7.1.2 全概率公式 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《7.1.2 全概率公式》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 理解全概率公式的意义与适用条件，能正确划分样本空间的完备事件组. 掌握全概率公式的计算步骤，能解决“由原因推结果”的复杂概率问题. 了解贝叶斯公式的基本形式，能进行简单的后验概率计算，提升数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养. 课标分析 本节是条件概率的延伸与提升，是高中概率计算中处理多原因、分阶段、复杂事件的核心工具.课标强调：全概率公式的本质是“化整为零、化繁为简”，要求学生能识别分阶段试验模型，正确划分互斥且并为全集的事件组，会用“条件概率+加法公式”推导全概率公式，并能解决产品抽样、机器加工、决策选择、通信传输等实际问题.本节课承接条件概率与乘法公式，开启随机变量分布列的基础计算，具有承上启下的关键地位. 2、 教材分析 “全概率公式”是人教A版选择性必修第三册第七章第一节第二课时，是概率体系的重点内容.教材以不放回摸球为引入，通过分情况讨论推导公式，再以餐厅选择、机器加工、数字通信等典型例题强化应用，最后自然引出贝叶斯公式.内容遵循“直观问题→严格推导→规范步骤→实际应用”的思路，突出分情况讨论、完备事件组、由因推果三大要点，是培养学生概率建模与分步运算能力的核心载体. 3、 学情分析 学生已经掌握条件概率、乘法公式、互斥事件加法公式，能解决简单分步试验概率问题.但面对多原因导致同一结果的复杂事件时，不会拆分事件；难以理解“完备事件组”的意义；容易遗漏某一种情况导致计算错误；对“由因推果”和“由果索因”的模型区分不清.教学中应借助实例、表格、流程图拆解结构，降低抽象理解难度. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从多阶段试验中抽象出完备事件组，理解全概率公式的结构. 1. 逻辑推理素养：推导全概率公式，理解每一步的依据，严谨拆分事件. 1. 数学运算素养：熟练使用全概率公式计算复杂事件概率，准确代入数值. 1. 直观想象素养：借助流程图、韦恩图理解事件划分与概率合成. 4. 数学建模素养：将生产、生活、通信问题转化为全概率模型求解. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：全概率公式的推导、适用条件、计算步骤；完备事件组的划分. 1. 难点：正确构造完备事件组；区分全概率（由因推果）与贝叶斯公式（由果索因）. 6、 教学过程 环节一：检查预习 教师活动 1. 展示预习问题，学生独立完成，巡视并请学生回答. 1. 对正确回答给予肯定，对错误引导分析原因并纠正. 预习问题及答案 1. 全概率公式中，事件组需要满足：两两________，且________.（答案：互斥；） 1. 全概率公式：________.（答案：） 1. 全概率公式适用于“由________推________”的问题.（答案：原因；结果） 1. 贝叶斯公式：________.（答案：） 学生活动 独立作答，举手订正，明确预习薄弱点. 设计目的 检测预习效果，快速聚焦公式结构. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 教师活动 请学生回顾上节课重点，随机提问： （1）条件概率公式是什么？ （2）乘法公式是什么？ （3）互斥事件的概率加法公式是什么？ 对学生回答点评、强调，导入：当一个结果由多个原因引起时，如何计算概率？引出全概率公式. 学生活动 集体回顾公式，举手回答，进入新课思考. 设计目的 巩固前序知识，搭建推导全概率公式的基础. 环节三：合作探究 1. 问题引入：摸球试验（5分钟） 教师活动 提出问题：袋中有红蓝，不放回摸两次，求第二次摸到红球的概率. 引导学生拆分：第一次摸到红/蓝是两个互斥原因，第二次红球是结果. 推导： 得出：分情况算概率再相加. 学生活动 讨论拆分思路，理解分情况求和. 设计目的 直观感受“化整为零”，为公式推导铺垫. 2. 全概率公式推导（5分钟） 教师活动 给出完备事件组定义： 两两互斥，且并为全集. 推导： 3. 强调：全概率=各原因概率×对应结果概率之和. 学生活动 跟随推导，记录公式，理解逻辑. 设计目的 由特殊到一般，完成公式严谨推导. 3. 解题步骤与贝叶斯公式（5分钟） 教师活动 给出解题三步法： ① 定：划分完备事件组； ② 算：求与； ③ 代：代入全概率公式. 引出贝叶斯公式： 说明：由果索因，求“结果是某原因导致”的概率. 学生活动 记录步骤，理解全概率与贝叶斯的区别. 设计目的 形成解题流程，建立模型识别能力. 环节四：学以致用 1. 基础例题（5分钟） 例1 第1天等可能选A/B餐厅，第1天选A则第2天选A概率0.6；第1天选B则第2天选A概率0.8.求第2天选A的概率. 解： 设=第1天A，=第1天B，=第2天A. ， ，， 答案： 2. 综合例题（7分钟） 例2 3台机床产量占比25%、30%、45%，次品率6%、5%、5%. (1) 任取一件是次品的概率； (2) 取到次品，来自第1台的概率. 解： 设为来自三台，为次品. (1) (2) 答案：(1)；(2) 例3 发送0/1等可能，发0收0概率0.9；发1收1概率0.95.求收到0的概率. 解： 答案： 教师活动 板书步骤，强调事件划分、公式代入. 学生活动 独立演算，同桌互批，订正错误. 设计目的 全覆盖高频题型，落实规范运算. 小试牛刀： 1.已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为1，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（） A. B. C. D. 3.某同学发现自己的钥匙丢了，若钥匙掉在宿舍里、教室里、路上的概率分别是40%，35%，25%，而钥匙掉在上述三处地方能被找回的概率分别是0.8，0.3，0.1，则该同学找到钥匙的概率是______. 4.某班参加数学和物理竞赛的人数分别为20，15，其中参加数学竞赛的女生占，参加物理竞赛的女生占，每名参赛的同学只参加一科竞赛，则从参赛的同学中选取的一名同学恰好是女生的概率为______. 5.在秋菜运输中，某汽车可到甲、乙、丙三地去拉菜，设到此三处拉菜的概率分别为0.2，0.5，0.3，而到各地拉到一级菜的概率分别为0.1，0.3，0.7.已知汽车拉到了一级菜，求该车菜是由乙地拉来的概率. 环节五：课堂小结 教师活动 引导学生回顾： 一个核心：全概率公式； 一组条件：完备事件组； 两种模型： 全概率：由因推果； 贝叶斯：由果索因； 三步法：定组、算值、代入. 学生活动 口述要点，完善笔记. 设计目的 梳理结构，形成稳定解题范式. 环节六：布置作业 书面作业：课本P52练习第1、2题，规范书写步骤. 拓展作业：5支枪2支未校正、3支已校正，校正中靶0.9，未校正0.4，任取一枪中靶概率. 预习引导：预习离散型随机变量及其分布列. 教师活动 明确要求，强调书写规范. 学生活动 记录作业，明确预习任务. 设计目的 巩固课堂内容，衔接后续学习. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课以摸球问题切入，顺利推导全概率公式，学生对“分情况相加”理解较好.但在实际解题中，部分学生仍不会正确划分完备事件组，容易漏情况；贝叶斯公式与全概率公式的使用场景容易混淆.后续应增加“找原因、划事件组”的专项训练，强化审题与模型识别，同时规范步骤书写，提升学生的逻辑严谨性与运算准确性. 学科网（北京）股份有限公司 $