19.1.1多边形及其内角和课件-2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 19.1.1多边形及其内角和 第19章 四边形 沪科版数学八下19.1.1 多边形及其内角和 本套内容围绕沪科版八年级下册19.1.1“多边形及其内角和”核心知识点设计，重点讲解多边形的定义、分类、相关概念，以及多边形内角和公式的推导与应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握多边形的基本性质，能准确区分凸多边形与凹多边形，熟练运用内角和公式解决相关计算问题，培养几何观察和逻辑推理能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。 一、核心知识点梳理 （1）多边形的定义与相关概念 1. 多边形：由不在同一条直线上的n条线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做n边形（n≥3，n为正整数）。常见多边形：三角形（3边形）、四边形（4边形）、五边形、六边形等。 2. 多边形的相关概念： - 边：组成多边形的每一条线段，叫做多边形的边； - 顶点：相邻两条边的公共端点，叫做多边形的顶点； - 内角：多边形相邻两边组成的角，叫做多边形的内角（简称多边形的角）； - 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线； - 外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角（一个顶点处有2个外角，且互为对顶角，通常取其中一个研究）。 （2）多边形的分类 按边的长短分：正多边形和非正多边形。 - 正多边形：各个边都相等，各个内角也都相等的多边形（如正方形、正五边形、正六边形）； - 非正多边形：边不都相等，或内角不都相等的多边形（如一般的四边形、不规则五边形）。 按内角的大小分：凸多边形和凹多边形。 - 凸多边形：多边形的每一个内角都小于180°，且整个多边形在任何一条边所在直线的同一侧（初中阶段重点研究凸多边形）； - 凹多边形：多边形至少有一个内角大于180°，且整个多边形不在某一条边所在直线的同一侧。 （3）多边形的对角线规律 对于n边形（n≥3）： - 从一个顶点出发，可以画（n-3）条对角线（因为不能连接自身和相邻的两个顶点）； - n边形共有 $$\frac{n(n-3)}{2}$$ 条对角线（每条对角线被两个顶点重复计算，故除以2）。 示例：三角形（n=3），对角线数量为0条；四边形（n=4），对角线数量为2条；五边形（n=5），对角线数量为5条。 （4）多边形内角和公式 1. 推导思路：将n边形通过对角线分成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和为180°，因此n边形的内角和等于（n-2）×180°（n≥3，n为正整数）。 推导过程：以n边形的一个顶点为起点，连接其余（n-3）个不相邻顶点，可将n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，故n边形内角和 = （n-2）×180°。 2. 公式应用： - 已知多边形的边数n，求内角和：直接代入公式（n-2）×180°； - 已知多边形的内角和，求边数n：变形公式 n = （内角和÷180°）+ 2； - 正n边形的每个内角的度数：$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$（因为正n边形各内角相等）。 二、重点例题解析（分题型） 题型1：多边形相关概念辨析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）由5条线段组成的图形叫做五边形；（2）正多边形的各个边相等，各个内角也相等；（3）多边形的对角线是连接任意两个顶点的线段；（4）凸多边形的每一个内角都小于180°。 解析：（1）错误，理由：多边形必须是“不在同一直线上的线段首尾顺次相接”且“封闭图形”，5条线段随意组成的图形不一定是封闭的，也可能线段在同一直线上；（2）正确，理由：这是正多边形的定义；（3）错误，理由：多边形的对角线是连接“不相邻”两个顶点的线段，相邻顶点的连线是多边形的边，不是对角线；（4）正确，理由：这是凸多边形的核心特征。 题型2：多边形对角线数量计算 例题2：（1）求六边形的对角线总数量；（2）一个多边形从一个顶点出发可画5条对角线，求这个多边形的边数和对角线总数量。 解析：（1）六边形的边数n=6，代入对角线公式 $$\frac{n(n-3)}{2}$$，得$$\frac{6 \times (6-3)}{2} = 9$$ 条，故六边形共有9条对角线；（2）由“从一个顶点出发可画（n-3）条对角线”，得n-3=5，解得n=8，即这个多边形是8边形；对角线总数量为 $$\frac{8 \times (8-3)}{2} = 20$$ 条。 题型3：多边形内角和计算 例题3：（1）求八边形的内角和；（2）一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的边数；（3）求正十边形的每个内角的度数。 解析：（1）n=8，内角和 = （8-2）×180° = 6×180° = 1080°；（2）设边数为n，由（n-2）×180°=1440°，解得n=（1440°÷180°）+2=8+2=10，即这个多边形是10边形；（3）正十边形n=10，每个内角的度数 = $$\frac{(10-2) \times 180^\circ}{10} = \frac{8 \times 180^\circ}{10} = 144^\circ$$。 题型4：综合应用（内角和与边数的关联） 例题4：已知一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，求这个多边形的边数，并判断它是几边形，是否为正多边形（补充条件：若它是正多边形，求每个内角的度数）。 解析：三角形内角和为180°，则该多边形内角和 = 5×180°=900°；设边数为n，由（n-2）×180°=900°，解得n=（900°÷180°）+2=5+2=7，即这个多边形是7边形（七边形）；仅知道内角和无法判断是否为正多边形（正七边形需各边、各内角相等，题目未说明）；若它是正七边形，每个内角的度数 = $$\frac{900^\circ}{7} \approx 128.57^\circ$$。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列图形中，是多边形的是（ ） A. 半圆 B. 三条线段组成的封闭图形 C. 不封闭的五边形 D. 两条线段组成的图形 2. 下列说法正确的是（ ） A. 正多边形的各个外角都相等 B. 凹多边形的内角和比凸多边形小 C. 多边形的对角线数量与边数无关 D. 三角形没有对角线 3. 五边形的内角和为______°；正六边形的每个内角为______°。 4. 从一个n边形的一个顶点出发，能画4条对角线，则n=______，这个多边形共有______条对角线。 5. 一个凸多边形的每个内角都为120°，则这个多边形的边数为______。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 求十二边形的内角和，以及从一个顶点出发的对角线数量、对角线总数量。 2. 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，求这个多边形的边数，并求出它的对角线总数量。 3. 已知正n边形的每个内角为135°，求n的值，并判断这个多边形的对角线总数量。 4. 一个多边形去掉一个内角后，内角和为1260°，求原多边形的边数（提示：去掉的内角大于0°且小于180°）。 5. 求证：任意凸n边形（n≥3）的内角和都能被180°整除。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=120°，且AB=BC=CD=2，DE=1，求AE的长度（提示：延长EA、CB交于点F，延长AB、DC交于点G，构造等边三角形求解）。 2. 已知一个凸多边形的对角线总数量为35条，求这个多边形的边数，并求它的内角和，以及正多边形时每个内角的度数。 四、易错点提醒 1. 混淆多边形的定义：忽略“不在同一直线上”“首尾顺次相接”“封闭图形”三个关键条件，误将不封闭图形或共线线段组成的图形当作多边形。 2. 对角线计算错误：忘记“从一个顶点出发的对角线数为n-3”，或计算总对角线时忘记除以2，导致数量算错。 3. 内角和公式应用错误：忽略n≥3的前提，或变形公式时出错（如n=内角和÷180°-2，遗漏“+2”）。 4. 正多边形判断错误：认为“边相等的多边形就是正多边形”或“内角相等的多边形就是正多边形”，忽略正多边形需“边和内角都相等”。 5. 忽略凸多边形的特征：计算内角和时，误将凹多边形当作凸多边形，或认为凹多边形内角和公式与凸多边形不同（实际上，无论凸凹，n边形内角和均为（n-2）×180°）。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.B 2.AD（提示：D选项三角形没有对角线，正确；A选项正多边形各内角相等，外角也相等，正确） 3.540，120 4.7，14 5.6 （二）提升题： 61. 内角和：（12-2）×180°=1800°；从一个顶点出发的对角线数：12-3=9条；对角线总数量：$$\frac{12 \times (12-3)}{2}=54$$条； 62. 四边形内角和为360°，该多边形内角和=360°+720°=1080°，边数n=（1080÷180）+2=8，对角线总数量：$$\frac{8 \times 5}{2}=20$$条； 63. 由正n边形每个内角135°，得$$\frac{(n-2) \times 180}{n}=135$$，解得n=8，对角线总数量：$$\frac{8 \times 5}{2}=20$$条； 64. 设原多边形边数为n，去掉的内角为x（0°<x<180°），则（n-2）×180°-x=1260°，即（n-2）×180°=1260°+x，1260°÷180°=7，故n-2=8（因x<180°，n-2不能为7或9），n=10，原多边形为10边形； 65. 证明：n边形内角和公式为（n-2）×180°，n≥3且为正整数，（n-2）为整数，故（n-2）×180°能被180°整除。 （三）拓展题： 68. AE=3（提示：延长EA、CB交于F，延长AB、DC交于G，△FAB和△GBC均为等边三角形，FG=FA+AB+BG=2+2+2=6，EG=FG-DE=6-1=5？修正：正确求解：延长EA、CB交于F，∠FAB=60°，∠FBA=60°，△FAB为等边三角形，FA=AB=2；延长ED、BC交于H，△DCH为等边三角形，CH=CD=2，EH=ED+DH=1+2=3；四边形FEHC为平行四边形，FE=CH=2，故AE=FE+FA=2+1=3）； 69. 设边数为n，由$$\frac{n(n-3)}{2}=35$$，解得n=10（n=-7舍去），内角和=（10-2）×180°=1080°；正十边形每个内角=1080°÷10=108°。 学习目标 1.了解多边形及有关概念(边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形)； 2.经历类比三角形有关概念探究多边形的过程，感悟类比方法的价值； 三角形 相关定义 分类 性质 判定 相关定义 分类 性质 判定 ？ 情境导入 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形. 在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 推进新课 知识点一 多边形 如果一个多边形由 n 条边组成，那么这个多边形叫作 n 边形（n 为不小于 3 整数）. …… 三角形 四边形 五边形 六边形 A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An n 边形 组成多边形的线段叫作多边形的____. 边 边 相邻两边的公共端点叫作多边形的_____. 顶点 顶点 外角 相邻两边组成的角叫作多边形的_______，简称多边形的_____. 内角 角 内角 在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角叫作多边形的_______. 外角 观察、思考、归纳： 三角形有____条边，____个内角，_____个外角. 四边形有____条边，____个内角，_____个外角. 五边形有____条边，____个内角，_____个外角. 六边形有____条边，____个内角，_____个外角. …… n 边形有____条边，____个内角，_____个外角. 3 3 6 4 4 8 5 5 10 6 6 12 n n 2n 多边形一般按边数和各个顶点的字母顺次排列来表示. A B C D A B C D E A B C D E F 四边形ABCD 五边形ABCDE 六边形ABCDEF C D A B 四边形 ABCD 都在直线 CD 的同一侧，也都在直线 AB，BC，AD 的同一侧. 凸四边形 思考 这两个四边形有什么不同？ A B C D 四边形 ABCD 不都在直线 AB（或 BC）的同一侧. 一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同侧，这样的多边形就是凸多边形. 你会画凸多边形吗？ 凸七边形 凸八边形 C D A B 凸四边形 本书中所研究的都是凸多边形. 练一练 如图所示的图形中，属于多边形的有________.（填序号） 【教材P75练习 T1】 √ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ √ × × √ × ①②⑤ 探究 知识点二 多边形的内角和 1. 四边形的内角和是多少度呢？ 连接 AC 和 BD，你能发现什么？ D A B C 四边形中连接不相邻的两个顶点的线段叫作四边形的对角线. BD 将四边形分为 _______ 和 _______ . AC 将四边形分为 _______ 和 _______ . △ABD △CBD △ACD △ACB 探究 1. 四边形的内角和是多少度呢？ （1）如图，连接 AC，能得到四边形 ABCD 的内角和吗？ 四边形 ABCD 的内角和 = ________________________________ 1 2 3 4 四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形. 四边形 三角形 转化 △ABC 的内角： △ACD 的内角： ∠1、∠B、∠3 ∠2、∠D、∠4 △ABC 的内角和 + △ACD 的内角和 A B C D = 180°+ 180°= 360° 探究 1. 四边形的内角和是多少度呢？ （2）如图，在四边形 ABCD 内任取一点 O，连接 OA，OB，OC，OD，也能得到四边形 ABCD 的内角和吗？ 四边形 ABCD 的内角和 = ____________________________________ A B C D O 四边形ABCD 被分为四个三角形. 四边形 三角形 转化 4个三角形的内角和 – 以O为顶点的周角 = 4×180°– 360°= 360° 四边形的内角和等于 360° 探究 1. 四边形的内角和是多少度呢？ A B C D P 如图，在四边形 ABCD 的一条边（如 AB）上任取一点 P，连接 PC，PD，也能得到四边形 ABCD 的内角和. 四边形 ABCD 的内角和 = ____________________________________ 3个三角形的内角和 – 以P为顶点的平角 = 3×180°– 180°= 360° 探究 2. 如图，能仿照上述方法得到五边形 ABCDE 的内角和吗？ A B C D E 3×180°= 540° 多边形中连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线. 探究多边形对角线的条数 名称 四边形 五边形 六边形 n 边形 图形 顶点个数 一个顶点引出的对角线条数 对角线条数 探究多边形对角线的条数 4 5 6 n 1 2 3 n – 3 2 5 9 n(n – 3) 2 探究 2. 如图，能仿照上述方法得到五边形 ABCDE 的内角和吗？ A B C D E 3×180°= 540° A B C D E 5×180°– 360° = 540° A B C D E 4×180°– 180° = 540° 五边形的内角和等于 540° 探究 3. 一般地， n 边形（n 为不小于 3 的整数）的内角和是多少度呢？ 五边形 六边形 七边形 八边形 图形 边数 可分成三角形的个数 多边形的内角和 五边形 5 六边形 6 七边形 7 八边形 8 n 边形 n 3 (5 – 2)×180° 4 (6 – 2)×180° 5 (7 – 2)×180° 6 (8 – 2)×180° n – 2 (n – 2)·180° A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An 一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n – 3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n – 2) 个三角形，n 边形的内角和等于 (n – 2)× 180°. n 边形（n 为不小于 3 的整数）的内角和等于 (n – 2)·180° 定理 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ A1 A2 A3 A4 A5 A6 An P 在 n 边形内任取一点 P，连接 PA1，PA2，···，PAn； 把 n 边形分成 n 个三角形，这 n 个三角形的内角和为 n · 180°； 再减去以 P 为顶点的一个周角的度数； 即得 n 边形的内角和为 n·180°– 360°= (n – 2)·180° 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ A1 A2 A3 A4 A5 A6 An P 在 n 边形的一边上任取一点 P，与各顶点 相连，得 (n – 1) 个三角形； n 边形内角和等于这 (n – 1) 个三角形的内角和减去以 P 为顶点的一个平角的度数； 即得 n 边形的内角和为 (n – 1)·180°– 180°= (n – 2)·180° 练一练 （1）过四边形的一个顶点有________条对角线，四边形共有________条对角线； （2）过五边形的一个顶点有________条对角线，五边形共有________条对角线； （3）过 n 边形的一个顶点有________条对角线，n 边形共有________条对角线. 【教材P75练习 T3】 1 2 2 5 n – 3 n(n – 3) 2 例 1 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C， ∠D 的度数之比为 11 : 10 : 5 : 10. 求四边形 ABCD 四个内角的度数. 解 设∠B =∠D = (10x)°. 由题意，得 则 ∠A = (11x)°，∠C = (5x)°. B C A D 11x + 10x + 5x + 10x = 360. 解得 x = 10. 故 ∠A，∠B，∠C， ∠D 的度数分别为 110°，100°，50°，100°. 练一练 若一个多边形的内角和等于 1260°，则这个多边形的边数是____. 【教材P75练习 T2】 解：设这个多边形的边数为 n，根据题意，得 (n – 2)·180°= 1260°. 解得 n = 9. 9 1星题 基础练 1.［知识初练］下列图形中，属于多边形的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 26 2．下列图形中，凸多边形有________．(填序号) ①③ 中考考法 27 3.［知识初练］如图，从七边形的一个顶点 出发，可以作___条对角线，七边形共有____ 条对角线. 4 14 4．[合肥月考]若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以 画2 026条对角线，则它的边数是(　　) A．2 029 B．2 028 C．2 027 D．2 026 A 中考考法 28 【变式题】如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2 026个三角形，那么这个多边形的边数为________. 2 028 中考考法 5. 如图所示的是 某树叶在显微镜下的细胞图片， 一个细胞可近似看成六边形.从 4 六边形的一个顶点出发作对角线，可将六边形分成___个三 角形，一个三角形的内角和为 ，故六边形的内角和为 ______. 中考考法 30 6．如果一个多边形的内角和等于1 080°，那么该多边形的边数是________. 【变式题】[扬州中考]若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为________. 8 9 中考考法 31 7.(真实情境芜湖期末)如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形ABCDE，其中∠B＝∠E＝102°，∠C＝∠D＝110°，则这个五边形的内角∠A的度数为______°. 8. (教材改编题)如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中(　　) A．只有一个直角 B．只有一个锐角 C．有两个直角 D．有两个钝角 116 A 中考考法 32 课堂小结 n 边形（n 为不小于 3 的整数）的内角和等于 (n – 2)·180° $