广东梅州市梅县区2025-2026学年第二学期八年级数学科试题

**基本信息** 2025-2026学年八年级数学期中试卷，以几何变换、函数应用、模型探究为主线，通过汽车标志对称（1题）、社区义卖利润（21题）、手拉手全等模型（23题）等设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、不等式性质、旋转性质|结合汽车标志（1题）考查几何直观| |填空题|5/15|中心对称坐标、平移周长、角平分线性质|以三角形平移（13题）体现空间观念| |解答题（一）|3/21|解不等式（组）、等腰三角形证明、尺规作图|作图题（18题）培养动手与抽象能力| |解答题（二）|3/27|坐标旋转平移、二阶行列式应用、利润计算|社区义卖（21题）强化模型与应用意识| |解答题（三）|2/27|等边三角形动态探究、手拉手全等模型|手拉手模型（23题）发展创新与推理能力|

广东梅州市梅县区2025-2026学年第 八年级数学科试题答案 一、选择题（每小题3分，共30分）》 1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C 9.B 10.D 二、填空题（每小题3分，共15分）》 11.-3 12.2 13.14 144 15.①②④ 三、解答题（一） 16.(共7分) (1)解： 2(1-x)≥-x+3 2-2x2-X+3 -2x+x≥3-2 -x21 x≤-1 (2)解： 二学期 解不等式1-3(x-1)<8-x 1-3x+3<8-x 4-3x<8-8 -3x+X<8-4 -2x<4 x>-2 解不等式号+1≥x x-2+2≥28 X22x x-2x≥0 -x≥0 x≤0 不等式组的解集为-2<x≤0 17.(共7分) 证明：：AB=AC :∠B=∠C DE LAB,DF LAC ·∠BED=∠CFD=90° 在△BDE和△CDF中： I∠BED=∠CFD ∠B=∠C DE-DF ·△BDE≌△CDFAAS ·BD=CD ∴.D是BC中点 18.(共7分) 解：(1)如图右图所示： (2),EF垂直平分AB, 米 AD=BD,AB=2AE=2x6=12 ·AC=AB=12 :△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD十AD=BC+AC=19, BC=7. 四、解答题（二） 19.(共9分) 解：(1)如图，△A1BC1即为所求. y B A A、 B' B, C C B (2(-3,0 (32,3) (4)如图，点P为旋转中心，其坐标为(-1，-2). 20.(共9分) 【解析】(1)由题意，得 3-x =2x-（3-x)=3x-3. 2 3-x >0 因为1 所以3x-3>0,解得x>1, 所以不等式的解集为：x>1. m =3m-4x. (2)由题意， 得43 m <0, 因为4 3 所以3m-4x<0,解得x>m m X <0 因为关于x的不等式4 3 的解集与(1)中的不等式解集相同，所以m=1,解 得m= 所以m的值为， 21.(共9分) 解：(1)设每套简约版手工钥匙扣的成本价为x元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为y 元。 y-x=8 根据题意得：7x+5y=148 X=9 解得： y=17 答：每套简约版手工钥匙扣的成本价为9元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为17元。 (2)设售出m套简约版手工钥匙扣，总利润为w元，则售出(120-m套创意版手工钥匙扣。 根据题意得：ω=(15-9)m+(25-17(120-m 即w=-2m+960。 因为-2<0，所以w随m的增大而减小。 又因为20≤m≤60， 所以当m=20时，ω取得最大值，最大值为：-2×20+960=920（元）。 答：此次义卖获得的总利润最高是920元。 五、解答题（三）》 22.(共13分) 解：(1).·△ABC为等边三角形， ∴.BA=BC=AC=2,∠ABC=∠ACB=60°， P为AC中点， :CP=AC=1,∠CBP=∠ABC=30°， .'PB PD, ∴∠D=∠CB=30°， ∴.∠PCD=∠ACB-∠D=30°=∠D ∴.CD=CP=1; (2)AQ=CD,理由如下： .PD=PB, ∴∠PBC=∠D, .'∠ABC=∠ACB=60°， ∴.∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠D, ∴.∠PBQ=∠CPD, .'PQIl BC, ∴.∠APQ=∠ACB=60°， .∵∠A=60°， ∴.△APQ为等边三角形， ∴.AQ=AP=PQ '.'AB=AC, .'.BQ=CP, 在△BPQ和△PDC中， BQ-CP ∠PBQ=∠CDP, PB-PD ∴.△BPQ≌△PDC(SAS, ∴.PQ=CD, ∴.AQ=CD (3)如图，过P作PK//BC交BA延长线于点K, B D 图3 则∠K=∠ABC=60°，∠APK=∠ACB=60°， ∴.△APK为等边三角形， ∴.PK=AK=AP=6, '.'PB=PD, ∴∠PBD=∠PDB, .∠PBD+∠BPK=180°，∠PDB+∠PDC=180°， ∴.∠BPK=∠PDC 在△BPK和△PDC中， ∠K=∠C=60° ∠BPK=∠PDC, BP=PD ∴.△BPK≌△PDC(AAS ∴.PK=CD=6, D为BC中点， .BC=2CD=12,BD=CD=PK, ∴.AB=BC=12) ∴.BK=AB+AK=18, 在△PK和△DEB中， I∠K=∠EBD ∠PEK=∠BED PK-BD ∴.△PEK兰△DEB(AAS, ∴.BE=KE, .BE+EK=BK=18, :BE=专BK=9 23.(共14分) (1)证明：.'∠BAC=∠DAE ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS, ∴.BD=CE; (2)解：PC2=PA2+PB3 证明：如图2，将BP绕点B逆时针旋转60°到BD,连接PD 图2 则∠PBD=60°，BD=BP, :△ABC为等边三角形， ∴.AB=BC,∠ABC=60°， ∴.∠CBP+∠PBA=∠PBA+∠ABD=60 ∴.∠CBP=∠ABD, 在△CBP和△ABD中， CB=AB ∠CBP=∠ABD BP-BD .△CBP≌△ABD(SAS .'.PC=AD, ,'∠PBD=60°，BD=BP, ∴·△PBD为等边三角形， .PD=BP,∠BPD=60°， ∴.∠APD=∠APB-∠BPD=150°-60°=90°， ·AD2=PA2+PD2 ÷PC2=PA2+PB (3):解：线段BD的长度为V22 理由如下：如图3，过点C作CE⊥DG,取CE=DC=3,连接DE、 AD, AE, : B A 图3 则∠DCE=90 :∠CDE=∠DEC=支×90°=45， :∠ADC=45°， ·∠ADE=45°+45°=90° 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：DE=VCD2+ 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AE NaD2+DE-V2+(32)2-V2, :∠ABC=∠BAC=∠ADC=45 :∠ACB=180°-45°-45°=90°，AC=BC, :∠ACE=∠ACD+90°=∠DCB, ·△ACE兰△BCD(SAS ·BD=CE=V22 /小e=+=0 2025-2026学年第二学期八年级数学科 满分120分 考试用时110分钟 一.选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将所选选项填涂在答题卡上) 1.下列汽车标志图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是( ) 2.下列式子中其中不等式有( )个. A.2 B.3 C.4 D.5 3.在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，所得点的坐标是( ) A. B. C. D. 4.如图,在中,,点D是边BC的中点,则AD的长是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 5.如图,在中,,AD平分,若,则点D到AB的距离为( ) A.4 B.3.5 C.3.2 D.3 6.若，则下列说法正确的是( ) A.a+2>b+2 B. C. D. 7.用反证法证明命题“在中,,求证: ”,应先假设( ) A. B. C D. 8.如图,已知在中,,将△ABC绕着点A逆时针旋转得到,使点B在DE上,若°,则=( ) A.40° B.65° C.70° D.120° 9.一次函数.与 的图象如图所示当时, x的取值范围是( ) A. B. C. D. 10. 如图,在等腰中, 于点D, E、F两动点分别在线段AD、线段AB上运动,若,则当取得最小值时,的度数为( ) A.90° B.60° C.50° D.40° 二.填空题(共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应的位置上) 11.已知点与点关于原点对称,则a= . 12.若 是关于x的一元一次不等式，则a= . 13.如图,将周长为10cm的沿射线BC方向平移2cm后得到,则四边形的周长为 cm. 14.如图,中,过点B作于点D, ,取AB中点E,连结CE,若CE平分,则 . 15.如图,在中和的平分线相交于点O, AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作于D,下列结论:; ③若,则.④若则.其中正确的结论是 . 三.解答题(一)(本题共3小题，每题7分，共21分，请解答在答题卡相应的位置上) 16. (1)解不等式: (2)解不等式组： 学科网（北京）股份有限公司 17.如图,等腰三角形中,, 若,求证：D是BC中点. 18. 如图,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,连接BD. (1)请对题干中的划线部分尺规作图(保留作图痕迹)，并标记D，E两点； (2)若的周长为19,求BC的长. 四.解答题(二)(本题共3小题，每题9分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上) 19.如图，平面直角坐标系中，的三个顶点分别是 (1)将以点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的; (2)平移,若点A的对应点A₂的坐标为,则点B2的对应点坐标是 ； (3)若将绕某一点旋转可以得到;请在坐标系中作出旋转中心的坐标为 . 20.我们把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为如 . (1)求不等式的解集； (2)若关于x的不等式的解集与(1)中的不等式解集相同，求m的值； 21.某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖.每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元. (1)求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价； (2)现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元.若两种钥匙扣一共售出120套，简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元? 五.解答题(三)(本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上) 22.已知,等边,P为直线AC上一点,点D为直线BC上一点,且. (1)如图1,若P为AC的中点, ,求CD的长. (2)如图2，若点P为AC上任意一点，过P作交AB于点Q，探究线段AQ与CD的数量关系，并说明理由. (3)如图3，当P运动到CA延长线上，D为BC中点，PD交AB于点E,,求BE的长. 23.在数学课上，陈老师介绍了如下几何模型：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为从顶点出发的两组腰可形象化地看作是四条“胳膊”，腰的末端端点相连则是“手拉手”. (1)如图1,已知和均为等腰三角形, ,且,求证: . (2)如图2,P为等边内一点,且，则线段之间有怎样的数量关系?请给出你的猜想并进行证明. (3)如图3,在四边形中,,请直接写出线段BD的长度. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期八年级数学科 满分120分考试用时110分钟 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确 的，清将所选选项填涂在答题卡上) 1.下列汽车标志图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是() A B. 2.下列式子中①3>0；②5x-4<8;③2x+4y;④m=-1;⑤t2+2t≥-1其中不等式有() 个 A.2 B.3 C.4 D.5 3.在平面直角坐标系中，将点(1,2)向右平移3个单位长度，所得点的坐标是() A.(4,2) B.(4,-2) C.(-2,-1) D.(-2,5) 4.如图，在△ABC中，AB=AC=12,∠BAC=120°，点D是边BC的中点，则AD的长是() A.4 B.6 C.8 D.12 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,若CD=3,则点D到AB的距离为() A.4 B.3.5 C.3.2 D.3 6.若a>b,则下列说法正确的是() A.a+2>b+2 B.a-3<b-3 C.3a<3b D.-2a>-2b 7.用反证法证明命题“在△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90”,应先假设() A.∠B≥90° B.∠B>90 C.∠B≠90° D.AB≠AC 8.如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE,使点B在DE上，若 ∠C=20°，则LABD=() A.409 B.65° C.70° D.120° B 0 第4题 第5题 第8题 9.一次函数.y1=kx-1(k≠0)与y2=-x+5的图象如图所示当y1< y2时，x的取值范围是() y,=kx-1(≠0) A.x<1 B.x<3 C.x>3 D.x>5 10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD1BC于点D,E、F两动点分 别在线段AD、线段AB上运动，若∠BAC=40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF 的度数为() A.90 B.60° C.50° D.40° 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应的位置上） 11.已知点A(a,-2)与点B(3,2)关于原点对称，则a= 12.若3xa-1+2≤5是关于x的一元一次不等式，则a= 13.如图，将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移2cm后得到△DEF,则四边形ABFD的周长为 cm. 14.如图，△ABC中，过点B作BD1AC于点D,AD=2,∠ABD=30°，取AB中点E,连结CE,若CE平分 LACB,则BC= 15.如图，在△ABC中(LC>∠ABC),∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点0，AE交BC于E,BF交 AC于F,过点0作0D1BC于D,下列结论：①∠A0B=90°+C:②∠E0D=C-∠FBC;®若 OD=a,AB+BC十CA=b,则SA4Bc=ab.④若AB=BC,则∠AFB=90°.其中正确的结论 是 0 ⊙ (第13题) (第14题) (第15题) 三.解答题（一）（本题共3小题，每题7分，共21分，请解答在答题卡相应的位置上） 1-3(x-1)<8-x 16.1解不等式：2(1-)≥-x+3②)解不等式组：（号2+1≥x 2 17.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,DE1AB,DF1AC,若DE=DF,求证：D是BC中点. 18.如图，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,连接BD. (1)请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记D,E两点： (2)若AE=6,△BCD的周长为19，求BC的长. 四.解答题（二）（本题共3小题，每题9分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上） 19.如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(-1,4),C(0,2) (1)将△ABC以点0为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△ AiB1C1; (2)平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(-5，-2)，则点B2的 对应点坐标是 (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2;请在坐标系中 作出旋转中心0'的坐标为 20,我们把爷号上d称为二阶行列式，迥定它的运算法则为伦8创=ad-c4引= ula bl 2×5-3×4=-2. 23->0 (1)求不等式1x 解集； 2芳关于×的不等式肾引0的解套与中的不等式解统相同，求的值： 3/5 21.某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙 扣进行售卖.每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本 共148元. (1)求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价： (2)现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元.若两种钥匙扣一共 售出120套，简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 五.解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分，请解答在答题卡相应的位 置上) 22.已知，等边△ABC,P为直线AC上一点，点D为直线BC上一点，且PB=PD. (1)如图1，若P为AC的中点，AB=2,求CD的长. (2)如图2，若点P为AC上任意一点，过P作PQ II BC交AB于点Q,探究线段AQ与CD的数量关 系，并说明理由. (3)如图3，当P运动到CA延长线上，D为BC中点，PD交AB于点E,AP=6,求BE的长. 图3 23.在数学课上，陈老师介绍了如下几何模型：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相 重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为从顶点出发的两组腰可形象化地看作是四条“胳 膊”，腰的末端端点相连则是“手拉手”. (1)如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,求证： BD =CE. (2)如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APB=150°，则线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关 4/5 系？请给出你的猜想并进行证明， (3)如图3，在四边形ABCD中，AD=2,CD=3,∠ABC=∠BAC=∠ADC=45°，请直接写出线段 BD的长度 2 图3 5/5