19.2.1.3平行四边形对角线的性质-课件--2025--2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 19.2.1.3平行四边形对角线的性质 第19章 四边形 沪科版数学八下 平行四边形对角线的性质 本套内容围绕沪科版八年级下册平行四边形对角线的性质核心知识点设计，衔接上一课时平行四边形的边、角性质及两条平行线之间的距离，重点讲解平行四边形对角线的定义、核心性质、几何语言表示，以及性质的推导与综合应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握平行四边形对角线的本质特征，能运用对角线性质解决线段相等、线段平分、面积等相关几何问题，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。 一、核心知识点梳理 （1）平行四边形对角线的定义 连接平行四边形不相邻两个顶点的线段，叫做平行四边形的对角线。 关键说明：① 一个平行四边形有且只有两条对角线；② 两条对角线相交于一点，这个交点是平行四边形的中心对称点（平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点）；③ 对角线将平行四边形分成四个三角形，且这四个三角形的面积有特定关系。 补充：几何表示（以▱ABCD为例）：连接AC、BD，交于点O，则AC、BD是▱ABCD的两条对角线，点O是▱ABCD的对称中心。 （2）平行四边形对角线的核心性质（重点） 核心性质：平行四边形的对角线互相平分。 几何语言表示（以▱ABCD为例，对角线AC、BD交于点O）： - ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD（对角线互相平分）； - 延伸结论1：对角线分得的四个三角形面积相等，即S△AOB = S△BOC = S△COD = S△DOA（可由对角线互相平分和三角形面积公式推导）； - 延伸结论2：若平行四边形的两条对角线相等，则该平行四边形是矩形（后续重点学习，可作为辅助判定依据）； - 延伸结论3：对角线互相平分 + 一组邻边相等 = 菱形（后续重点学习）。 （3）平行四边形对角线性质的推导 推导思路：利用平行四边形的边、角性质，证明对角线分得的两个三角形全等，进而推出对角线互相平分。 具体推导（以▱ABCD为例，对角线AC、BD交于点O）： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）； ∴ ∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC（两直线平行，内错角相等）； 在△AOB和△COD中，∠OAB=∠OCD，AB=CD，∠OBA=∠ODC； ∴ △AOB≌△COD（ASA）； ∴ AO=OC，BO=OD（全等三角形对应边相等），即平行四边形对角线互相平分。 （4）对角线性质与平行四边形其他性质的关联 - 与边、角性质结合：可通过对角线互相平分，证明线段相等、角度相等，进而解决边长、角度计算问题； - 与平行线距离结合：平行四边形的面积 = 对角线分得的四个三角形面积之和，也可结合对角线长度和夹角计算面积（拓展内容）； - 与中心对称结合：对角线的交点是平行四边形的对称中心，绕交点旋转180°，平行四边形与自身重合，对应线段、对应角重合。 （5）对角线性质的应用场景 - 求对角线的长度或对角线被交点分成的线段长度； - 证明线段相等、线段互相平分； - 计算平行四边形的面积（通过对角线分得的三角形面积）； - 判断平行四边形的特殊类型（后续结合矩形、菱形学习）。 二、重点例题解析（分题型） 题型1：平行四边形对角线性质的基础应用（求线段长度） 例题1：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=5cm，BO=3cm，求AC、BD的长度；若AC=12cm，BD=10cm，求AO、OD的长度。 解析：由平行四边形对角线互相平分，得AO=OC，BO=OD； （1）AC=2×AO=2×5=10cm，BD=2×BO=2×3=6cm； （2）AO=AC÷2=12÷2=6cm，OD=BD÷2=10÷2=5cm。 题型2：对角线性质与边、角性质综合应用 例题2：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AB=6cm，AD=4cm，AO=3cm，求OC、BO的取值范围（提示：利用三角形三边关系）。 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OC=AO=3cm（对角线互相平分）； 在△AOB中，AB=6cm，AO=3cm，根据三角形三边关系：AB - AO < BO < AB + AO； 即6 - 3 < BO < 6 + 3，解得3cm < BO < 9cm。 题型3：对角线性质与三角形全等结合 例题3：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，求证：△AOD≌△COB。 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD=BC，AD∥BC（平行四边形对边平行且相等），AO=OC（对角线互相平分）； ∴ ∠OAD=∠OCB（两直线平行，内错角相等）； 在△AOD和△COB中，AO=OC，∠OAD=∠OCB，AD=BC； ∴ △AOD≌△COB（SAS）。 题型4：对角线性质与面积结合 例题4：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知S△AOB=4cm²，求▱ABCD的面积；若AC=8cm，BD=6cm，且AC⊥BD，求▱ABCD的面积。 解析：（1）由平行四边形对角线性质，对角线分得的四个三角形面积相等，∴ S△AOB = S△BOC = S△COD = S△DOA=4cm²； ∴ 平行四边形面积=4×4=16cm²； （2）AC⊥BD，∴ 平行四边形面积=对角线乘积的一半=（AC×BD）÷2=（8×6）÷2=24cm²（拓展：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，面积公式为对角线乘积的一半）。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线平分内角 2. 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO=4cm，则AC的长度为（ ） A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 无法确定 3. 平行四边形的对角线互相平分，也就是说，对角线的______是两条对角线的公共中点。 4. 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD=10cm，则BO=______cm。 5. 已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△BOC=5cm²，则▱ABCD的面积为______cm²。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=3x-1，OC=x+5，求x的值及AC的长度。 2. 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=5cm，AD=3cm，BO=2cm，求证：△AOB是直角三角形。 3. 求证：平行四边形的对角线互相平分（结合三角形全等推导）。 4. 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=14cm，BD=18cm，求AO、BO的长度，并求△AOB的周长（AB=8cm）。 5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，求证：OE=OF。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，延长AO至点E，使OE=AO，连接BE、CE，求证：四边形BECO是平行四边形。 2. 已知▱ABCD的周长为28cm，AB=8cm，对角线AC、BD交于点O，且AC - BD=2cm，求AO、BO的长度，并求△COD的面积（提示：先求各边长，再结合勾股定理判断对角线夹角）。 四、易错点提醒 1. 性质记忆错误：混淆平行四边形对角线性质与矩形、菱形的对角线性质，误认为平行四边形的对角线相等或互相垂直。 2. 应用错误：运用对角线互相平分时，未先说明“四边形是平行四边形”，直接套用性质，推理不严谨。 3. 线段长度计算错误：忘记“对角线互相平分”意味着对角线被交点分成两段相等的线段，误将AO当作AC的长度。 4. 面积计算错误：忽略平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，或误用对角线乘积的一半计算普通平行四边形的面积（仅对角线垂直时适用）。 5. 综合应用时漏解：结合三角形三边关系求对角线取值范围时，忽略三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.B 2.C 3.交点 4.5 5.20 （二）提升题： 68. 平行四边形对角线互相平分，∴ AO=OC，即3x-1=x+5，解得x=3，AC=2×AO=2×(3×3-1)=16cm； 69. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD=2cm，AC=2AO；在△AOB中，AB=5cm，AO²+BO²=AO²+4，若△AOB是直角三角形，则AO²+BO²=AB²，即AO²+4=25，AO²=21，AO=√21 cm（结合平行四边形边长，可验证成立）； 70. 证明：以▱ABCD为例，对角线AC、BD交于点O，∵ AB∥CD，AB=CD，∴ ∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，△AOB≌△COD（ASA），∴ AO=OC，BO=OD，即对角线互相平分； 71. AO=AC÷2=14÷2=7cm，BO=BD÷2=18÷2=9cm，△AOB的周长=AO+BO+AB=7+9+8=24cm； 72. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，AB∥CD，∴ ∠OAE=∠OCF，又∵ OE⊥AB，OF⊥CD，∴ ∠OEA=∠OFC=90°，△AOE≌△COF（AAS），∴ OE=OF。 （三）拓展题： 75. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，又∵ OE=AO，∴ OE=OC，且∠AOE=∠COB（对顶角相等），BO=OD（平行四边形对角线互相平分），∴ 四边形BECO中，OE=OC，BO=OD，对角线互相平分，故四边形BECO是平行四边形； 76. 周长=28cm，AB=8cm，∴ AD=(28÷2)-8=6cm；设AO=x，BO=y，AC=2x，BD=2y，由AC-BD=2，得2x-2y=2，即x-y=1；在△AOB中，AB=8cm，由三角形三边关系得x+y>8，x-y=1，结合平行四边形性质，解得x=5cm，y=4cm，即AO=5cm，BO=4cm；△COD的面积=△AOB的面积，由勾股定理逆定理，AO²+BO²=25+16=41≠64，对角线不垂直，可结合边长求高，面积=6×高（或利用平行四边形面积=底×高），最终△COD的面积=12cm²。 新课导入 性质1 平行四边形的对边相等. 性质2 平行四边形的对角相等. 平行四边形的两条对角线有什么性质呢？ 新课推进 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O. 图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？你能发现平行四边形的对角线有哪些性质？ A B C D O A B C D O 猜想：OA = OC，OB = OD 在□ ABCD中，AB∥ DC，AB =CD. ∴ ∠OAB =∠OCD，∠OBA =∠ODC. ∴ △OAB ≌ △OCD. ∴ OB = OD ，OA = OC． A B C D O 平行四边形的性质 3 平行四边形的对角线_________. 互相平分 如图，在□ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB⊥AC，AB = 3，AD = 5，求 BD 的长. B C D A O 例 4 解 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ BC = AD = 5，AO = AC = 2，BD = 2BO ∵ AB⊥AC， ∴ ∠BAC=90°. ∴ ∴ AO = AC = 2． ∴ ∴ BD = 2BO = 平行四边形的性质 A B C D O 对边 对角 邻角 对角线 平行且相等 相等 互补 互相平分 随堂练习 1.平行四边形的两条对角线把它分成的四个三角形（ ） A. 都是等腰三角形 B. 都是全等三角形 C. 都是直角三角形 D. 是面积相等的三角形 D 2.□ABCD中，AC，BD 相交于 O，□ABCD 的周长为 20 cm，△AOB 的周长比 △BOC 的周长大 4 cm，则 AB =_____，BC =_____. 7 cm A B C D O 3 cm 3. 一个平行四边形的一边长为 8，一条对角线长为 6，则另一条对角线 x 的取值范围为：_____________. 10＜x＜22 A B C D 8 6 5. 在□ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，那么，这个四边形相邻两边长有什么关系？为什么？ 邻边相等。 A B C D O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AC与BD互相平分 又∵AC与BD互相垂直 ∴AC垂直平分BD .∴AB=AD 同理可得：AD=CD，CD=BC，AB=BC. 6. 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F. 求证：OE = OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA=OC （平行四边形的性质） ∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等） 在△AOE和△COF中 ∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚ OA = OC ∠EAO = ∠FCO ∴ △AOE≌△COF （ASA ） ∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等） 1．如图，在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件可使四边形ABCD成为平行四边形的是(　　) A．∠DAB＝∠ADC B．∠BAC＝∠DCA C．∠ABD＝∠BDC D．∠DAC＝∠BCA D 中考考法 15 2. 如图，在一束平行光线中插入一张 对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成 的是 ，那么光线与纸板左上方所成的 的度数是( ) C A. B. C. D. 中考考法 16 3．[芜湖期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EC⊥DC，且∠CDE＝∠B，求证：四边形ADEC是平行四边形．(8分) 证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC. 又∵EC⊥DC，∴AD∥EC. ∵AB＝AC，∴∠DCA＝∠B. 又∵∠CDE＝∠B，∴∠CDE＝∠DCA，∴ED∥AC， ∴四边形ADEC是平行四边形． 中考考法 17 4．[知识初练]如图，将一条长3 cm的线段AB向右平移4 cm后得到线段DC，根据平移的性质可得，AB∥______且AB＝______，所以四边形ABCD是平行四边形. 中考考法 18 5．如图给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形ABCD为平行四边形，还需要添加的条件可以是(　　) A．CD＝3 B．BC＝3 C．BD＝5 D．BD＝3 B 中考考法 19 6．[杭州期末]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BE＝DF，连接AE，CF.求证：四边形AECF是平行四边形．(8分) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∵BE＝DF，∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形． 中考考法 20 课堂小结 A B C D O 平行四边形的性质 3 平行四边形的对角线_________. 互相平分 $