2026年内蒙古通辽市部分学校中考二模九年级数学试卷

数 学 注意事项：1.本试卷共6页，满分100分。 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.2026的相反数是 A.2026 1 B. C.-2026 026 D.2026 2.下面展开图中，能折成无盖的正方体的是 A 3.下列运算正确的是 A.32-√2=3 B.(a+1)=a3+1 C.(a2)3=a5 D.√12÷2=6 4.下列调查中，适合用普查的方式调查的是 A.了解全国中小学课间15分钟的实施情况 B.了解全国小学放春假的情况 C.了解某省市民对马年春晚中国产机器人空翻、武术对打节日的评价 D.某班学生对我国首次海上成功回收载人飞船返回舱的了解情况 5.阿斯哈图石林内的标志性景观之一一草原鲲鹏.它是由第四纪冰川作用和长期凤化形成的花岗 岩地貌，因酷似一只栖息在草原上的鲲鹏而得名.某综合与实践小组想要测量“草原鲲鹏”的最 高点到水平地面的距离，绘制出如图1所示的示意图，E为“草原鲲鹏”的最高点，AD表示水平 地面，AE⊥AD,在点D处竖直安置测量仪器CD,在点C处测得∠BCE=46.2°，CD=am,AD=bm, 已知BC∥AD(图中各点均在同一竖直平面内，且点A,B,E在同一条直线上)，则AE的长为 E B G D 图1 p 数 b A.(a+b·sin46.2)m B.(a sin 46.2)m tan 46.2)m C.(a+ D.(a+b·tan46.2°)m 6.小亮将4根长度相等的木棒依次首尾相连，钉成了一个四边形，他先将该四边形“直立”为正方 形（图2-1），再将其向左“推倒”为含60°角的菱形（图2-2），则该四边形从正方形变成菱形后 描述正确的是 向左推 图2-1 图2-2 图2 A.内角和增加180 B.周长变大 C.面积不变 D.两条对角线的和变小 7.某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度（米） 与注水时间（小时）之间的关系如图3所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立 方米，则该蓄水池内部结构的半径约为（注：π≈3） h/米 O2t/小时 图3 A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 &.已知点(，，)(，，》在反比例函数y=女(>0)的图象上，k>%>%,则下列结论正确的 是 A若x<0,则>万 B.若￥，<0.则<0 C.若x1>0,则y D.若x>0,则>0 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9.已知一元二次方程x2+5x=0的两个实数根为x1,x2,则2x+2x2= 10.如图4，在平面直角坐标系中有一三角形AB0,其中A(-4,0),B(-3,2),C(0,4),以点0，C为圆 心，分别以OB,AB的长为半径作弧，两条弧相交于第一象限的点D,则点D的坐标为 ↑y D 图4 11.如图5是由白色小正三角形和黑色小正三角形组成的图形，第①个图有1个白色小正三角形 和3个黑色小正三角形：第②个图有4个白色小正三角形和6个黑色小正三角形：第③个图有 9个白色小正三角形和9个黑色小正三角形，·，以此类推，则第@个图中的白色小正三角形和 图扫描全能王 然额3红人想在用的日撞A如一 黑色小正三角形共有 个 ② 图5 3 12.如图6，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，点E在边AB上，且AE=AB,BE=2.点F在边 AD上，G平分LEFD-与BC交于点G若LAEF=则BG的长为 FD 图6 三、解答题（共6小题，共64分） 13.(本小题满分10分)》 （a)计算：(-宁4(-3140-2m45: (2)解方程组： 3x+y=5,① 3x-2y=8.② 14.(本小题满分7分) 随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为广大群众喜闻乐见的运动方式.为 了让学生以享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛 活动，满分100分，并随机在八、九年级各抽取20名学生的成绩（成绩用x表示，且x均为整 数)，将成绩分成四组：4(90<x≤100)，B(80<x≤90)，C(70<x≤80)，D(60≤x≤70)，整理数据 信息如下： 八年级抽取的学生成绩在C组的数据为：80,75,75,75,80,79,73,80,75,72 八年级抽取的学生成绩分布表 等级 D B A 成绩 60≤x≤70 70<x≤80 80<x≤90 90<x≤100 人数 5 10 2 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 77.25 b 75 10% 九年级 76 82.5 80 25% 请根据上述信息，回答下列问题： (1)填空：a= ,b= (2)若在收集九年级20名学生数据的过程中，将一个数据“80”误写成了“85”，小宇认为从中 位数角度看，不会影响被调查学生户外运动知识水平的反映情况，请你判断小宇的结论是否正 确？并说明理由： (3)随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增强，露营、钓鱼、骑 行、爬山等户外运动逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式.小宇和小强收集了印有这四种运动 的卡片（除正面内容不同外，其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽 取一张（不放回），再从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是 “骑行”和“爬山”的概率 15.本小题满分10分) 送你蒙占袍挂坠是形哈了蒙古族传统服饰元素的精致小饰品，某文创工作室批量制作迷 蒙古炮挂坠进行销售，第一次制作时，投人1500元采购原材料，制作好的迷你蒙古袍挂坠全 部售馨：第二次制作时，为提升挂件的工艺质感，选用了更优质的原材料，每个挂件的成本是第 一次的1.2倍，投入1200元，制作的迷你蒙古袍挂坠数量比第一次少20个 (1)求第一次制作的每个迷你蒙古袍挂坠原材料的成本是多少元？ (2)已知第二批迷你蒙古袍挂坠每个售价为50元，售出一半后，因市场情况影响，现对剩余的 挂坠进行打折销售.若要求全部售出后，第二批挂坠的总利润不少于500元，求剩余的挂坠最 多可打几折？ C③扫描全能王 然额3红人在用的日描A如e 16.(本小题满分12分)》 如图7，AB是⊙O的直径，CD为⊙0的弦，分别连接AC,AD,BC,BD,延长CD至点E,连接 EB,使得ED·EC=EB (1)求证：∠BAD=∠EBD: (2)求证：BE为⊙0的切线； (3)若D为BC的中点，AB=6,CD∥AB,求BC的长度 0 图7 17.(本小题满分12分)综合与实践 问题情境： “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥 倒映水中的美景.春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的 节日美景 测量数据： 已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A,B之间的距离为6米，桥拱最高点C 到水面的距离为？米 数学建模： 如图8，以水面AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图8，当水位上涨后，桥拱下水面宽DE为5米 ①若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰F(大小忽略不计)，求灯饰F与其水中倒影F之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯 201 笼自身高度均为号米，若要求灯笼底部距离水面E的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分 5 别与桥拱最高点C的水平距离。 C(F 图8 18.(本小题满分13分) 如图9-1，在矩形ABCD中，AB=3,AD=25,先将矩形ABCD对折得到折痕EF,再展开，G是 BC上一点，沿DG折叠使点C落在EF上的点H处，DG与EF交于点M,延长DH交AB于点N. (1)求证：△GHM是等边三角形； (2)求证：BN=NH; (3)如图9-2，在图9-1的基础上，取AB上的一点P,连接DP,将△ADP沿DP折叠，点A的对 应点恰好落在DN上的点Q处，求AP的长. H 、H 图9-1 图9-2 图9 -1 C③扫描全能王 额人在用的日指Ape数 一、选择题（共8小题.每小题3分，共24分） 快速对答案：1~5 CBCDD6-8DCB 1.C 2.B 3.C【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 八 32-√2=22-3 X B (a+1)2=a2+2a+1≠a2+1 C (a2)=a D √12÷2=25÷2=√5≠6 4.D 5.D【解析】根据题意可得四边形ABCD为矩形， AB=CD,8C=AD,在R△BCE中，am∠BCE=E8, BC,. EB=BC·tan46.2°=AD·tan46.2°=b·tan46.2°， .AE=（a+b·tan46.2°)m. 6.D【解析】设1根木棒的长度为a,如解图①，连接 AC,BD,易得正方形ABCD的内角和为360°，周长 为4a,面积为a2,AC=BD=√2a,AC+BD=2√2a; 如解图②，易得菱形A1B,C,D,的内角和为360°，周 长为4a,连接A,C,与B,D,交于点0，·四边形 A,B,C,D1是菱形，∠B,A,D,=60°，△AB,D1是 等边三角形，A,C,和B,D1是菱形A,B,C,D,的对 角线，B,D,与AC,互相垂直且平分，在 R△A8,0中，A,8=a,∠BA,0=∠B,AD,= 30B,0=4=A0=acw30°=5。 a, A1C,=2A,0=3a,B,D1=2B,0=a,.A,C1+B,D 1 =3a+0,8cpE2A,C,·B,0,=72aa2y 。菱形A,BCD,的面积小于正方形ABCD 的面积，：22a>√3a+a,∴.菱形A1B,C,D,对角线 的和小于正方形ABCD对角线的和，故选D. D 图① 图② 第6题解图 学 7.C【解析】由题图可知，蓄水池内水位高度h(米) 与注水时间（小时）之间满足一次函数关系，且初 始时，密水池内的水位高度为1米，注水2小时时 落水池内的水位高度为5米，.(5-1)÷2=2（米 小时)、即每小时的注水高度为2米，设该菩水池内 部结构的半径为r米，该蓄水池匀速注水时，每 小时的注水量为54立方米，.54=r2×2,解得r 3(负值已舍去)，∴.该蓄水池内部结构的半径约为 3米. 8B【解折1：反比例函数了=兰(6>0)函数图象 在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而 减小，，>x2>x,Λ.若x12<0,则<x2<0<x1 y>0,0>y>y2,故A选项错误：B.若xx<0,则x,< 0<x2<x1,y1>0,y2>0,y<0,.y1y<0,故B选项正 确；C.若x1x>0,则x1>x2>x1>0或x3<x2<×1<0, 2<,故C选项错误；D.若x2>0,则x1>x>x,>0或 x1>x2>0>x,y>0或y<0,故D选项错误 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9.-10【解析】解法一：x2+5x=0,x(x+5)=0,解得x, =0,x2=-5,.2x1+2x2=-10. 解法二：在方程x2+5x=0中，a=1,b=5,由根与系 数的关系可得2x,+2x,=2(x+x,)三=-10 10.(2,3)【解析】如解图，连接CD,0D,由题意，得 AB=CD,B0=D0,OA=0C,.△AB0≌△CD0, ∠C0D=∠AOB,.∠B0D=∠AOC=90°，.点D 的横坐标等于点B的纵坐标，点D的纵坐标等于 点B横坐标的绝对值，点D的坐标为(2,3) 0 第10题解图 11,(3n+n2)【解析】：第①个图中白色小正三角形 有1个，黑色小正三角形有3个，第②个图中白色 小正三角形有4个，黑色小正三角形有6个，第③ 个图中白色小正三角形有9个，黑色小正三角形 有9个，.可得第@个图中白色小正三角形有n 个，黑色小正三角形有3n个，.第@个图中白色小 正三角形和黑色小正三角形共有(3+m2)个. 12.55-4【解析】解法一：如解图①，分别延长FE, CB交于点H,AB=号B,B6=2AE=3.AB= 5,:FG平分LEFD,∴∠DFG=∠EFG,·AD∥ BC,.∠DFG=LFGB,LEFG=∠FGB,.HG= FH,:∠A=90°，在R1△AEF中，co8LAEr=MS EF 号EF=35,A0/BCLEBH=90在 R△BEH中，cosEH=co8LAEF=BE-5 EH5… HE=25,..HB=VEH-BE*=4,..HG=HF=HE+ EF=55,.BG=HG-BH=55-4. FD H B G 第12题解图① 解法二：AE=号，8=2，AB=3,B=5, FG平分LEFD,LDFG=LEFG,AD∥BC,: LDFG=LFGB,.LEFG=LFGB,:LA=90°， ·在R△MEF中，0LAEF=ME=5 ER5EF= 35,.AF=√EF2-AE=6,如解图②，分别过点 F,C作BC,EF的垂线FP,G0,垂足分别为P,O, .四边形ABPF为矩形，.BP=AF=6,:∠EFG= ∠FGB,∠FOG=∠GPF=90°，FG=GF,.△FOG ≌△GPF,∴0F=PG,0G=PF=AB=5,连接EG,设 PG=x,OF=x,BG=BP+PG=6+x,E0=EF-OF= 35-x,:LB=LE0G=90°，.BE2+BG2=E02+ 0G2,即22+(6+x)2=(35-x)2+52,解得x=55- 10,.BG=6+x=5V5-4 A FD 0 E B PG 第12题解图② 三、解答题（共6小题，共64分） 13.解：(1)原式=-2+1-2 =-3;…（5分) (2)①-②，得3y=-3,…(6分) 解得y=-1,…(7分) 将y=-1代人①，得3x-1=5,…(8分) 解得x=2,…… (9分) .原方程组的懈为 x=2, …（10分) y=- 14. 解：(1)3,75；… (2分) 【解法提示】a=20-5-10-2=3.由题可知中位数 是将20名学生成绩按从小到大的顺序排列后，第 10名和第11名学生成练的平均数，且在C组，将 C组数据按从小到大的顺序排列：72,73,75,75， 75,75,79,80,80,80..可得第10和第11名学生 成绩均为75，.中位数b=75. (2)小宇的结论不正确。…(3分) 理由：由表知九年级数据的中位数为82.5，将数据 “80"误写成了“85”，中位数变大，即反映被调查 学生户外运动知识水平的情况有变化，故小宇的 结论不正确；… … (4分) (3)将露营、钓鱼、骑行、爬山这四种运动项目依次 记为M1,M2,M,M4,列表如下： 第一张 第二张 M M, M M. M (M2,M)(M,M) (M4,M) M2 (M1,M2） (M3,M2) (M4,M2) M (M1,M3)M2,M (M4,M) M (M1,M4)M2,M4)M3,M4） 由列表知，共有12种等可能的结果，其中抽到的 两张卡片恰好是M,和M,的结果有2种， .P(抽到的两张卡片恰好是“骑行”和“爬山”)= 21 (7分) 126 15.解：(1)设第一次制作的每个迷你蒙古袍挂坠原材 料的成本为x元，则第二次制作的每个迷你蒙古 袍挂坠原材料的成本为1.2x元， 由题意，得15001200 x1.2x 20,…(2分) 解得x=25.…（3分) 检验：当x=25时，1.2x≠0，因此x=25是原方程 的解，且符合实际， 答：第一次制作的每个迷你蒙古袍挂坠原材料的 成本是25元；… (5分) (2)由(1)可得第二次制作迷你蒙古袍挂坠共 1200÷(1.2×25)=40(个). 设售出一半后，剩余的挂坠每件打m折销售， 由题意，得20x50+20x50×-1200≥500， 10 (6分) 1000+100m-1200≥500， 100m-200≥500， 100m≥700. 解得m≥7. …(9分) 答：剩余的挂坠最多可打7折.…（10分) 16.(1)证明：ED·EC=EB2, ED EB EB EC LE=LE、 ∴.△EBD∽△ECB .LEBD=L ECB. BD=BD.LBAD=LECB、 ∠BAD=∠EBD:…(3分) (2)证明：AB为⊙0的直径， .∠ADB=90°， ∠BAD+LDBA=90°， 由(I)得∠BAD=∠EBD, .LEBD+∠DBA=90°， .EB⊥OB, :0B为⊙0的半径. .BE为⊙0的切线： …（7分） (3)解：如解图，连接0C,0D、 D为BC的中点， .OD⊥BC.∠COD=∠BOD, .∠DOB+∠CBA=90°， CD∥AB. ..∠DCB=∠CBA. .∠BOD=2∠BCD. ∴.∠BOD=2LCBA, :∠D0B+∠CBA=90°， 即3∠CBA=90°， ∴.∠CBA=30°， ∴.∠D0B=60, ∴.∠C0B=120°， B=6,.0B=3, ÷BC的长为120mx3=2m. …（12分) 180 第16题解图 17.解：(1)：y轴垂直平分B,AB=6, 1(-3.0),B(30),…（1分) 由题意，得C(0,), …（2分) 设该抛物线的函数表达式为y=ar2+bx+c(a0), 9 将(-3.0.(3.0).(0，亏)代人， 9a-3b+c=0, a=5 得90+36+c=0,解得b=0, e=5 9 =5 :该抛物线的函数表达式为y=弓+？(-3≤： ≤3)片…（4分) (2)①油抛物线的对称性，得xE= 2,…(5分) 当x=时，= 1 911 520 ，…(6分) 2 :.(520 2=(米)，…(7分剂 ,911、 答：灯饰F与其水中倒影F之间的距离为米 …(8分) ②甲型灯笼与桥拱最高点C的水平距离为0米， 乙型灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为3米 2 … （12分) 【解法提示】由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到DE 的距离为品号-子（米），由0得，点C与06之 间的距离为915 了20（米），甲型灯笼的悬挂点 即为点C,.甲型灯笼与桥拱最高点C的水平距 离为0米；由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到DE 的距离 号号号*).曲0得，De与8之周 的距离为号米该悬挂点到仍的距离为子十号 55 员易()令方+号品解得=或： =2:乙型灯笼与桥拱最高点C的水平距离均 3 米 18.（1)证明：由折径的性质可知，E,F分别为AB,CD 的中点，EF⊥AB,EF∥AD, .AE=BE=CF=DF=- 8=20. 1 ·△HDG由△CDG折叠而来， DH=DC,∠HDG=∠CDG=7LCDH,LDHG= ∠DCG=90°，…(1分)》 DF DF 1 在Rt△DFH中，，sin DHF= DH CD 2' .∠DHF=30°， .∠MHG=90°-30°=60°， EF∥AD,.∠ADH=LDHF=30°， .∠CDH=90°-30°=60°， ·∠HDG=LcDG=号∠GDH=30, 2 .∠HMG=∠MHD+∠HDM=30°+30°=60°，… …(3分)》 .△GHM是等边三角形：…(4分) （2)证明：由(1)可得∠CDG=30°， CD=3, .DG=-CD3=2 c0s30°√5 2 易得M为DG的中点，MG=DG=5, 2 :'△GHM是等边三角形， ∴.HM=HC=MG=√5， .CG=HG=√5， :AD=BC=25, .CG=BG=√5， 如解图①，连接GW, 在Ru△BGN和R△HGN中，BG=HG, (NG=NG, ∴.Rt△BGW≌Rt△HGW(HL), .BN=WH;…(8分) A 0 H G 第18题解图① (3)解：解法一：由(1)可得∠ADN=30°， .D=25, .AW=AD·an∠ADN=2,…(10分) 1 由折径的性质可得∠ADP=∠NDP=。LADN= 15°，P=PQ. :∠DQP=∠A=90°， .∠PD=∠QPD=75°， .∠NPQ=180°-2×75°=30°，…(11分) 在△PQN中，coL.NP0=e-,MP=5 PN AN-AP 2' …（12分)》 解得P=4万-6.…（13分) 解法二：如解图②，分别在DC,AB的延长线上取 点J,K,使得AK=DJ=AD=25,连接JK,此时四 边形AKD为正方形，延长DG交KJ于点L,连 接QL, 由题易知AD=DQ=DJ, 在△DJL和△DQL中， (DJ=DQ, LJDL=LQDL, DL=DL, .△DJL≌△DQL(SAS), ∴.∠DJL=∠DQL=90°， 由折叠的性质可知∠DQP=∠A=90°，LQDP LADP, .∠DQL+∠DQP=180°， P,Q,L三点共线， 易证△CDG∽△JDL, CG DC ルD 由(2)可知cG=V万，即5.3 J儿25 .J儿=2，.QL=2,KL=25-2, 设AP=x,则PQ=x,PL=PQ+QL=x+2,PK=AK-AP =25-x, 在Rt△PKL中，由勾股定理，得PL=PK+KL,即 (x+2)2=(25-x)2+(23-2)°， 解得x=45-6, .AP=45-6. …（13分) 0 K 第18题解图②