第18章 勾股定理 章末复习 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 小结 · 评价 第18章 勾股定理 本章围绕勾股定理及其逆定理展开，核心内容包括勾股定理的推导、应用，勾股定理逆定理的判定与应用，以及利用勾股定理进行尺规作图等数学活动，是几何与代数结合的重要章节。本资料整合全章知识点、分场景例题、分层练习题和易错辨析，帮助同学们系统掌握全章内容，熟练运用勾股定理及逆定理解决实际问题、图形判定问题，培养几何推理和综合应用能力。 一、全章核心知识点梳理 18.1 勾股定理 （1）勾股定理的内容 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：在Rt△ABC中，∠C=90°，设直角边为a、b，斜边为c，则有a^2 + b^2 = c^2。 关键说明：① 勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用；② 斜边是直角三角形中最长的边，对应直角；③ 变形公式：a^2 = c^2 - b^2，b^2 = c^2 - a^2，可用于已知斜边和一条直角边求另一条直角边。 （2）勾股定理的推导与验证 常见验证方法：割补法（如“赵爽弦图”“美国总统伽菲尔德的面积证法”），核心思路是通过图形的割补，将直角三角形的面积与正方形面积关联，利用面积相等推导勾股定理。 （3）勾股定理的应用 核心场景：① 已知直角三角形两边，求第三边；② 求直角三角形斜边上的高（利用面积相等：S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch，h为斜边上的高）；③ 立体图形表面最短路径（将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求对角线长度）；④ 实际场景（航海、测量、折叠等）。 18.2 勾股定理的逆定理 （1）逆定理的内容 如果一个三角形的三边长a、b、c（c为最长边），满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 关键说明：① 逆定理是“由边的关系判断角的关系”，与勾股定理（由角的关系推边的关系）互为逆命题；② 应用时必须先确定最长边，再验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，避免判断错误。 （2）勾股数 满足a^2 + b^2 = c^2的三个正整数，叫做勾股数。常见勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25等，其倍数（如6、8、10；10、24、26）仍为勾股数，可直接用于快速判断直角三角形。 （3）逆定理的应用 核心场景：① 判断三角形是否为直角三角形；② 四边形中构造直角三角形求面积；③ 实际场景中判断两条线段是否垂直；④ 结合折叠、网格等图形，判定直角三角形并求解。 数学活动：利用勾股定理进行尺规作图 核心思路：利用勾股定理，将无理数长度转化为直角三角形的斜边，通过尺规作直角三角形，作出长度为\sqrt{n}（n为非完全平方数）的线段；或构造特定边长的直角三角形。 常见类型：① 作长度为\sqrt{2}、\sqrt{5}、\sqrt{7}等无理数的线段；② 已知直角边，尺规作直角三角形的斜边；③ 已知斜边和一条直角边，尺规作另一条直角边。 二、全章重点例题解析（分题型） 题型1：勾股定理求边长 例题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=6，b=8，求斜边c的长度；若已知斜边c=13，一条直角边a=5，求另一条直角边b的长度。 解析：① 由勾股定理a^2 + b^2 = c^2，得c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10；② 由变形公式b^2 = c^2 - a^2，得b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12。 题型2：勾股定理求斜边上的高 例题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，求斜边上的高CD的长度。 解析：先求斜边AB的长度，由勾股定理得AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13cm；再利用三角形面积相等，S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times CD，代入得\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 13 \times CD，解得CD = \frac{60}{13}cm。 题型3：逆定理判断直角三角形 例题3：判断下列三角形是否为直角三角形，说明理由：（1）三边长为5、12、13；（2）三边长为4、5、6；（3）三边长为\sqrt{3}、\sqrt{4}、\sqrt{7}。 解析：（1）是直角三角形，最长边13，5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2，满足逆定理；（2）不是直角三角形，最长边6，4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 eq 36 = 6^2；（3）是直角三角形，最长边\sqrt{7}，(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{4})^2 = 3 + 4 = 7 = (\sqrt{7})^2，满足逆定理。 题型4：实际场景应用（立体图形最短路径） 例题4：一个圆柱形水桶，底面半径为3cm，高为10cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A出发，沿水桶侧面爬行到上底面圆周上与A相对的点B，求蚂蚁爬行的最短路径长度。 解析：将圆柱侧面展开为长方形，长方形的长为底面圆的周长2\pi r = 6\picm，宽为圆柱的高10cm；蚂蚁爬行的最短路径为长方形的对角线，由勾股定理得，最短路径长度= \sqrt{(6\pi)^2 + 10^2} = \sqrt{36\pi^2 + 100}cm（若取\pi \approx 3.14，则长度约为21.3cm）。 题型5：尺规作图（作无理数线段） 例题5：用尺规作图作出长度为\sqrt{5}的线段，并说明理由。 解析：作图步骤：① 作射线AM，在AM上截取AB=2（单位长度）；② 过点B作AB的垂线BN（尺规作直角）；③ 在BN上截取BC=1；④ 连接AC，线段AC即为所求。理由：△ABC为直角三角形，AB=2，BC=1，由勾股定理得AC = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}。 三、全章分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则斜边c的长为（ ） A. 5 B. 7 C. 25 D. \sqrt{7} 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 3、4、6 C. 5、12、13 D. 4、6、7 3. 已知勾股数3、4、5，下列各组中，也是勾股数的是（ ） A. 6、7、8 B. 5、12、13 C. 1、2、3 D. 2、3、4 4. 在Rt△ABC中，斜边AB=10，一条直角边AC=6，则斜边上的高为______。 5. 用尺规作长度为\sqrt{2}的线段，需构造的直角三角形两直角边长度均为______。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 已知△ABC的三边长分别为5、12、x，且△ABC为直角三角形，求x的值。 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。 3. 一个长方体礼盒，长8cm、宽6cm、高10cm，蚂蚁从底面顶点A出发，沿表面爬行到上底面相对的顶点B，求最短爬行路径长度。 4. 求证：三边长分别为2n^2 + 2n、2n + 1、2n^2 + 2n + 1（n为正整数）的三角形是直角三角形。 5. 折叠长方形ABCD，使点B与点D重合，折痕为EF，已知AB=3，AD=4，求EF的长度。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F，判断△BDF是否为直角三角形，并说明理由。 2. 某探险队从营地A出发，先向正东走3km，再向正南走4km，接着向正西走6km，最后向正北走6km到达营地B，求A、B两地之间的距离。 四、全章易错点提醒 1. 混淆勾股定理与逆定理的应用场景：勾股定理用于直角三角形求边长，逆定理用于判断三角形是否为直角三角形，不可混用。 2. 应用逆定理时，未先确定最长边，直接验证任意两边平方和是否等于第三边，导致判断错误。 3. 求直角三角形第三边时，未分情况讨论（第三边可能为直角边，也可能为斜边），导致漏解。 4. 立体图形最短路径问题，未将立体图形展开为平面图形，直接计算线段长度，思路错误。 5. 尺规作图时，忘记保留作图痕迹（弧、交点），不符合尺规作图要求；构造直角三角形时，混淆直角边与斜边。 6. 忽略勾股数的定义，误认为非正整数的线段长度组合也是勾股数（勾股数必须是正整数）。 知识体系 勾股定理 勾股定理的逆定理 互逆关系 2 回顾与思考 考点1 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2. 几何语言： B C b c a A 证明方法：将4个全等的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形. 举一反三训练 在 Rt△ABC 中，已知两直角边分别是 5 和 12，则第三边长度为______. 13 若直角三角形的两边的长分别为 和 2，则该直角三角形第三边长为________. c2 = a2 + b2 = 52 + 122 = 169 = 132 已知两边，求第三边 举一反三训练 直接求出下图中 x、y 和 z 的值. 已知一边及一个特殊角 2 x 90° 45° y 1 90° 30° 4 z 90° 60° 2 2 2 举一反三训练 如图，在 Rt△ABC 中，已知 AB 长度为 6，BC – AC = 2，求 AC 的长度. 已知一边及另外两边的数量关系 B A C 解：设 AC 的长度为 x，则 BC 的长度为 (x + 2). 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 62 + x2 = (x + 2)2 解得 x = 8. 即 AC 的长度为 8. 6 x+2 x 考点2 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， a2 + b2 = c2， ∴ ∠C = 90°. 几何语言： B C b c a A 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数. 比如: 3，4，5；5，12，13. 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤： 找：找三角形的最长边. 1 3 判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是. 2 算：计算最长边的平方与另两边的平方和. 方法 1. 在△ABC 中，∠C = 90°，AB = ，BC = .求△ABC 的周长. A组 【教材P66复习题A组 T1】 解：由勾股定理，得 ∴△ABC 的周长为 A组 【教材P67复习题A组 T2】 2. 在△ABC 中，∠C = 90°，BC = ，AC = . 求 AB 的长及△ABC 的面积. 解：由勾股定理，得 【教材P67复习题A组 T3】 A组 3. 在△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b. 求证：当 a，b，c 为勾股数时，ka，kb，kc（k为正整数）也是勾股数. 解：由勾股定理，得 a2 + b2 = c2. ∴(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2(a2 + b2) = k2c2 = (kc)2. ∴当 a，b，c 为勾股数时，ka，kb，kc 也是勾股数. 【教材P67复习题A组 T4】 A组 4. 如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A (0，2)，B (4，0)，C (6，4)，求△ABC 的周长与面积. x y O 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 A C B 解：由勾股定理，得 ∴△ABC 周长 = AB + BC + AC 【教材P67复习题A组 T5】 A组 5. 立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶垂下，绳碰到地面后还余 3 m，把绳的着地端沿地面移动到离杆 9 m 远的一点，恰好把绳子拉直，这根旗杆有多高？ 解：设旗杆高 x m，则绳长 (x + 3) m，由勾股定理，得 x2 + 92 = (x + 3)2 解得 x = 12. ∴旗杆高 12 m. 【教材P67复习题A组 T6】 A组 6. 如图，在行距和列距都是 1 的方格网中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画线段 AD//BC 且使 AD = BC，连接 CD； （2）AC 的长为_______，CD 的长为_______，AD 的长为_______； （3）△ACD 为_______三角形. A C B D 5 直角 7. 利用两个全等直角三角形构造一个如图所示的图形，你能用这个图形证明勾股定理吗？ 【教材P67复习题A组 T7】 A组 b c a b c a 解：图中的梯形的面积为 组成梯形的3个三角形面积之和为 由两个式子相等，可得 a2 + b2 = c2. 【教材P68复习题B组 T1】 B组 1. 在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，若 AB = 10，AC = 17，AD = 8，求△ABC 的面积. 解：由勾股定理，得 ∴ 【教材P68复习题B组 T2】 B组 2. 如图，将 AB = 10 cm，AD = 8 cm 的长方形纸片 ABCD，以 AP 为折痕折叠时，顶点 B 与边 CD 上的点 Q 重合，试分别求出 DQ，PQ 的长. Q C D A B P 解：由题意得 AQ = AB = 10 cm，由勾股定理，得 ∴ CQ = DC – DQ = 4 cm， 设 PQ = PB = x cm，则 CP = (8 – x) cm，由勾股定理，得 (8 – x)2 + 42 = x2. 解得 x = 5. 即 PQ = 5 cm. 【教材P68复习题B组 T3】 B组 3. 通过尺规作图，在数轴上找出表示 的点. 解：先作出表示 的点，再从 1 处向左截取一段长度为 ，与数轴的交点即为 O 1 2 1 【教材P68复习题B组 T4】 B组 4. 利用勾股定理讨论以下问题，S1，S2 分别表示直角三角形中直角边上图形的面积，S3 表示斜边上图形的面积. （1）以直角三角形的三边为边分别向形外作等边三角形，则 S1 + S2 与 S3 是什么关系？ （2）以直角三角形的三边为直径分别向形外作半圆，则 S1 + S2 与 S3 是什么关系？ （3）根据（1）（2），你有什么发现？ S1 + S2 = S3 S1 + S2 = S3 以直角三角形的三边为边向形外作同边数的正多边形或以三边为直径作半圆，所得图形的面积之间始终有这样的关系存在：S1 + S2 = S3. 【教材P68复习题B组 T5】 B组 5. 如果 m，n 是任意给定的正整数 (m > n) ，求证：m2 + n2，2mn，m2 – n2 是勾股数. 证明：∵ m > n，∴(m – n)2 > 0，即 m2 + n2 > 2mn. ∵(2mn)2 + (m2 – n2)2 = 4m2n2 + m4 – 2m2n2 + n4 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2. ∴ m2 + n2，2mn，m2 – n2 是勾股数. 又∵ m2 + n2 > m2 – n2 ，所以 m2 + n2 为最大的数. 【教材P68复习题B组 T6】 B组 6. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 PA = 6，PB = 8，PC = 10. 若将△PAC 绕点 A 逆时针旋转后得到△P'AB. 连接 PP'，求 PP' 的长和∠APB 的度数. 【教材P68复习题B组 T6】 B组 解：∵△P'AB是由△PAC绕点A逆时针旋转得到的， ∵在等边三角形ABC中，∠BAC=60°， ∴∠P'AB+∠PAB=∠PAC+∠PAB=∠BAC=60°， ∴P'A=PA=6，P'B=PC=8，∠P'AB=∠PAC. 即∠P'AP=60°. 又∵在△P'AP中，P'A=PA，∴△P'AP是等边三角形. ∴PP'=AP=6，∠P'PA=60°. ∴PP'2+BP2=62+82=102=P'B2. ∴△P'BP是直角三角形，∠BPP'=90°. ∴∠APB=∠BPP'+∠APP'=90°+60°=150°. 【教材P68复习题B组 T7】 B组 7. 在行距、列距都是 1 的 n×n 方格网中，连接任意两个格点，把得到的长度相同的线段看作一类. （1）当 n = 1，2，3，4 时，在下表中分别写出不同长度线段的种类和种类数： n 的值 1 2 3 4 方格网图 不同长度线段的种类 不同长度线段的种类数 S 2 5 4×4 3×3 2×2 1×1 9 14 【教材P68复习题B组 T7】 B组 （2）根据表格内容，猜想 S 与 n 的关系； n 的值 1 2 3 4 方格网图 不同长度线段的种类 不同长度线段的种类数 S 2 5 4×4 3×3 2×2 1×1 9 14 5×5 S = （n≥1） 【教材P68复习题B组 T7】 B组 （3）如图，当 n = 5 时，验证你猜想的结论是否成立. 5×5 解：当 n = 5 时，猜想：S = = 20. 验证： ∴当 n = 5 时，S = 19，猜想结论不成立. 【教材P69复习题B组 T8】 B组 8. 如图，长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，设点 D 落在点 D' 处，BC 交 AD' 于点 E，AB = 6 cm，BC = 8 cm，求△AEC（阴影部分）的面积. E C D A B D' 解：由题意得 CD' = CD = AB = 6 cm， 在△ABE 与△CD'E 中， ∠AEB =∠CED'， ∠B =∠D'， AB = CD'， ∴△ABE≌△CD'E. ∴ BE = D'E，AE = CE. 【教材P69复习题B组 T8】 B组 8. 如图，长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，设点 D 落在点 D' 处，BC 交 AD' 于点 E，AB = 6 cm，BC = 8 cm，求△AEC（阴影部分）的面积. 设 BE = x cm，则 AE = CE = (8 – x) cm，由勾股定理，得 x2 + 62 = (8 – x)2 解得 ∴ ∴ E C D A B D' 【教材P69复习题B组 T9】 B组 9. 如图，有一块 Rt△ABC 的绿地，∠C = 90°，AC = 8 m，BC = 6 m. 现在要将这块绿地扩充成等腰三角形 ABD，扩充部分△ADC 是直角三角形，且一直角边长为 8 m. 求△ABD 的周长. B C A 解析：由勾股定理，得 AB2 = 62 + 82 = 100，∴ AB = 10 m. 由题意，一共有四种扩充方法. 【教材P69复习题B组 T9】 B组 B C A D 8 6 10 AD = AB = 10 BD = AB = 10 BD = AB = 10 AD = BD B C A D 8 8 6 10 B C A D 8 6 10 B C A D 8 6 10 10 6 周长：32 m 10 周长：36 m 4 周长： m 周长： m 【教材P70复习题B组 T10】 B组 10. 如图，在 8×8 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1. （1）请建立一个适当的平面直角坐标系，使点 B， C 的坐标分别为 (4 ，2) 和 (3 ，4) ，求点 A 的坐标； （2）作出△ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1，求点 B1 的坐标； （3）在 x 轴上找一点 P，使△PAB 的周长最小，求点 P 的坐标. A C B A C B 【教材P70复习题B组 T10】 B组 x y O 1 1 2 3 4 –2 –1 2 3 4 5 –3 –2 –1 –4 –3 解：（1）如图所示，点 A 坐标为(1，1). A1 C1 B1 （2）如图所示，点 B1 坐标为(–4，2). （3）若使△PAB 的周长最小，则 PA + PB 的值最小. 如图所示，作点 B 关于 x 轴对称的点 B′，连接 AB′交 x 轴于点 P，点 P (2，0) 即所求的点. B' P 【教材P70复习题C组 T1】 C组 1. 已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c. （1）计算并填写下表： 边长/cm 三边之间的关系 a b c a2 b2 c2 a2 + b2 a2 + b2 与 c2 (用 =，>或<) ① 4 5 7 16 25 49 41 a2 + b2 < c2 ② 6 8 10 ③ 6 9 12 ④ 5 6 7 ⑤ 5 12 13 ⑥ 4 8 10 ⑦ 7 8 9 36 64 100 100 a2 + b2 = c2 36 81 144 117 a2 + b2 < c2 25 36 49 61 a2 + b2 > c2 25 144 169 169 a2 + b2 = c2 16 64 100 90 a2 + b2 < c2 49 64 81 113 a2 + b2 > c2 【教材P70复习题C组 T1】 C组 1. 已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c. （2）作出上面各个三角形，观察图形，看看三角形中最长边所对的角是锐角、直角还是钝角，对照上表最后一列关系，你能发现什么规律？ 由 a2 + b2 > c2，可判断∠C < 90°；由 a2 + b2 = c2 ，可判断∠C = 90°；由 a2 + b2 < c2，可判断∠C > 90°. 【教材P71复习题C组 T2】 C组 2. 如图，图中曲线是地形图中的等高线（同一条曲线上各点的海拔是一样的），如果线段 AB 的图上距离是 2.5 cm，那么两个地点 A，B 间的相对高度（指某个地点高出另一个地点的垂直距离）和实际直线距离各为多少米？（图中表示等高线数据的单位为 m） （比例尺 1:5000） 【教材P71复习题C组 T2】 C组 （比例尺 1:5000） 解：由图可知，点 A 所处海拔为 900 m，点 B 所处海拔为 100 m，所以 A，B 间的相对高度为 900 – 100 = 800 (m). ∵线段 AB 的图上距离是 2.5 cm，由比例尺可得，A，B 间的实际水平距离为 2.5×5000 = 12500 (cm) = 125 (m). 由勾股定理得，A，B 间的实际直线距离为 【教材P71复习题C组 T3】 C组 3. 在平面直角坐标系中，下列两点关于直线 y = x 有怎样的位置关系？你能说明道理吗？ （1）A (5，2)，A' (2，5)； （2）A (2，–4)，A' (–4，2)； （3）A (a，b)，A' (b，a). 解：（1）（2）（3）中两点均关于 y = x 成轴对称. 设 P(x0，y0) 是直线 y=x 上任一点，则x0=y0. ∴ AP = A'P. ∴点P在线段 AA′的垂直平分线上.即点A与点A′关于直线y=x对称. 【教材P71复习题C组 T4】 C组 4. 在坐标平面内有一点 A (2，– )，O 为原点，在 x 轴上找一点 B，使以 O，A，B 为顶点的三角形为等腰三角形，写出点 B 的坐标. 解：点 B 的坐标 或 或 (4 , 0) 或 $