19.2.1.2两条平行线之间的距离-课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 19.2.1.2两条平行线之间的距离 第19章 四边形 沪科版数学八下19.2.1.2 两条平行线之间的距离 本套内容围绕沪科版八年级下册19.2.1.2“两条平行线之间的距离”核心知识点设计，衔接上一课时平行四边形的边、角性质，重点讲解两条平行线之间距离的定义、核心性质，以及与平行四边形的关联应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握两条平行线之间距离的本质，能准确计算距离、运用性质解决相关几何问题，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。 一、核心知识点梳理 （1）两条平行线之间距离的定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 关键说明：① 核心前提：必须是“两条平行线”，不平行的两条直线不存在“之间的距离”；② 距离的本质：点到直线的距离（即垂线段的长度），因此两条平行线之间的距离，本质是连接两条平行线的垂线段的长度；③ 任意性：一条直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等，即两条平行线之间的距离处处相等。 补充：距离的表示（几何语言）：若直线l₁∥l₂，点A在l₁上，过点A作AB⊥l₂于点B，则线段AB的长度就是l₁与l₂之间的距离。 （2）两条平行线之间距离的核心性质 - 性质1：两条平行线之间的距离处处相等（无论在一条直线上取哪个点，向另一条直线作垂线段，垂线段长度都相同）； - 性质2：夹在两条平行线之间的平行线段相等（可由距离处处相等推导得出，也是平行四边形边的性质的延伸）； - 性质3：两条平行线之间的距离，等于连接这两条直线的垂线段的长度，垂线段与两条平行线都垂直。 （3）两条平行线之间的距离与平行四边形的关联 平行四边形的两组对边分别平行，因此： - 平行四边形的一组对边所在的直线是两条平行线，这组对边之间的距离，就是平行四边形的高（对应底边的高）； - 平行四边形的面积 = 底边 × 对应底边的高（此处的高，本质就是两条对边所在平行线之间的距离）； - 平行四边形有两组对边，因此有两条对应的高，分别对应两组对边所在平行线之间的距离。 （4）距离的测量与计算方法 1. 测量方法：① 在两条平行线中的一条上取任意一点；② 过该点向另一条直线作垂线，测量垂线段的长度，即为两条平行线之间的距离； 2. 计算方法：① 若已知两条平行线的表达式（平面直角坐标系中），可利用点到直线的距离公式计算；② 若在几何图形中（如平行四边形、三角形），可结合图形的边长、角度，利用面积法或勾股定理计算。 二、重点例题解析（分题型） 题型1：两条平行线之间距离的定义辨析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）两条直线之间的距离，就是这两条直线上任意两点之间的线段长度；（2）两条平行线之间的距离处处相等；（3）过两条平行线中的一条直线上一点，向另一条直线作的斜线，斜线的长度就是两条平行线之间的距离。 解析：（1）错误，理由：两条直线不平行时，不存在“之间的距离”；且即使平行，距离是垂线段的长度，不是任意两点之间的线段长度；（2）正确，理由：这是两条平行线之间距离的核心性质，任意一点到另一条直线的垂线段长度都相等；（3）错误，理由：距离是垂线段的长度，斜线不是垂线段，其长度不等于两条平行线之间的距离。 题型2：两条平行线之间距离的计算 例题2：已知直线l₁∥l₂，点A在l₁上，过点A作AB⊥l₂于点B，若AB=5cm，点C是l₁上另一点，过点C作CD⊥l₂于点D，求CD的长度；若AB的延长线交l₁于点E，求AE与l₂之间的距离。 解析：由两条平行线之间距离处处相等，得CD=AB=5cm；AE在l₁上，l₁∥l₂，因此AE与l₂之间的距离就是l₁与l₂之间的距离，即AB的长度，为5cm。 题型3：与平行四边形结合（距离与高、面积） 例题3：在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=6cm，AD=4cm，AB与CD之间的距离为3cm，求：（1）▱ABCD的面积；（2）AD与BC之间的距离。 解析：（1）平行四边形的面积 = 底边 × 对应底边的高，AB为底边，AB与CD之间的距离为对应高，因此面积=6×3=18cm²；（2）AD与BC之间的距离为对应AD底边的高，设其长度为h，由面积公式得AD×h=18，即4h=18，解得h=4.5cm，故AD与BC之间的距离为4.5cm。 题型4：综合应用（距离与角度、线段长度） 例题4：已知两条平行线l₁∥l₂，夹在l₁与l₂之间的线段AB⊥l₁，AB=4cm，线段CD平行于AB，且C在l₁上，D在l₂上，求CD的长度及l₁与l₂之间的距离。 解析：∵ AB⊥l₁，l₁∥l₂，∴ AB⊥l₂，因此AB的长度就是l₁与l₂之间的距离，即4cm；又∵ CD∥AB，AB⊥l₁，∴ CD⊥l₁，CD也是连接两条平行线的垂线段，故CD=AB=4cm。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 两条直线之间的距离处处相等 B. 两条平行线之间的距离是任意两点间的线段长度 C. 两条平行线之间的距离处处相等 D. 过平行线外一点作平行线的垂线，垂线的长度就是距离 2. 已知直线l₁∥l₂，过l₁上一点P作PQ⊥l₂于点Q，PQ=6cm，则l₁与l₂之间的距离为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 12cm D. 无法确定 3. 两条平行线之间的距离是指连接这两条直线的______的长度。 4. 在▱ABCD中，AD与BC之间的距离为5cm，则BC与AD之间的距离为______cm。 5. 已知▱ABCD的面积为24cm²，底边AB=6cm，则AB与CD之间的距离为______cm。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 已知两条平行线l₁∥l₂，点A、B在l₁上，点C、D在l₂上，AC⊥l₂，BD⊥l₂，若AC=8cm，求BD的长度，并说明理由。 2. 在▱ABCD中，AB=8cm，BC=5cm，AB与CD之间的距离为4cm，求▱ABCD的面积及AD与BC之间的距离。 3. 求证：夹在两条平行线之间的平行线段相等（结合平行线之间距离的性质推导）。 4. 已知直线l₁∥l₂，夹在它们之间的线段AB=10cm，AB与l₁的夹角为60°，求两条平行线之间的距离。 5. 如图，在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，过点A作AE⊥CD于点E，AE=3cm，CE=2cm，CD=7cm，求▱ABCD的面积和AD的长度。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，两条平行线l₁∥l₂，点P是l₁与l₂之间的一点，过点P作PA⊥l₁于点A，PB⊥l₂于点B，求证：PA+PB等于l₁与l₂之间的距离。 2. 已知▱ABCD的周长为30cm，AB=7cm，AB与CD之间的距离为5cm，求AD与BC之间的距离，并求▱ABCD的面积。 四、易错点提醒 1. 距离定义混淆：误认为“两条平行线之间的距离”是任意两点间的线段长度，忽略“垂线段”这一核心条件。 2. 性质应用错误：忘记“两条平行线之间的距离处处相等”，在计算平行四边形的高时，混淆不同底边对应的高。 3. 忽略前提条件：未确认两条直线是否平行，就盲目计算“之间的距离”，导致错误。 4. 与平行四边形结合时出错：混淆“平行四边形的高”与“两条平行线之间的距离”，不知道高就是对应对边之间的距离。 5. 计算距离时，误将斜线长度当作垂线段长度，导致结果错误。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.C 2.B 3.垂线段 4.5 5.4 （二）提升题： 47. BD=8cm，理由：∵ l₁∥l₂，AC⊥l₂，BD⊥l₂，∴ AC、BD都是两条平行线之间的垂线段，根据平行线之间距离处处相等，得AC=BD=8cm； 48. 面积=8×4=32cm²；设AD与BC之间的距离为h，由面积公式得5h=32，解得h=6.4cm； 49. 证明：设两条平行线为l₁∥l₂，线段AB、CD是夹在其间的平行线段（AB∥CD），过A作AE⊥l₂于E，过B作BF⊥l₂于F，∵ l₁∥l₂，∴ AE=BF（距离处处相等），又∵ AB∥CD，AE⊥l₂，BF⊥l₂，∴ 四边形AEFB、AEFD均为矩形，∴ AB=EF，CD=EF，故AB=CD； 50. 过点A作AC⊥l₂于C，∠ABC=60°，AB=10cm，距离AC=AB×sin60°=10×(√3/2)=5√3 cm（约8.66cm）； 51. 面积=CD×AE=7×3=21cm²；DE=CD-CE=7-2=5cm，在Rt△ADE中，AD=√(AE²+DE²)=√(3²+5²)=√34 cm。 （三）拓展题： 54. 证明：延长AP交l₂于点C，∵ PA⊥l₁，l₁∥l₂，∴ PC⊥l₂，又∵ PB⊥l₂，∴ 点B、P、C共线（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），∴ BC就是l₁与l₂之间的距离，且BC=PC+PB，又∵ PA=PC（平行线之间距离处处相等），∴ PA+PB=PC+PB=BC，即PA+PB等于两条平行线之间的距离； 55. 周长=30cm，AB=7cm，∴ AD=(30÷2)-7=8cm；面积=AB×对应距离=7×5=35cm²；设AD与BC之间的距离为h，由8h=35，解得h=35/8=4.375cm。 复习导入 1. 什么是点到直线的距离？ 2. 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？ 情境导入 距离是几何中的重要度量之一.想一想我们学过哪些距离？ 点与点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 有什么特点？ 推进新课 利用方格纸画出直线 l1 // l2，A，C 为直线 l1 上任意两点. 再测量一下线段 AC 和 BD 的长度，它们相等吗？ 过点 A，C 分别画线段 AB，CD，分别交 l2 于点 B，D，使 AB // CD. 测量线段 AB 和 CD 的长度，它们相等吗？ AB = 2.9cm CD = 2.9cm 相等 AC = 2.7cm BD = 2.7cm 相等 l1 l2 c d A B C D 你知道为什么吗？ 如图，直线 l1 // l2 ，AB，CD 是夹在直线 l1，l2 之间的两条平行线段. A l1 l2 C B D AB 和 CD 之间有什么关系？ ∵ AC // BD， ∴四边形 ABDC 是平行四边形， 夹在两条平行线之间的平行线段相等. AB // CD， ∴ AB = CD. 如图，直线 l1 // l2，点 A，C 在直线 l1 上，若 AE⊥l2，CF⊥l2，垂足分别为点 E，F. 则_________. A l1 l2 C B D 夹在两条平行线之间的平行线段相等. E F AE = CF 从上面的结论进一步可以知道：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离. 线段 AE，CF 的长就是直线 l1 和直线 l2 之间的距离. 概念 引入 A l1 l2 C B D E F 可以用点到直线的距离来定义两条平行线间的距离： 两条平行线之间的距离处处相等. 归纳小结 平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离. A l1 l2 C B D E F 两条平行线之间的距离处处相等. 几何语言： ∵ l1 // l2 ，AE⊥l2，CF⊥l2， ∴ AE = CF. 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？ 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条线平行线之间的距离 区别 联系 连接两点的线段的长度 直线外一点到 这条直线的垂 线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 都是指相应线段的长度，点到直线的距离、两条平行线之间的距离的本质都是点与点之间的距离 例 3 如图，在□ABCD 中，AB = 4，AD = 5，∠B = 45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离. A B C D 解 过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F . A B C D E F ∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AB∥ CD，AD∥ BC. ∵ 线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，线段AF的长为直线AB和直线DC之间的距离. A B C D E F ∵在Rt△ABE中，∠AEB = 90°， ∠B =45°，AB= 4， ∴ ∠B=∠BAE，AE2+BE2=AB2. ∴BE=AE. ∴2AE2= 16. ∴ 直线 AD 和直线 BC 之间的距离为 ，直线 AB和直线 DC 之间的距离为 练一练 1.如图，直线l1//l2，其中点 A，A1在直线l1上，点 B，C在直线l2上. 那么△ABC 与 △ A1BC 的面积相等吗?为什么? 【教材P84练习 T1】 A l1 l2 A1 B C 相等.因为两条平行线之间的距离处处相等，两个三角形的高相等，又有公共的底边BC，因此两个三角形的面积相等. 随堂练习 1.如图，直线a//b，AB//CD，CE⊥b，FG⊥b，垂足分别为点E，G . 下列说法中错误的是( ) A. CE=FG B. 线段FG的长就是直线a，b之间的距离 C. 线段CE的长就是直线a，b之间的距离 D. 线段CD的长就是直线a，b之间的距离 D 2.如图，在□ ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB=10，BC=8，求: (1) □ ABCD的面积； (2)直线AB和直线CD之间的距离． 【教材P84练习 T2】 (1)∵ABCD是平行四边形 ∴AD=BC=8 由勾股定理得BD=6 ∴S□ ABCD=AD·BD=6×8=48 2.如图，在□ ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB=10，BC=8，求: (1) □ ABCD的面积； (2)直线AB和直线CD之间的距离． 【教材P84练习 T2】 (2)设直线AB和直线CD之间的距离为h. ∵S□ ABCD=AB·h=48，AB=10. ∴h=48÷10=4.8 1．[知识初练]如图，直线a∥b，线段AB∥CD，若AB＝5，则CD的长度为________. 5 中考考法 17 2．[合肥月考]如图，直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D，E在l2上，若∠CAE＝∠ADE＝90°，则下列线段的长度是l1到l2的距离的是(　　) A．AC B．AE C．AD D．BE C 中考考法 18 3．[金华期末]如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，已知AB＝6，∠ABC＝30°，则直线l1、l2间的距离为(　　) B 中考考法 19 4．如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n，则△APB的面积(　　) A．变大 B．变小 C．保持不变 D．无法确定 (补充设问)若点C，D，E在直线m上，▱ABEC的面积为12 cm2，则△ABD的面积为________． 【微总结】两条平行线之间的距离处处________. C 6 cm2 相等 中考考法 20 5. (分类讨论思想)已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是(　　) A．2 cm B．6 cm C．4 cm或8 cm D．8 cm C 中考考法 21 6．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与△ABD面积相等的三角形有(　　) ①△EBD；②△ABC；③△BCE； ④△EDC；⑤△ABE. A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ A 中考考法 22 课堂小结 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离. A l1 l2 C B D E F 两条平行线之间的距离处处相等. 几何语言： ∵ l1 // l2 ，AE⊥l2，CF⊥l2， ∴ AE = CF. A．6 B．3 C．2 D．3 $