19.2.1.1平行四边形及其边、角的性质 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 19.2.1.1平行四边形及其边、角的性质 第19章 四边形 沪科版数学八下19.2.1.1 平行四边形及其边、角的性质 本套内容围绕沪科版八年级下册19.2.1.1“平行四边形及其边、角的性质”核心知识点设计，衔接上一单元多边形的相关内容，重点讲解平行四边形的定义、表示方法、几何符号，以及边、角的两大核心性质，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握平行四边形的基础特征，能运用边、角性质解决线段长度、角度计算等问题，培养几何观察、推理和应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。 一、核心知识点梳理 （1）平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 关键说明：① 核心条件：“两组对边分别平行”，缺一不可（只有一组对边平行的四边形不是平行四边形）；② 平行四边形是特殊的四边形，具备四边形的所有性质（内角和为360°）；③ 表示方法：用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD，记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”（注意：表示时，顶点字母需按顺时针或逆时针顺序排列）。 补充：平行四边形的基本构成——边（4条，分为两组对边）、顶点（4个）、内角（4个）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段，共2条）。 （2）平行四边形的边的性质 核心性质：平行四边形的两组对边分别相等，两组对边分别平行。 几何语言表示（以▱ABCD为例）： - ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（两组对边分别平行，定义的逆用）； - ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD，AD=BC（两组对边分别相等）。 延伸结论：平行四边形的一组对边平行且相等（由两组对边分别平行、分别相等推导得出，可作为判定平行四边形的辅助依据）。 （3）平行四边形的角的性质 核心性质：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。 几何语言表示（以▱ABCD为例）： - ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（两组对角分别相等）； - ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°（邻角互补）。 推导依据：两组对边分别平行，同旁内角互补（平行线的性质），进而推出两组对角相等。 （4）平行四边形的对称性 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点（旋转180°后与自身重合）；但平行四边形不一定是轴对称图形（特殊的平行四边形如矩形、菱形除外）。 二、重点例题解析（分题型） 题型1：平行四边形的定义辨析与表示 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由；若正确，用符号表示出来。 （1）两组对边分别平行的图形是平行四边形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。 解析：（1）错误，理由：平行四边形是“四边形”，两组对边分别平行的图形可能不是四边形（如两个平行的线段组成的图形），必须强调“四边形”；（2）错误，理由：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形）；（3）正确，理由：符合平行四边形的定义，记作▱ABCD。 题型2：平行四边形边的性质应用（求边长） 例题2：在▱ABCD中，已知AB=5cm，AD=3cm，求平行四边形的周长；若AB比AD长2cm，周长为20cm，求各边的长度。 解析：（1）平行四边形两组对边分别相等，∴ AB=CD=5cm，AD=BC=3cm，周长=2×(AB+AD)=2×(5+3)=16cm；（2）设AD=x cm，则AB=(x+2)cm，由周长公式得2×(x+x+2)=20，解得x=4，∴ AD=BC=4cm，AB=CD=6cm。 题型3：平行四边形角的性质应用（求角度） 例题3：在▱ABCD中，已知∠A=120°，求其余三个内角的度数；若∠A比∠B小30°，求平行四边形各内角的度数。 解析：（1）平行四边形两组对角相等，邻角互补，∴ ∠C=∠A=120°，∠A+∠B=180°，∴ ∠B=180°-120°=60°，∠D=∠B=60°；（2）设∠A=x°，则∠B=(x+30)°，由邻角互补得x+(x+30)=180，解得x=75，∴ ∠A=∠C=75°，∠B=∠D=105°。 题型4：边、角性质综合应用 例题4：在▱ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=60°，求AD与CD的长度，以及∠B、∠C的度数。 解析：由平行四边形边的性质得，AD=BC=6cm，CD=AB=8cm；由角的性质得，∠B=180°-∠A=120°，∠C=∠A=60°。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列图形中，是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行的四边形 B. 两组对边分别平行的四边形 C. 两组邻边相等的四边形 D. 内角和为360°的四边形 2. 在▱ABCD中，AB=7cm，BC=5cm，则CD的长度为（ ） A. 7cm B. 5cm C. 12cm D. 2cm 3. 平行四边形的一个内角为80°，则它的邻角为______°，对角为______°。 4. ▱ABCD的周长为30cm，AB=8cm，则AD=______cm。 5. 已知▱ABCD中，∠A=∠B+20°，则∠C=______°。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 在▱ABCD中，已知AB=3x-2，CD=x+4，求x的值及AB、CD的长度。 2. 在▱ABCD中，周长为40cm，且AB比BC长2cm，求平行四边形各边的长度。 3. 求证：平行四边形的两组对角分别相等（结合平行线的性质推导）。 4. 在▱ABCD中，∠A:∠B=2:3，求平行四边形各内角的度数。 5. 如图，在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，若∠A=110°，AB=6cm，求∠D的度数和CD的长度。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE，求证：∠E=∠BCD（提示：利用平行四边形边、角性质）。 2. 已知▱ABCD的周长为52cm，且AD比AB的2倍少5cm，求平行四边形各边的长度及一组邻角的度数和。 四、易错点提醒 1. 平行四边形定义辨析错误：忽略“两组对边分别平行”的核心条件，误认为“一组对边平行”“两组对边相等”就是平行四边形。 2. 边的性质应用错误：混淆“对边”与“邻边”，如误将AB的对边当作BC，导致边长计算出错。 3. 角的性质应用错误：忘记平行四边形“邻角互补”，或混淆“对角”与“邻角”，导致角度计算出错。 4. 平行四边形表示错误：顶点字母排列顺序混乱，如将▱ABCD写成▱ACBD，不符合表示规范。 5. 忽略平行四边形的前提：运用边、角性质时，未先说明“四边形是平行四边形”，直接套用性质，推理不严谨。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.B 2.A 3.100，80 4.7 5.100 （二）提升题： 49. 平行四边形对边相等，∴ 3x-2=x+4，解得x=3，AB=CD=3×3-2=7； 50. 设BC=x cm，则AB=(x+2)cm，周长=2×(x+x+2)=40，解得x=9，∴ BC=AD=9cm，AB=CD=11cm； 51. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴ ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°（同旁内角互补），∴ ∠A=∠C；同理可证∠B=∠D； 52. 设∠A=2x°，∠B=3x°，由邻角互补得2x+3x=180，解得x=36，∴ ∠A=∠C=72°，∠B=∠D=108°； 53. ∠D=180°-110°=70°，CD=AB=6cm（平行四边形对边相等、邻角互补）。 （三）拓展题： 56. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB=CD，又∵ BE=AB，∴ BE=CD，且BE∥CD，∴ 四边形BECD是平行四边形（一组对边平行且相等），∴ ∠E=∠BCD； 57. 设AB=x cm，则AD=(2x-5)cm，周长=2×(x+2x-5)=52，解得x=9，∴ AB=CD=9cm，AD=BC=13cm；平行四边形一组邻角的度数和为180°（邻角互补）。 学习目标 1.理解并掌握平行四边形的概念． 2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质． 情境导入 在小学， 我们已经认识了平行四边形. 在图中找出平行四边形，并把它们勾画出来. 两组对边分别平行 只有一组对边平行 四边形 平行四边形 梯形 推进新课 知识点一 平行四边形 A B C D 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 平行四边形用符号“□ ”表示. 平行四边形 ABCD 记作□ ABCD，读作“平行四边形 ABCD”. 注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序. 由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行. 四边形 ABCD 是平行四边形 AB // DC AD // BC A B C D 平行四边形的基本元素 边 邻边 对边 角 邻角 对角 对角线 AD和AB，DA和DC，CD和CB，BC和BA AB 和 DC，AD 和 BC ∠BAD和∠ADC，∠ADC 和 ∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠BAD 和 ∠ABC ∠BAD 和 ∠BCD，∠ADC 和 ∠ABC AC 和 BD D A C B O 练一练 如图，点 D，E，F 分别在△ABC 的边 AB，BC，AC 上，且 DE // AC，DF // BC，EF // AB，则图中有哪些平行四边形？并说明这些四边形为什么是平行四边形. 【教材P82练习 T1】 D A C B F E □ BEFD □ CFDE □ ADEF 平行四边形满足两个条件 是四边形 两组对边分别平行 思考 由平行四边形的定义知：平行四边形的对边平行. 于是，平行四边形的相邻内角互为补角. 此外，平行四边形的边、角还有什么性质呢？ 知识点二 平行四边形的性质 A B C D A B C D AD = 5.5 cm BC = 5.5 cm AD = BC BA = 3.5 cm CD = 3.5 cm BA = CD 猜想 1：平行四边形的对边相等 A B C D ∠A = 120°， ∠C = 120°， ∠A = ∠C ， ∠B = 60°， ∠D = 60°， ∠B = ∠D . 猜想 2：平行四边形的对角相等 猜想 1：平行四边形的对边相等 猜想 2：平行四边形的对角相等 你能证明这些猜想吗？ A B C D 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB//DC，AD//BC. 求证：（1）AB = DC，AD = BC； （2）∠DAB =∠DCB，∠B =∠D. 思考：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质.如何构造三角形？ 连接任意一条对角线即可. 证明 连接 AC . （1）∵AB // DC，AD // BC， ∴∠BAC =∠DCA，∠BCA =∠DAC. 在△ABC 和 △CDA中， ∴△ABC≌△CDA.（ASA） ∴AB = DC，AD = BC. ∵ ∠BCA=∠DAC， AC = CA， ∠BAC =∠DCA. A B C D 平行四边形的对边相等 A B C D （2）由（1）知∠BAC =∠DCA，∠BCA =∠DAC. ∴∠BAC +∠DAC =∠DCA+∠BCA . ∴∠DAB = ∠DCB. 由（1）已证△ABC ≌△CDA. ∴∠B =∠D. 平行四边形的对角相等 如果不添加辅助线，你能证明题（2）吗？ 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD // BC，AB // CD. ∴∠A + ∠B = 180°， ∠B + ∠C = 180°. ∴∠A = ∠C. 同理，∠B = ∠D. A B C D 平行四边形的对角相等 性质1 平行四边形的对边相等； 性质2 平行四边形的对角相等 . ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB = CD，BC = AD； ∠A = ∠C，∠B = ∠D. 归纳小结 在平行四边形ABCD中， AB = CD，AD = BC. ∠A =∠C，∠B =∠D. 几何语言： A B C D 平行四边形的性质 例 1 如图，在□ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 AD 与点 E. （1）如果 AE = 2，求 CD 的长； （2）如果∠AEB = 40°，求∠C 的度数. A B C D E 解 （1） ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE =∠EBC. ∵AD∥BC，∴∠EBC =∠AEB. ∴∠ABE =∠AEB. ∴ AB = AE = 2. 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD = AB = 2. A B C D E （2） 由（1）知∠ABE =∠AEB = 40°. ∴∠A = 180°– (40°+ 40°) = 100°. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠C = ∠A = 100°. A B C D E 练一练 在□ABCD 中，∠A = 60°，求∠B，∠C，∠D 的度数. 【教材P82练习 T2】 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B =∠D，AB // CD， ∴∠A +∠D = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴∠C = ∠A = 60°， ∠B = ∠D = 180°– 60°= 120°. 例 2 已知：如图，过△ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△A'B'C'. 求证：△ABC 的顶点分别是△A'B'C' 三边的中点. C A' C' B' B A 分析：要证明点 A 是 B'C' 的中点，只要证明 AB' = AC'. 证明 ∵AB // B'C，BC // AB'， ∴四边形 ABCB' 为平行四边形. ∴ AB' = BC. 同理：AC' = BC. ∴ AB' = AC'. 同理：BC' = BA'，CA' = CB'. ∴ △ABC 的顶点分别是△A'B'C' 三边的中点. C A' C' B' B A 证明：在□ABCD 中， ∵ BC = 2AB，点 E 为边 BC 的中点，AB // CD， ∴ AB = BE = CE = CD，∠B +∠C = 180°. ∴∠BAE =∠BEA，∠CED =∠CDE. ∴∠BEA +∠CED ∴∠AED =180°– 90°= 90° 练一练 【教材P82练习 T3】 已知：在□ABCD 中，BC = 2AB，点 E 为边 BC 的中点. 求证：AE⊥ED. C A D B E 即 AE⊥ED. 1.［知识初练］ 数学 广泛存在于我们日常生活中， 如图是某款伸缩衣架，若 ___， ，则四边形 // 是平行四边形，记作_________. 中考考法 24 2.［知识初练］如图，已知在 中，，，则 的长为 ( ) C A.9 B.5 C.4 D.1 中考考法 25 3.如图，在中，已知,若 的周长为 ，则 的周长为( ) D A. B. C. D. 4.如图，在中，平分交于点 ，则 是______三角形(按边分)，若，则 ___. 等腰 3 中考考法 26 5.如图，在中，，是对角线 上的两点，连接 ，.若，求证： . 中考考法 27 证明： 四边形 是平行四边形， ， ， . ,, 即 . 在和 中， 中考考法 28 . 中考考法 课堂小结 定义 性质 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 平行四边形的对边相等. 平行四边形的对角相等. $