精品解析：山东省济南市唐冶中学2024-2025学年七年级下学期期末模拟数学试题（6月月考）

唐冶中学七年级数学期末模拟试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示该数据为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各数中，绝对值最大的数是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 竹篮打水 B. 瓜熟蒂落 C. 守株待兔 D. 黄河入海流 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个三角板和一个直尺拼接成如图所示的图形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 中，，，的对边分别为，，．能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 9. 如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 10. 已知是等腰直角三角形，，，点为的边下方一点，连接，，，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 7 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. _____（选填“”“=”或“”）． 12. 如图，一只蚂蚁在区域内爬行，是的中线，，分别为，的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_____． 13. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围长度（cm）对应关系如下表： 尺码/英寸 … 22 24 26 腰围/cm … 60±1 小华的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是_____英寸． 14. 已知等边外一点，，连接PA，PB，PC，若，则_____． 15. 如图，在中，，，按以下步骤作图． ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点； ④以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N； ⑤分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于点． 若，则的长是_____． 三、解答题（共10小题，满分90分） 16. 计算 （1） （2） （3） （4） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知：平分，，，求证平分． 证明：平分（已知）， （①_____） （已知） ②_____（③_____） （已知） ④ （⑤_____） （⑥_____） 平分 19. 已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、分别作、，垂足为、，求证：． 20. 实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 0.40 （1）表中_____，_____． （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第_____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一株该植物开出红花的概率是_____（结果精确到0.1）． （3）某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 21. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离点的距离分别为、与行驶的时间为之间的关系如图所示． （1）、两地之间的路程为_____； （2）经_____小时，甲、乙两人相遇，此时距地的距离为_____； （3）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出关于直线对称的； （2）在直线上画一点，使得的值最大； （3）请判断的形状并求出边上的高线的长度． 23. 阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： （1）与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； （2）①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； （3）已知正整数a，b满足，求a，b的值． 24. 如图，中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． （1）当_____时，平分的面积； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）若点，分别为，上的动点，则的最小值是_____． 25. 综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： （1）【问题情境】如图1，平面内有三个点A，B，C，，，则的长度的最小值为_____，最大值为_____ （2）【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． （3）【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角，，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐冶中学七年级数学期末模拟试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示该数据为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：0.000036=3.6×10-5， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 3. 下列各数中，绝对值最大的数是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据绝对值的定义求出四个数的绝对值，再根据实数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的绝对值最大， 故选D． 【点睛】本题主要考查了实数比较大小，求一个数的绝对值，熟知实数比较大小的方法是解题的关键． 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 竹篮打水 B. 瓜熟蒂落 C. 守株待兔 D. 黄河入海流 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，掌握在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义进行分析即可解答． 【详解】解：A、竹篮打水是不可能事件，故该选项不符合题意； B、瓜熟蒂落是必然事件，故该选项不符合题意； C、守株待兔是随机事件，故该选项符合题意； D、黄河入海流是必然能事件，故该选项不符合题意． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的加减．根据合并同类二次根式、完全平方公式、积的乘方运算法则分别计算即可判断求解． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 6. 一个三角板和一个直尺拼接成如图所示的图形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 过点作，根据平行线的性质可知，进而求出，再由平行线的性质可求． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 7. 中，，，的对边分别为，，．能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需根据直角三角形的判定条件，分别对每个选项进行分析判断即可得解。本题主要考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和定理、勾股定理逆定理，熟练掌握这些定理并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ， ， 解得， ∴，故A项错误． 设，，． ，不满足勾股定理逆定理，故B项错误． 设，，． ， ， 解得， ∴，故C项错误． ，满足勾股定理逆定理， ∴，故D项正确． 故选：D． 8. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 9. 如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 10. 已知是等腰直角三角形，，，点为的边下方一点，连接，，，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】把逆时针旋转得到，连接，证明，得，，再证明，则点在线段上，△是等腰直角三角形，进而证明，得，且当取最小值时取得最大值，即可解决问题． 【详解】解：如图，把逆时针旋转得到，连接， 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 点在线段上， 是等腰直角三角形， ，，， ， ，且当取最小值时取得最大值， ，且当时，取最小值为， 的最大值为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质的应用，以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. _____（选填“”“=”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，无理数的估算，实数的大小比较，正确掌握相关知识点是解题的关键． 先整理得，根据，得，即，进行作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 则， ∴， 故， 故答案为：． 12. 如图，一只蚂蚁在区域内爬行，是的中线，，分别为，的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用三角形的中线的性质求面积，几何概率的含义，设，根据三角形的中线的性质求解，，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设， ∵，分别为，的中点， ∴，，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为， 故答案为： 13. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围长度（cm）对应关系如下表： 尺码/英寸 … 22 24 26 腰围/cm … 60±1 小华的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是_____英寸． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键；依题意可设腰围的长度为y与裤子的尺寸x之间存在一种换算关系为，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意可设腰围的长度为y与裤子的尺寸x之间存在一种换算关系为， ∴， 解得：， ∴， ∴当腰围为，即时，则有， ∴； 故答案为：30． 14. 已知等边外一点，，连接PA，PB，PC，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造等边三角形，利用全等三角形的性质，将 、 转化到同一条线段上，从而找到 与 的关系．本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握通过构造全等三角形将分散线段转化到同一直线上是解题的关键． 【详解】解：延长 到 ，使 ，连接 ． 是等边三角形 ， ，四边形 内角和为 ， 又 在 和 中 ， ，即 是等边三角形 又 故答案为： ． 15. 如图，在中，，，按以下步骤作图． ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点； ④以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N； ⑤分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于点． 若，则的长是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】过点作的延长线于点，由题中的作图步骤得平分，垂直于线段，所以，所以，由得，所以，由含的直角三角形的性质得，设，则，由勾股定理得，解得，所以． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， 由题中的作图步骤得平分，垂直于线段， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：（负根已经舍去）， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了作图—角平分线，垂线，角平分线的性质定理，含的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（共10小题，满分90分） 16. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，零次幂，负整数指数幂的概念，二次根式的运算； （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法运算即可； （2）先按照多项式乘以多项式，完全平方公式计算乘法运算，再合并同类项即可； （3）先计算乘方，二次根式的除法，负整数指数幂，化简二次根式，再合并即可； （4）先计算二次根式的乘方，零次幂，化简绝对值，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，整式的混合运算与化简求值，先利用完全平方公式及平方差公式化简，然后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； ∵ ∴ ∴， 则 原式 ． 18. 如图，已知：平分，，，求证平分． 证明：平分（已知）， （①_____） （已知） ②_____（③_____） （已知） ④ （⑤_____） （⑥_____） 平分 【答案】角平分线的定义；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和平行线的判定在几何证明中的应用，角平分线的定义，明确相关性质及定理是解题的关键． 根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换等来完成解答即可． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义） （已知） （两直线平行，内错角相等） （已知） （两直线平行，同位角相等） （等量代换） 平分． 故答案为：角平分线的定义；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换． 19. 已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、分别作、，垂足为、，求证：． 【答案】 证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ． 【解析】 【分析】要证，考虑通过证明三角形全等，得到对应边相等，再利用线段间的和差关系推导．观察图形，可尝试证明 ，进而得出、与的关系．本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等 ）及利用全等得到对应边相等，再结合线段和差关系推导结论是解题的关键． 【详解】略 20. 实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 0.40 （1）表中_____，_____． （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第_____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一株该植物开出红花的概率是_____（结果精确到0.1）． （3）某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】（1）， （2）二，试验的植株数太少，； （3）估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 【解析】 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，样本估计总体数量等知识，理解大量重复试验中，频率趋向于一个稳定的数，这个数即为概率是解题的关键． （1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 解：第二组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数太少；除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为． 【小问3详解】 解：（棵）； 答：估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 21. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离点的距离分别为、与行驶的时间为之间的关系如图所示． （1）、两地之间的路程为_____； （2）经_____小时，甲、乙两人相遇，此时距地的距离为_____； （3）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 【答案】（1） （2）， （3）0.5或4.5 【解析】 【分析】本题考查函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据可以得到答案； （2）根据函数图象中的数据利用“速度路程时间”求解甲、乙的速度；再根据速度、时间、路程之间的关系求解相遇时间以及此时与地的距离； （3）分情况讨论，相遇前、相遇后且乙到达终点前、乙到达终点后，列方程即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，甲乙两地相距． 【小问2详解】 解：甲的速度为，乙的速度为； 甲、乙两人相遇时所用时间为：， 此时距B地的距离为． 【小问3详解】 解：设甲出发后甲、乙两人相距． 分三种情况： 相遇前，， 解得； 相遇后且乙到达终点前，， 解得，，不合题意，舍去； 乙到达终点后，， 解得； 综上可知，甲出发0.5或后甲、乙两人相距． 22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出关于直线对称的； （2）在直线上画一点，使得的值最大； （3）请判断的形状并求出边上的高线的长度． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）是等腰直角三角形， 【解析】 【分析】本题考查作图--轴对称变换，勾股定理及其逆定理，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可在网格中画出关于直线对称的； （2）延长交直线于点，根据两点之间线段最短可使得的值最大； （3）根据网格利用勾股定理逆定理即可判断的形状并求出边上的高线的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下∶ ∵ ，，， ， ， 边上的高线． 23. 阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： （1）与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； （2）①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； （3）已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】（1）， （2）①；② （3）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可； （2）①根据有理化因式得到，，即可比较大小； ②仿照题意根据分母有理化的方法得到，再把所求式子裂项求解即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式，得到，，即可求解． 【小问1详解】 解：与互为有理化因式， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①，， ，， ， ， ， 故答案为：； ②∵ ， ． 【小问3详解】 解： ， ， ， ， ，， ． 24. 如图，中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． （1）当_____时，平分的面积； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）若点，分别为，上的动点，则的最小值是_____． 【答案】（1） （2）t的值是或 （3） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理可得的长，当是中线时， 平分的面积，即，从而可得结论； （2）当是以为腰的等腰三角形时，存在两种情况：或，根据再建立方程可解答： （3）延长至A，使，连接，过点A作于F，根据对称可知： 的最小值就是的长，根据面积法可得结论， 【小问1详解】 解：，，， ， 当时，AP平分的面积， 即， ， 则当时，平分的面积． 【小问2详解】 解：∵是以为腰的等腰三角形， ①如图，当时， 由题意得：， ， 由勾股定理得：， ， ； ②如图，， ， ； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，t的值是或． 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，连接，过点A作于， ∴是的中垂线，即与关于对称， 当为对应点时，， ，即此时的值最小，且最小值是的长， ，， 的面积， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中线的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短． 25. 综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： （1）【问题情境】如图1，平面内有三个点A，B，C，，，则的长度的最小值为_____，最大值为_____ （2）【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． （3）【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角，，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据、的长度即可求出长度的取值范围，即可得解； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明)得到 ，再利用等腰三角形的三线合一得到，然后利用勾股定理分别求解即可； （3）过作，且，连接，， 则，要使最大，只需最大即可；证明)，得到，由，当、、共线时取等号得到的最大值，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵， (当点在线段上和在的延长线上时取等号)， ∵，， ∴， 即， ∴ 的长度的最小值为，最大值为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图， 设与相交于， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在中， ； 【小问3详解】 解：线段的长度存在最大值；理由如下：如图，在上方，过作，且，连接，， ， 即， 要使的长最大，只需的长最大即可， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时取等号， ∴的长的最大值为， ∵，， 则的长的最大值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $