中点分别为G,F,H,连接FG,GH,HF, B H H 图1 图2 图3 【特例感知】 (1)如图1，当点D在AC边上，点E在BC边上时，则aFGH是三角形； 【类比探究】 (2)把△DCE绕点C在平面内旋转得到图2，判断△FGH的形状是否改变？请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，在(2)的条件下，当ACB=LDCE=90°时. ①判断△FGH的形状，并说明理由； ②把△DCE绕点C在平面内任意旋转，若DE=5√2，AB=9√2，直接写出△FGH面积的最大值与 最小值. 参考答案 一、单选题 1.B 解：连接AR,如图， D R :E,F分别是APRP的中点， .EF是△APR的中位线， .EF-TAR, :点R在BC上从点B向点C移动， ∴AR先变小再变大， 线段EF的长先变小再变大 故选：B 2.A 解：如图，连接BD,过点A作AM⊥BD于M,交EH于N, D E M B F :点E,H分别为AB、DA的中点， EH是△ABD的中位线， aEH∥BD,EH=8D, ∴.AN⊥EH, :点E为AB的中点，EH∥BD, ∴.AN=⊥AM, 2 ·.SAEH=SABD, 4 同理可得：Sam,a,5.m.m 1 1 .1 =Sawmco-S.crG-S.Am-S.E-S.0mG-m..c+c+.cm 故选：A. 3.A 解：，LC=90°，△ACD是等腰三角形， .∴.∠CAD=LCDA=45°， ∴.∠BDA=135°， ,△ADB是等腰三角形， ∠DAB=∠DBA=180°-135 =22.5° ,E和F分别是AB和DB的中点， .EF是△ADB的中位线， .EF∥AD, ∴.∠FEB=∠DAB=22.5°， 故选：A. 4.D 解：方法1： ,CD是AB边上的中线， ∴AD=BD, DE CD, .四边形ACBE为平行四边形， ∠ACB=90°， ∴四边形ACBE为矩形， .CE-48.CD-CE: 2 方法2：·AD=BD,E为BC边的中点， .∴.BE=CE,DE∥BC, ∴.∠BED=LACB=90°， .DE⊥BC, ∴DE垂直平分BC, ∴.CD=BD=AD= 故方法1，方法2均可证明； 故选D. 5.解：甲中，如图，连接AC,BD, H B ,矩形ABCD, ∴.AC=BD, .EF、HG、GF、EH、分别是ABC、△ADC、△BCD、△ABD的中位线， EF-AC-MG GF-DD-EH, ∴.EF=HG=GF=EH, ∴.四边形EFGH是菱形，符合要求； 乙中，由折叠可知，AN=CN,AM=CM,∠AMN=LCMN, ,矩形ABCD, ..AN∥CM,∠ANM=∠CMN, ∴.∠AMN=∠ANM, ∴.AM=AN, .∴.AM=AN=CN=CM, ∴.四边形EFGH是菱形，符合要求； 故选：A. 二、填空题 6. 8 V⑧5 解：(I)设AC与BD交于点O, D O 在菱形ABCD中，AB=45,对角线AC的长为16， .'AC⊥BD,0A=1AC=8, 0B=0D=45-82=4, BD=20B=8, 故答案为：8； (IⅡ)取OC中点M,连接EM, D C :E是DC的中点， B .EM是△COD的中位线， .EMI D0,EM=⊥OD=2, 2 ∴.∠C0D=∠CME-90o, 在菱形ABCD中，AB=4V5,E是DC的中点， .CD=AB=45, CE=AB-25 CM=V25-22=4, AF=3,AC=16, .FM=16-3-4=9, 在Rt△EFM中， FEM2+FM2+92V⑧5 故答案为：V85. 7. 3 21° 解：(1)F,G分别是CD,AC的中点， FG=TAD, 2 AD BC 6cm ∴.FG=3cm; 故答案为：3 (2).E,F,G分别是AB,DC,AC的中点， FG∥AD,EG∥BC,FG=AD,EG=BC, .∠ACB+∠CGE=180°，∠DAC=∠FGC=22°， .∠ACB=64°， .∠CGE=116°， .∴.∠FGE=∠FGC+∠CGE=138°， :fG-4D.8G-号8c,40=8c, ∴FG=EG, ∠EFG=180-FGE=21. 2 故答案为：21° 8.3n-3 解：分别数出图①、图②、图③中的平行四边形的个数， 图①中平行四边形的个数为0=3×(1-1)： 图②中平行四边形的个数为3=3×(2-1)： 图③中平行四边形的个数为6=3×(3-1)： 可以发现，第几个图形中平行四边形的个数就是3与1的乘积. 按照这个规律，第n个图形中共有平行四边形的个数为3-3. 故答案为；3n-3. 9.①④⑤ 解：：点A,B为定点，点M,N分别为PA,PB的中点， MN是△PAB的中位线， MN=方4B,即线段MN的长度不变，故①符合题意： PA、PB的长度随点P的移动而变化， :△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②不符合题意； ∠APB的大小点P的移动而变化，故③不符合题意 :AB的长度不变，点P到AB的距离不变， △PAB的面积不变， :MN的长度是AB的长度一半，点P到MN的距离是点P到AB的距离的一半， ∴△PMN的面积是△PAB的面积的一半，； :△PMN的面积不变，即四边形ABNM面积不变，故④符合题意； 直线MN,AB之间的距离不随点P的移动而变化，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤. 10.②③④ 解：①，点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， .EF=BC=BD,EF∥BC, 2 ∴四边形BDEF是平行四边形， 同理得：四边形CDFE是平行四边形，四边形AFDE是平行四边形， 即图中有3个平行四边形： 故①不正确： ②.AH⊥BC, .∴.∠AHB=∠AHC=90°， 点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， HE=4c,oP-号4c, 2 ∴DF=HE, 同理得：DE=FH, FE EF, ∴.△DEF≌△HFE(SSS), 故②正确； (2):点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， ∴.DF∥AC,DE∥AB, ∴.∠BAC=LBFD,LBAC=LCED, ∴.∠BFD=LCED, .DF=EH,FH=DE,DH =HD, ∴.△FDH≌EHD (SSS), ∴.∠DFH=∠DEH, ∴.LBFH-∠CEH=∠BFD+LDFH-LCED-LDEH)=2LDFH; 故③正确； ④.∠B=45°，∠AHB=90°， △ABH是等腰直角三角形， .AH BH,AH2+BH2=AB2, A=AB, 22 EF∥DH, 四地形DEF的面积=方兮4HE+DA)=8HAH=日4m-有4。 故④正确： 本题正确的结论有：②③④ 故答案为：②③④. 三、解答题 11.(1)解：，D,F分别是边AB,AC的中点， ∴.DF//BC, .∠ADF=53°， .∴.∠B=∠ADF=53°， .∠A=90°， .∠C=180°-90°-53°=37°. (2)解：，D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点， DE//AC,DE-AC,EF//AB,EF=AB,AP-AC,AD-AB, 2 AB=3,AC=4, ∴AF=DE=2,AD=EF=3 ’ 四道形AF的月长=+引2=7。 12.(1)解：，点E,F分别是边AB,AD的中点， ∴.EF是△ABD的中位线， EF∥BD, ∠ADB=LAFE=45°， :LADC=135°， ∠BDC=135°-45°=90°. (2)解：由(1)知∠BDC=90°， 在Rt△BCD中，BC=BD+L,CD=5, BD2+CD2=BC2, BD2+52=(BD+1)2, 解得BD=12, 由(1)知EF是△ABD的中位线， r-8D-6 13.(1),1∥12，它们AB边上的高线长都等于与Z之间的距离 SABC=S。ABD (2)如图（作法不唯一） :EC∥BD S.BDC S.BDE .S。ABE=S四边形ABcD E (3)如图，取EF的中点D,连接CD,DM,DN N是BF的中点，M是AE的中点 ∴.DN∥BF,DM∥AE S.CDN S.FDN,S.CDM =S.EDM “S.CMN=S因边形EMNF C B 14.(1)解：瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度之和，证明如下： H,G分别为AD,CD的中点， 9c4c, E,F分别为AB,BC的中点， .EF=TAC, 1 ∴.HG=EF=5AC, 2 同理：E=GF-D, ∴.瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为HG+EF+HE+GF 4c+4c+n+ AC+BD. (2)解：由题意，画出图形如下： D G H G 0 图1 图2 ①如图1，当∠A0B=35°时， E,F分别为AB,BC的中点， ∴.EF∥AC, .∴.∠BPE=∠AOB=35°， .H,E分别为AD,AB的中点， ∴.HE∥BD, .∴.∠HEF=∠BPE=35°； ②如图2，当∠A02D=35°时，则∠A02B=145°， E,F分别为AB,BC的中点， ∴.EF∥AC, .∴.∠BPE=∠AO,B=145°， H,E分别为AD,AB的中点， ∴.HE∥BD, .∴.∠HEF=∠BPE=145°： 综上，瓦里尼翁平行四边形EFGH中∠HEF的度数为35°或145°. 15.解：(1)，AC=BC,DC=EC, ∴.AC-DC=BC-EC,即AD=BE, DE,BD,AB的中点分别为G,F,H, .GF=-BE,FH=TAD, 2 2 ∴.GF=FH, ∴.△FGH是等腰三角形. 故答案为：等腰 (2)△FGH的形状不改变，理由如下： 如图，连接BE,AD, .∠ACB=∠DCE, .∠ACD+∠BCD=∠BCE+LBCD, ∴.LACD=LBCE, AC=BC 在△ACD和△BCE中， ∠ACD=∠BCE, CD=CE ∴.△ACD≌△BCE, ∴AD=BE, DE,BD,AB的中点分别为G,F,H, H=号4D,GF-E, ∴.GF=FH, △FGH是等腰三角形」 (3)①△FGH是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接BE,AD,延长AD,交GF于N,交BC于M,交BE于P, D H 由(2)知△ACD≌△BCE,GF=FH, ∴.∠CAD=LCBE, ,∠AMC=∠BMP, ∴.∠APB=∠ACB=90°， DE,BD,AB的中点分别为G,F,H, ∴.GF∥BE,HF∥AP, ∴.∠ANG=∠APE=∠APB=90°， ∴.LHFG=∠ANG=90°， ∴△FGH是等腰直角三角形 ②如图，连接AD, D H B ,DE=52,AB=9√2，LACB=LDCE=90°，AC=BC,DC=EC, ∴.2AC2=AB2=162,2CD2=DE2=50, 解得：AC=9(负值舍去)，CD=5(负值舍去)， .AC-CD≤AD≤AC+CD,即4≤AD≤14， .AD的最小值为4，最大值为14， HF=AD, 2 ∴.HF的最小值为2，最大值为7， FGH面积的最大雀为分×7x7-智，最小室为写2x2-2。