精品解析：山东济南稼轩学校2025--2026学年七年级4月阶段性考试数学试题

济南稼轩学校七年级4月阶段性考试数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 如图，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记与相交于点M，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，记与相交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴． 4. 如图，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； B.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； C.添加 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； D.添加，不符合任何一定判定定理， 无法证明， 故此选项错误，不合题意； 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式，根据相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A．，原选项计算错误，不符合题意； B．，原选项计算错误，不符合题意； C．，计算正确，符合题意； D．，原选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 7. 如图，在中，平分，点是的中点，连接，若，，的面积是6，则的面积是（ ） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线性质，角平分线性质，过作，，根据中线得到，根据角平分线得到，结合，即可得到答案； 【详解】解：过作，， ， ∵点是的中点，的面积是6， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，，．①分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，作直线，交于点D，连接；②以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线，交线段于点P．根据以上信息推断，下列结论错误的是（ ） A. ∠ABP＝∠A B. AD＝CD C. ∠PBC＝∠ACD D. ∠BPC＝118° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．利用基本作图可得到点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断． 【详解】解：，， ， 由作图痕迹得到平分，点为的垂直平分线与的交点， ，所以A选项不符合题意； ，所以B选项不符合题意； ， ， ， 所以C选项不符合题意； ，， ， ， 选项符合题意． 故选：D． 9. 如图，已知，，点、、，…在射线上，点、、，…在射线上，、、，…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 64 B. 48 C. 32 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由是等边三角形可知，利用等边三角形以及三角形内角和可证，再根据等腰三角形的判定可知，进一步可证，同理可证，，，，进而代值即可． 【详解】解：如图： ∵是等边三角形， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ， ， ， ∵， ∴ ∴的边长为32． 10. 如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法运算法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可. 【详解】解：根据同底数幂的除法法则，可得， 将， 代入得： 原式． 12. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘法公式计算之后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的计算，能够熟练计算乘积是解题关键． 13. 如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】用黑色小正方形的个数除以小正方形的总个数可得． 【详解】解：∵共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个， ∴小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的概率是=， 故答案为：． 【点睛】本题考查简单概率的计算，解决本题的关键是要知道黑色区域的面积和整个大正方形面积的比值. 14. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则________． 【答案】##74度 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理，平行线的性质． 先根据三角形的内角和定理求出，根据折叠的性质得，再根据得，然后根据平角的定义得，据此可得的度数． 【详解】解：∵在中，，， ， 由折叠的性质得：， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图中，，平分交于，点在的延长线上，满足，若，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，证明，根据全等三角形的性质可知，根据四边形内角和定理可知，又因为，根据等角的补角相等可证，证明，根据全等三角形的性质可证，可得，再根据可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分交于，， ， 在和中，， ， ， 在四边形中，， ， 又， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ． 三．解答题 16. 化简 （1）； （2）（用乘法公式简算）． （3） （4） 【答案】（1）4 （2）1 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的运算，涉及零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据乘方的法则，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义化简计算即可； （2）把变成，变成，然后根据平方差公式计算即可； （3）根据积的乘方、幂的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式除法则计算即可； （4）把看成整体，根据平方差公式展开，然后根据完全平方公式计算即可， 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值．，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，利用乘法公式和整式的运算法则先进行化简，再把，代入化简后的结果中计算即可求解，掌握乘法公式和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，在中，，，点E为上一点，且，连接，求证：． 【答案】 证明： ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质；根据边角边证出，再根据三角形全等的性质即可证出结论． 【详解】略 19. 在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． （1）在图中画出关于直线成轴对称的；的面积为___________； （2）在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积． （3）在直线上确定一点，使得的周长最小． 【答案】（1） 关于直线成轴对称的如图所示： 分别找到、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接； 8； （2） 过作的平行线交于，点即为所求作的图 （3） 的周长，长度固定，所以只需让最小；作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点． 【解析】 【分析】（）分别找到、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接； （）两个三角形都可以是以为底的三角形，根据同底等高即可知面积相等，所以只需要作同高，根据平行线间的距离相等，过作的平行线交于即可； （）的周长，长度固定，所以只需让最小；作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，作轴对称图形，以及最短路径的问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 20. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右． （1）“王颖摸出一个球，她摸出的是黑球”是______________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到黑球的概率为，需要从盒子里取走多少个白球？ 【答案】（1）随机 （2）白球15个，黑球45个 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据盒子里装有颜色不同的黑、白两种球可得答案； （2）用总数乘以摸到白球的概率，得出白球的数量，进而得到黑球的数量； （3）设需要从盒子里取走x个白球，根据题意得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵盒子里装有颜色不同的黑、白两种球， ∴“王颖随机摸出一个球，她摸出的是黑球”是随机事件； 【小问2详解】 解：∵摸到白球的频率为0.25，黑、白两种球共60个， ∴盒子里白球为：个， 盒子里黑球为：个； 答：盒子里白球有15个，黑球有45个． 【小问3详解】 解：设需要从盒子里取走x个白球， 根据题意得：， 解得：， 答：需要从盒子里取走6个白球． 21. 在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． （1）如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． （2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． （3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）；；； （2） （3） 解：，理由如下： ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【小问1详解】 解：； 证明：， ， ， ； 【小问2详解】 解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； 【小问3详解】 略 22. 在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． （1）如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． （2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． （3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）；；； （2） （3） 解：，理由如下： ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【小问1详解】 解：； 证明：， ， ， ； 【小问2详解】 解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； 【小问3详解】 略 23. 【阅读理解】将完全平方公式适当地变形，可以解决某些数学问题．例：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∵，∴， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则______； 【类比应用】（2）若，求的值； 【思维拓展】（3）如图，线段，点D是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形，连接，，过点D作于N，延长交于M，若两正方形的面积和，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等；能熟练利用完全平方公式的变形进行求解是解题的关键． （1）由完全平方公式得，代入计算，即可求解； （2）由完全平方公式得，代入计算，即可求解； （3）设，，通过完全平方公式变形求得，，正方形和正方形，由判定，结合全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：， ， ， ． （3）解：设，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵，正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ． 24. 【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系，已知在中，，，，点从点出发在直线上以速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，，设运动时间为． （1）【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：_______________，_______________． （2）【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为_______________； （4）【拓展应用】当的值为_______________秒时，的面积为． 【答案】（1）， （2）结论仍然成立，理由如下： ∵，， ，， ， ∵，， ， ，， ， ； （3）3或13 （4）当t为或时，的面积为 【解析】 【分析】（1）由证明可得出，的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可； （4）作于点，利用三角形面积公式求得，再分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：，． 证明：，， ，， ∵， ， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在上时，如图， 由（1）可知， ， ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知，， ， ， 综上所述，线段的长为3或； 【小问4详解】 解：作于点， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵点D从点C出发在直线上以速度运动，设运动时间为， ∴， ①当点在上时，， ∴； ②当点在延长线上时，， ∴； 综上，当t为或时，的面积为． 25. 综合与实践： 【背景】某数学学习小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼了两个全等三角形的模型图（图①） 【模型发现】（1）如图①，在中，，直线l经过点A，且两点在直线l的同侧，直线直线l，垂足分别为，线段与的数量关系是________；线段和之间存在的数量关系为________． 【模型迁移】（2）如图②，在中，，直线l经过点A，点分别在直线l上，如果，请问：之间的数量关系是否发生了变化？请说明理由． 【模型建立】（3）如图③，为上的点，且，猜想：线段和之间存在的数量关系？并给予证明． 【模型应用】（4）如图④，是等边三角形，点分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数；如果改变，请说明理由． 【答案】（1），； （2）之间的数量关系没有发生变化，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （3）． 证明：如图，在上截取，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∴． （4）的度数不发生变化， 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明即可得结论； （2）同理（1）即可得结论； （3）在上截取，连接，证明即可得结论； （4）在上截取，连接，证明即可得结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2） 略 （3） 略 （4）的度数不发生变化． 如图，在上截取，连接， ∵， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】构造“一线三等角”模型解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校七年级4月阶段性考试数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 如图，在中，平分，点是的中点，连接，若，，的面积是6，则的面积是（ ） A. 8 B. 9 C. D. 8. 如图，在中，，．①分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，作直线，交于点D，连接；②以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线，交线段于点P．根据以上信息推断，下列结论错误的是（ ） A. ∠ABP＝∠A B. AD＝CD C. ∠PBC＝∠ACD D. ∠BPC＝118° 9. 如图，已知，，点、、，…在射线上，点、、，…在射线上，、、，…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 64 B. 48 C. 32 D. 16 10. 如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知，，则____________． 12. 已知，则_____． 13. 如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ___． 14. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则________． 15. 如图中，，平分交于，点在的延长线上，满足，若，，则线段的长为___________． 三．解答题 16. 化简 （1）； （2）（用乘法公式简算）． （3） （4） 17. 先化简，再求值．，其中，． 18. 如图，在中，，，点E为上一点，且，连接，求证：． 19. 在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． （1）在图中画出关于直线成轴对称的；的面积为___________； （2）在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积． （3）在直线上确定一点，使得的周长最小． 20. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右． （1）“王颖摸出一个球，她摸出的是黑球”是______________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到黑球的概率为，需要从盒子里取走多少个白球？ 21. 在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． （1）如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． （2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． （3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 22. 在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． （1）如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． （2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． （3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 23. 【阅读理解】将完全平方公式适当地变形，可以解决某些数学问题．例：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∵，∴， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则______； 【类比应用】（2）若，求的值； 【思维拓展】（3）如图，线段，点D是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形，连接，，过点D作于N，延长交于M，若两正方形的面积和，求的面积． 24. 【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系，已知在中，，，，点从点出发在直线上以速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，，设运动时间为． （1）【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：_______________，_______________． （2）【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为_______________； （4）【拓展应用】当的值为_______________秒时，的面积为． 25. 综合与实践： 【背景】某数学学习小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼了两个全等三角形的模型图（图①） 【模型发现】（1）如图①，在中，，直线l经过点A，且两点在直线l的同侧，直线直线l，垂足分别为，线段与的数量关系是________；线段和之间存在的数量关系为________． 【模型迁移】（2）如图②，在中，，直线l经过点A，点分别在直线l上，如果，请问：之间的数量关系是否发生了变化？请说明理由． 【模型建立】（3）如图③，为上的点，且，猜想：线段和之间存在的数量关系？并给予证明． 【模型应用】（4）如图④，是等边三角形，点分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数；如果改变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $